Аналитическая теория чисел

редактировать

Изучение свойств целых чисел с помощью комплексного анализа

Дзета-функция Римана ζ (s) в комплексной плоскости. Цвет точки s кодирует значение ζ (s): цвета, близкие к черному, обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует аргумент значения .

В математике, аналитическая теория чисел - это ветвь теории чисел, которая использует методы из математического анализа для решения задач, связанных с целыми числами. Часто говорят, что он начался с того, что Питер Густав Лежен Дирихле в 1837 году ввел L-функции Дирихле, чтобы дать первое доказательство теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях. Он хорошо известен своими результатами о простых числах (включая теорему о простых числах и дзета-функцию Римана ) и аддитивной теории чисел ( такие как гипотеза Гольдбаха и проблема Варинга ).

Содержание

1 Разделы аналитической теории чисел
2 История
- 2.1 Предшественники
- 2.2 Дирихле
- 2.3 Чебышев
- 2.4 Риман
- 2.5 Адамар и де ла Валле-Пуссен
- 2.6 Новое время
3 Проблемы и результаты
- 3.1 Мультипликативная теория чисел
- 3.2 Аддитивная теория чисел
- 3.3 Диофантовы проблемы
4 Методы аналитической теории чисел
- 4.1 Ряд Дирихле
- 4.2 Дзета-функция Римана
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Разделы аналитической теории чисел

Аналитическую теорию чисел можно разделить на два основных части, разделенные больше по типу задач, которые они пытаются решить, чем по фундаментальным различиям в технике.

Мультипликативная теория чисел имеет дело с распределением простых чисел, например, для оценки количества простых чисел в интервале, и включает теорему о простых числах и теорему Дирихле о простых числах в арифметические прогрессии.
Аддитивная теория чисел занимается аддитивной структурой целых чисел, такой как гипотеза Гольдбаха о том, что каждое четное число больше 2 является суммой двух простых чисел. Одним из основных результатов аддитивной теории чисел является решение проблемы Варинга.

История

Предшественники

Большая часть аналитической теории чисел была вдохновлена теоремой о простых числах.. Пусть π (x) будет функцией подсчета простых чисел, которая дает количество простых чисел, меньшее или равное x, для любого действительного числа x. Например, π (10) = 4, потому что четыре простых числа (2, 3, 5 и 7) меньше или равны 10. Теорема о простых числах утверждает, что x / ln (x) является хорошим приближением к π (x) в том смысле, что предел частного отношения двух функций π (x) и x / ln (x) при стремлении x к бесконечности равен 1:

lim x → ∞ π ( Икс) Икс / пер ⁡ (Икс) знак равно 1, {\ Displaystyle \ lim _ {х \ к \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x / \ ln (x)}} = 1,}

\ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ pi (x)} {x / \ ln (x)} = 1,

, известный как асимптотический закон распределения простых чисел.

Адриан-Мари Лежандр предположил в 1797 или 1798 году, что π (a) аппроксимируется функцией a / (A ln (a) + B), где A и B - неопределенные константы. Затем во втором издании своей книги по теории чисел (1808 г.) он высказал более точное предположение с A = 1 и B ≈ -1,08366. Карл Фридрих Гаусс размышлял над тем же вопросом: «Im Jahr 1792 oder 1793», по его собственным воспоминаниям почти шестьдесят лет спустя в письме к Энке (1849 г.), он написал в своей таблице логарифма (он тогда был 15 или 16) краткое примечание «Primzahlen unter $a (= ∞) a ln ⁡ a {\ displaystyle a (= \ infty) {\ frac {a} {\ ln a}}}$ $a (= \ infty) \ frac a {\ ln a}$ ". Но Гаусс никогда не публиковал эту гипотезу. В 1838 Петер Густав Лежен Дирихле придумал свою собственную аппроксимирующую функцию, логарифмический интеграл li (x) (в несколько иной форме ряда, которую он сообщил Гауссу). Формулы Лежандра и Дирихле влекут за собой одну и ту же гипотетическую асимптотическую эквивалентность π (x) и x / ln (x), изложенную выше, хотя оказалось, что приближение Дирихле значительно лучше, если рассматривать разности вместо частных.

Дирихле

Иоганну Петру Густаву Лежену Дирихле приписывают создание аналитической теории чисел, области, в которой он обнаружил несколько глубоких результатов и при их доказательстве ввел некоторые фундаментальные инструменты, многие из которых были позже назван его именем. В 1837 году он опубликовал теорему Дирихле об арифметических прогрессиях, используя концепции математического анализа для решения алгебраической проблемы и, таким образом, создав ветвь аналитической теории чисел. При доказательстве теоремы он ввел символы Дирихле и L-функции. В 1841 году он обобщил свою теорему об арифметической прогрессии с целых чисел на кольцо целых гауссовских чисел $Z [i] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ $\ mathbb {Z} [i]$ .

Чебышев

В двух статьях 1848 и 1850 годов русский математик Пафнутый Львович Чебышев попытался доказать асимптотический закон распределения простых чисел. Его работа примечательна использованием дзета-функции ζ (s) (для реальных значений аргумента «s», как и работы Леонарда Эйлера еще в 1737 году), предшествующих знаменитым мемуарам Римана 1859 года., и ему удалось доказать несколько более слабую форму асимптотического закона, а именно, что если предел π (x) / (x / ln (x)), когда x стремится к бесконечности, вообще существует, то он обязательно равен один. Ему удалось безоговорочно доказать, что это отношение ограничено сверху и снизу двумя явно заданными константами, близкими к 1 для всех x. Хотя статья Чебышева не доказала теорему о простых числах, его оценки для π (x) были достаточно сильными, чтобы доказать постулат Бертрана о том, что существует простое число между n и 2n для любого целого n ≥ 2.

Риман

"… es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. У Хирвона были аллергические заболевания, связанные с Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchännés en vergeblic für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. ".. "... очень вероятно, что все корни реальны. Конечно, здесь хотелось бы получить строгое доказательство; у меня есть пока, после некоторого мимолетного тщетного попыток, временно отложив поиск этого, поскольку он кажется ненужным для следующей цели моего исследования ».

Утверждение Римана о гипотезе Римана из его статьи 1859 года. (Он обсуждал версию дзета-функции, модифицированную таким образом, чтобы ее корни были действительными, а не на критической линии.)

Бернхард Риман внес несколько известных вкладов в современную аналитическую теорию чисел. В единственной короткой статье (единственной опубликованной им по теме теории чисел) он исследовал дзета-функцию Римана и установил ее важность для понимания распределения простых чисел. номера. Он высказал ряд предположений о свойствах дзета-функции, одной из которых является хорошо известная гипотеза Римана.

Адамара и де ла Валле-Пуссена

Расширение Идеи Римана, два доказательства теоремы о простых числах были независимо получены Жаком Адамаром и Шарлем Жаном де ла Валле-Пуссеном и появились в том же году ( 1896 г.). Оба доказательства использовали методы комплексного анализа, установив в качестве основного шага доказательства, что дзета-функция Римана ζ (s) отлична от нуля для всех комплексных значений переменной s, которые имеют вид s = 1 + it с t>0..

Новое время

Самым большим техническим изменением после 1950 года стало развитие ситовых методов, особенно в мультипликативных задачах. Они имеют комбинаторный характер и весьма разнообразны. В свою очередь, экстремальная ветвь комбинаторной теории находится под сильным влиянием того значения, которое в аналитической теории чисел придается количественным оценкам сверху и снизу. Еще одна недавняя разработка - вероятностная теория чисел, в которой используются методы теории вероятностей для оценки распределения теоретико-числовых функций, например количества простых делителей числа.

Развитие аналитической теории чисел часто является усовершенствованием более ранних методов, которые сокращают количество ошибок и расширяют их применимость. Например, метод окружности для Харди и Литтлвуда был задуман как применимый к степенному ряду рядом с единичной окружностью в комплексной плоскости ; теперь он рассматривается в терминах конечных экспоненциальных сумм (то есть на единичной окружности, но с усеченным степенным рядом). Требуется диофантово приближение для вспомогательных функций, которые не являются производящими функциями - их коэффициенты строятся с использованием принципа «голубятни» - и включают несколько сложных переменных. Области диофантовых приближений и теории трансцендентности расширились до такой степени, что эти методы были применены к гипотезе Морделла.

Проблемы и результаты

Теоремы и результаты в аналитическом Теория чисел обычно не дает точных структурных результатов о целых числах, для которых алгебраические и геометрические инструменты являются более подходящими. Вместо этого они дают приблизительные границы и оценки для различных теоретико-числовых функций, как показывают следующие примеры.

Теория мультипликативных чисел

Евклид показал, что существует бесконечно много простых чисел. Важный вопрос - определить асимптотическое распределение простых чисел; то есть приблизительное описание того, сколько простых чисел меньше заданного числа. Гаусс, среди прочего, после вычисления большого списка простых чисел, предположил, что количество простых чисел, меньшее или равное большому числу N, близко к значению интеграла

∫ 2 N 1 журнал тдт. {\ displaystyle \, \ int _ {2} ^ {N} {\ frac {1} {\ log \, t}} \, dt.}

\, \ int ^ N_2 \ frac {1} {\ log \, t} \, dt.

В 1859 г. Бернхард Риман использовал комплексный анализ и специальная мероморфная функция, теперь известная как дзета-функция Римана для получения аналитического выражения для количества простых чисел, меньших или равных действительному числу x. Примечательно, что главным членом в формуле Римана был именно вышеуказанный интеграл, что придавало существенный вес гипотезе Гаусса. Риман обнаружил, что ошибки в этом выражении и, следовательно, способ распределения простых чисел тесно связаны с комплексными нулями дзета-функции. Используя идеи Римана и получив дополнительную информацию о нулях дзета-функции, Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен сумели завершить доказательство гипотезы Гаусса. В частности, они доказали, что если

π (x) = (количество простых чисел ≤ x), {\ displaystyle \ pi (x) = ({\ text {количество простых чисел}} \ leq x),}

\ pi (x) = (\ text {количество простых чисел} \ leq x),

затем

lim x → ∞ π (x) x / log ⁡ x = 1. {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x / \ log x }} = 1.}

\ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ pi (x)} {x / \ log x} = 1.

Этот замечательный результат известен теперь как теорема о простых числах. Это центральный результат аналитической теории чисел. Грубо говоря, он утверждает, что при большом числе N количество простых чисел, меньших или равных N, составляет примерно N / log (N).

В более общем плане тот же вопрос можно задать о количестве простых чисел в любой арифметической прогрессии a + nq для любого целого числа n. В одном из первых приложений аналитических методов к теории чисел Дирихле доказал, что любая арифметическая прогрессия с взаимно простыми a и q содержит бесконечно много простых чисел. Теорема о простых числах может быть обобщена на эту проблему; положив

π (x, a, q) = (количество простых чисел ≤ x таких, что p находится в арифметической прогрессии a + nq, n ∈ Z), {\ displaystyle \ pi (x, a, q) = ( {\ text {количество простых чисел}} \ leq x {\ text {такое, что}} p {\ text {находится в арифметической прогрессии}} a + nq, n \ in \ mathbf {Z}),}

\ pi (x, a, q) = (\ text {количество простых чисел} \ leq x \ text {такое, что} p \ text {находится в арифметической прогрессии} a + nq, n \ in \ mathbf Z),

тогда, если a и q взаимно просты,

lim x → ∞ π (x, a, q) ϕ (q) x / log ⁡ x = 1. {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ pi (x, a, q) \ phi (q)} {x / \ log x}} = 1.}

\ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ pi (x, a, q) \ phi (q)} {x / \ log x} = 1.

В теории чисел также есть много глубоких и разнообразных гипотез, доказательства которых кажутся слишком сложными для современных методов, таких как гипотеза о простых числах близнецов, которая спрашивает, существует ли бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 простое число. В предположении гипотезы Эллиотта – Халберстама недавно было доказано, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + k является простым числом для некоторого положительного четного k, не превышающего 12. Кроме того, было доказано безоговорочно. (т.е. вне зависимости от недоказанных гипотез), что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + k является простым для некоторого положительного четного k, не более 246.

Аддитивная теория чисел

Одно из самых важной проблемой в аддитивной теории чисел является проблема Варинга, которая спрашивает, возможно ли для любого k ≥ 2 записать любое положительное целое число как сумму ограниченного числа k-ых степеней,

n = Икс 1 к + ⋯ + х ℓ к. {\ displaystyle n = x_ {1} ^ {k} + \ cdots + x _ {\ ell} ^ {k}. \,}

n = x_1 ^ k + \ cdots + x_ \ ell ^ k. \,

На случай квадратов, k = 2, дан ответ Лагранжем в 1770 году, который доказал, что каждое положительное целое число является суммой не более четырех квадратов. Общий случай был доказан Гильбертом в 1909 году с использованием алгебраических методов, которые не давали явных оценок. Важным прорывом было применение аналитических инструментов к этой проблеме Харди и Литтлвудом. Эти методы известны как метод круга и дают явные верхние границы для функции G (k), наименьшего количества необходимых k-х степеней, таких как граница Виноградова

G (k) ≤ k (3 журнала ⁡ k + 11). {\ displaystyle G (k) \ leq k (3 \ log k + 11). \,}

G (k) \ leq k (3 \ log k + 11). \,

Диофантовы проблемы

Диофантовы проблемы связаны с целочисленными решениями полиномиальных уравнений: можно изучать распределение решений, то есть подсчет решений в соответствии с некоторой мерой «размера» или высоты.

Важным примером является задача о круге Гаусса, которая запрашивает целые числа точек (xy), которые удовлетворяют

Икс 2 + У 2 ≤ г 2. {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq r ^ {2}.}

x ^ 2 + y ^ 2 \ leq r ^ 2.

С точки зрения геометрии, учитывая круг с центром в начале координат на плоскости с радиусом r, задача спрашивает, сколько целых чисел точки решетки лежат на окружности или внутри нее. Нетрудно доказать, что ответ: $π r 2 + E (r) {\ displaystyle \, \ pi r ^ {2} + E (r) \,}$ $\, \ pi r ^ 2 + E (r) \,$ , где $E (r) / r 2 → 0 {\ displaystyle \, E (r) / r ^ {2} \, \ to 0 \,}$ $\, E (r) / r ^ 2 \, \ to 0 \,$ как $r → ∞ {\ displaystyle \, r \ к \ infty \,}$ $\, r \ to \ infty \,$ . Опять же, трудной частью и большим достижением аналитической теории чисел является получение конкретных верхних границ для члена ошибки E (r).

Гаусс показал, что $E (r) = O (r) {\ displaystyle E (r) = O (r)}$ $E (r) = O (r)$ . В общем, член ошибки O (r) был бы возможен при замене единичной окружности (или, точнее, замкнутого единичного диска) расширениями любой ограниченной плоской области с кусочно гладкой границей. Кроме того, при замене единичного круга единичным квадратом погрешность для общей задачи может быть такой же большой, как линейная функция от r. Следовательно, получение границы ошибки вида $O (r δ) {\ displaystyle O (r ^ {\ delta})}$ $O(r^{\delta})$ для некоторого $δ < 1 {\displaystyle \delta <1}$ $\ delta <1$ в случае круга - значительное улучшение. Первым, кто достиг этого, был Серпинский в 1906 году, который показал $E (r) = O (r 2/3) {\ displaystyle E (r) = O (r ^ {2/3})}$ $E (r) = O (r ^ {2/3})$ . В 1915 году Харди и Ландау показали, что каждый из них не имеет $E (r) = O (r 1/2) {\ displaystyle E (r) = O (r ^ {1/2) })}$ $E (r) = O (r ^ {1/2})$ . С тех пор цель заключалась в том, чтобы показать, что для каждого фиксированного $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ существует действительное число $C (ϵ) {\ displaystyle C (\ epsilon)}$ $C(\epsilon)$ такое, что $E (r) ≤ C (ϵ) r 1/2 + ϵ {\ displaystyle E (r) \ leq C (\ epsilon) r ^ {1/2 + \ epsilon}}$ $E (r) \ leq C (\ epsilon) r ^ {1 / 2 + \ epsilon}$ .

In 2000 Хаксли показал, что $E (r) = O (r 131/208) {\ displaystyle E (r) = O (r ^ {131/208})}$ $E (r) = O (r ^ {131/208})$ , что является лучшим опубликованным результатом.

Методы аналитической теории чисел

Ряды Дирихле

Одним из наиболее полезных инструментов в теории мультипликативных чисел являются ряды Дирихле, которые являются функциями комплексной переменной, определяемой бесконечным рядом вида

f (s) = ∑ n = 1 ∞ ann - s. {\ Displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} a_ {n} n ^ {- s}.}

f (s) = \ sum_ {n = 1 } ^ \ infty a_nn ^ {- s}.

В зависимости от выбора коэффициентов $an {\ displaysty le a_ {n}}$ $a_ {n}$ , этот ряд может сходиться везде, нигде или на некоторой полуплоскости. Во многих случаях, даже если ряд не сходится всюду, определяемая им голоморфная функция может быть аналитически продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. Полезность таких функций в мультипликативных задачах можно увидеть в формальном тождестве

(∑ n = 1 ∞ ann - s) (∑ n = 1 ∞ bnn - s) = ∑ n = 1 ∞ (∑ k ℓ = накб ℓ) н - с; {\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n ^ {- s} \ right) \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ { n} n ^ {- s} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {k \ ell = n} a_ {k} b _ {\ ell} \ right) n ^ {- s};}

\ left (\ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nn ^ {- s} \ right) \ left (\ sum_ {n = 1} ^ \ infty b_nn ^ {- s} \ right) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ left (\ sum_ {k \ ell = n} a_kb_ \ ell \ right) n ^ {- s};

, следовательно, коэффициенты произведения двух рядов Дирихле - это мультипликативные свертки исходных коэффициентов. Кроме того, для получения информации о коэффициентах из аналитической информации о рядах Дирихле можно использовать такие методы, как частичное суммирование и тауберовы теоремы. Таким образом, общий метод оценки мультипликативной функции состоит в том, чтобы выразить ее как ряд Дирихле (или произведение более простого ряда Дирихле с использованием тождеств свертки), изучить этот ряд как сложную функцию и затем преобразовать эту аналитическую информацию обратно в информацию об исходной функции..

Дзета-функция Римана

Эйлер показал, что основная теорема арифметики влечет (по крайней мере формально) произведение Эйлера

∑ n = 1 ∞ 1 ns = ∏ p ∞ 1 1 - p - s для s>1 (p - простое число) {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}} } = \ prod _ {p} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} {\ text {for}} s>1 \, \, \ (p {\ text {простое число)}} \,}

\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} = \prod_p^\infty \frac {1}{1-p^{-s}}\text{ for }s>1 \, \, \ (p \ text {простое число)} \,

Доказательство Эйлера бесконечности простых чисел использует расхождение термина в левой части для s = 1 (так называемый гармонический ряд ), чисто аналитический результат. Эйлер был также первым, кто использовал аналитические аргументы с целью изучения свойств целых чисел, в частности, путем построения генерирующий степенной ряд. Это было началом аналитической теории чисел.

Позже, Риман рассмотрел эту функцию для комплексных значений s и показал, что эта функция может быть расширена до мероморфной функции на всей плоскости с простым полюсом при s = 1. Теперь эта функция известна как дзета-функция Римана и обозначается ζ (s). По этой функции существует множество литературы, и эта функция является частным случаем более общих L-функций Дирихле.

Аналитических теоретиков чисел часто интересует погрешность приближений, таких как теорема о простых числах. В этом случае ошибка меньше, чем x / log x. Формула Римана для π (x) показывает, что член ошибки в этом приближении может быть выражен через нули дзета-функции. В своей статье 1859 года Риман предположил, что все «нетривиальные» нули ζ лежат на прямой $ℜ (s) = 1/2 {\ displaystyle \, \ Re (s) = 1/2 \,}$ $\, \ Re (s) = 1/2 \,$ , но никогда не приводили доказательства этого утверждения. Эта знаменитая и давняя гипотеза известна как гипотеза Римана и имеет много глубоких последствий в теории чисел; Фактически, многие важные теоремы были доказаны в предположении, что гипотеза верна. Например, согласно предположению гипотезы Римана, член ошибки в теореме о простых числах равен $O (x 1/2 + ε) {\ displaystyle O (x ^ {1/2 + \ varepsilon})}$ $O (x ^ {1/2 + \ varepsilon})$ .

В начале 20 века Г. Х. Харди и Литтлвуд доказали множество результатов о дзета-функции в попытке доказать гипотезу Римана. Фактически, в 1914 году Харди доказал, что существует бесконечно много нулей дзета-функции на критической прямой

ℜ (z) = 1/2. {\ Displaystyle \, \ Re (z) = 1/2. \,}

\, \ Re (z) = 1/2. \,

Это привело к нескольким теоремам, описывающим плотность нулей на критической прямой.

См. Также

Примечания

^ Апостол 1976, с. 7. Ошибка sfn: нет цели: CITEREFApostol1976 (help )
^Davenport 2000, p. 1.
^ Gowers, Timothy ; June Barrow-Green ; Имре Лидер (2008). Принстонский компаньон по математике. Princeton University Press. Pp. 764–765. ISBN 978-0-691-11880- 2.
^Канемицу, Шигеру; Чаохуа Цзя (2002). Теоретико-числовые методы: будущие тенденции. Springer. Pp. 271–274. ISBN 978-1-4020-1080-4.
^Эльстродт, Юрген (2007). «Жизнь и творчество Густава Лежена Дирихле (1805–1859)» (PDF ). Clay Mathematics Proceedings. Дата обращения 25 декабря 2007.
^Н. Коста Перейра (август – сентябрь 1985 г.). «Краткое доказательство теоремы Чебышева». American Mathematical Monthly. 92 (7): 494–495. doi : 10.2307 / 2322510. JSTOR 2322510.
^М. Наир (февраль 1982 г.) «О неравенствах типа Чебышева для простых чисел». American Mathematical Monthly. 89 (2): 126–129. doi : 10.2307 / 2320934. JSTOR 2 320934.
^Риман, Бернхард (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie. В Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), перепечатано Dover, New York (1953). Оригинал рукописи Архивирован 23 мая 2013 г. на Wayback Machine (с английским переводом). Перепечатано в (Borwein et al. 2008) harv error: нет цели: CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008 (help ) и (Edwards 1874) harv error: нет цели: CITEREFEdwards1874 ( справка )
^Ingham, AE (1990). Распределение простых чисел. Cambridge University Press, стр. 2–5. ISBN 0-521-39789-8.
^Tenenbaum 1995, p. 56.
^Tenenbaum 1995, p. 267.
^MN Huxley, Целочисленные точки, экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана, Теория чисел для тысячелетия, II (Urbana, IL, 2000), стр. 275–290, AK Peters, Natick, MA, 2002, MR 1956254.
^Iwaniec Kowalski: Analytic Number Theory, AMS Colloquium Pub. Vol. 53, 2004

Ссылки

Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для студентов по математике, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163- 3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Давенпорт, Гарольд (2000), мультипликативная теория чисел, Тексты для выпускников в мат. hematics, 74 (3-е издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6, MR 1790423
Тененбаум, Джеральд (1995), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521- 41261-7

Дополнительная литература

Аюб, Введение в аналитическую теорию чисел
Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воан, Теория мультипликативных чисел I: Классическая теория
Х. Иванец, Э. Ковальский, Аналитическая теория чисел.
Д. Дж. Ньюман, Аналитическая теория чисел, Springer, 1998 г.

По специальным аспектам особенно хорошо известны следующие книги:

Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е место). ред.), Oxford University Press
H. Хальберштам и Х.Э. Рихерт, Ситовые методы
Р. К. Воан, Метод Харди – Литтлвуда, 2-е. edn.

Некоторые темы еще не дошли до книжной формы. Некоторыми примерами являются (i) гипотеза парной корреляции Монтгомери и начатая с нее работа, (ii) новые результаты Голдстона, Пинца и Илидрима о небольших промежутках между простыми числами и ( iii) теорема Грина – Тао, показывающая, что существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии простых чисел.