Гипотеза Полиньяка

В теории чисел, гипотеза полиньяка была сделана Альфонс де Полиньяк в 1849 году и состояниях:

Для любого положительного четного числа n существует бесконечно много простых пробелов размера n. Другими словами: существует бесконечно много случаев двух последовательных простых чисел с разностью n.

Хотя гипотеза еще не была доказана или опровергнута ни для одного данного значения n, в 2013 году важный прорыв был сделан Чжан Итаном, который доказал, что существует бесконечно много промежутков между простыми числами размера n для некоторого значения n lt;70,000,000. Позже в том же году Джеймс Мейнард объявил о соответствующем прорыве, который доказал, что существует бесконечно много простых промежутков, размер которых меньше или равен 600. По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после объявления Чжана, согласно wiki проекта Polymath, n был сокращен до 246. Далее, исходя из гипотезы Эллиотта – Халберштама и ее обобщенной формы, вики проекта Polymath утверждает, что n было сокращено до 12 и 6 соответственно.

При n = 2 это гипотеза простого близнеца. Для n = 4 он говорит, что существует бесконечно много двоюродных простых чисел ( p,  p  + 4). Для n  = 6 он говорит, что существует бесконечно много сексуальных простых чисел ( p,  p  + 6) без простого числа между p и  p  + 6.

Гипотеза Диксона обобщает гипотезу Полиньяка на все простые созвездия.

Пусть для четного n будет количество простых промежутков размера n ниже x. ${\ Displaystyle \ pi _ {п} (х)}$

Первая гипотеза Харди – Литтлвуда гласит, что асимптотическая плотность имеет вид

${\ displaystyle \ pi _ {n} (x) \ sim 2C_ {n} {\ frac {x} {(\ ln x) ^ {2}}} \ sim 2C_ {n} \ int _ {2} ^ { x} {dt \ over (\ ln t) ^ {2}}}$

где C n является функцией n и означает, что частное двух выражений стремится к 1, когда x приближается к бесконечности. ${\ displaystyle \ sim}$

C 2 - двойная простая константа

${\ displaystyle C_ {2} = \ prod _ {p \ geq 3} {\ frac {p (p-2)} {(p-1) ^ {2}}} \ приблизительно 0,660161815846869573927812110014 \ dots}$

где произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3.

C n - это C 2, умноженное на число, которое зависит от нечетных простых множителей q числа n :

${\ displaystyle C_ {n} = C_ {2} \ prod _ {q | n} {\ frac {q-1} {q-2}}.}$

Например, C 4 = C 2 и C 6 = 2 C 2. Простые числа-близнецы имеют ту же предполагаемую плотность, что и простые числа кузенов, и вдвое меньше плотности простых чисел сексуальности.

Обратите внимание, что каждый нечетный простой множитель q из n увеличивает предполагаемую плотность по сравнению с простыми числами-близнецами в раз. Эвристический аргумент следующим образом. Он основан на некоторых недоказанных предположениях, поэтому вывод остается лишь предположением. Вероятность того, что случайное нечетное простое число q разделит либо a, либо a + 2 в случайной "потенциальной" паре простых чисел- близнецов, равна, поскольку q делит 1 из q чисел от a до a  +  q  - 1. Теперь предположим, что q делит n, и рассмотрим потенциальная простая пара ( a,  a  +  n). q  делит a  +  n тогда и только тогда, когда q делит a, и вероятность этого равна. Вероятность того, что ( a,  a  +  n) не зависит от фактора q, деленная на вероятность того, что ( a, a  +  2) свободна от q, затем делится на. Это равнозначно предполагаемой плотности простых чисел. В случае n  = 6 аргумент упрощается: если a - случайное число, то 3 имеет шанс 2/3 деления a или a  + 2, но только шанс 1/3 деления a и a  + 6, поэтому Предполагается, что вероятность того, что последняя пара будет простой, вдвое выше. ${\ displaystyle {\ tfrac {q-1} {q-2}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {q}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {q}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {q-1} {q}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {q-2} {q}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {q-1} {q-2}}}$

• Альфонс де Полиньяк, Новые поиски премьер-министров. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза де Полиньяка». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза k-кортежей». MathWorld.