Интеграл от обратных функций

В математике, интегралы от обратные функции могут вычисляться с помощью формулы, которая выражает первообразные обратного $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$непрерывного и обратимая функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в терминах $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$и первообразное от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Эта формула была опубликована в 1905 г. Шарлем-Анжем Лезаном.

• 1 Формулировка теоремы
• 2 Примеры
• 3 История
• 4 Обобщение на голоморфные функции
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Пусть $I\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\}\}$и $I\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{2\; \}\}$быть двумя интервалами из $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Предположим, что $f:\; I\; 1\; \to \; I\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; I\_\; \{1\}\; \backslash \; to\; I\_\; \{2\}\}$- непрерывная и обратимая функция. Из теоремы о промежуточном значении следует, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является строго монотонным. Следовательно, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$отображает интервалы в интервалы, так что это открытое отображение и, следовательно, гомеоморфизм. Поскольку $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и обратная функция $f\; -\; 1:\; I\; 2\; \to \; I\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}:\; I\_\; \{2\}\; \backslash \; to\; I\_\; \{\; 1\}\}$непрерывны, у них есть первообразные согласно фундаментальной теореме исчисления.

Лайзант доказал, что если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$является первообразной $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, тогда первообразными $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$являются:

$\int \; f\; -\; 1\; (y)\; dy\; знак\; равно\; yf\; -\; 1\; (y)\; -\; F\; \circ \; f\; -\; 1\; (y)\; +\; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash ,\; dy\; =\; yf\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; -F\; \backslash \; circ\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; +\; C,\}$

где $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$- произвольное действительное число. Обратите внимание, что не предполагается, что $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$является дифференцируемым.

В своей статье 1905 года Лайзан дал три доказательства. Во-первых, при дополнительной гипотезе, что $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$дифференцируемо, можно дифференцировать приведенную выше формулу, что немедленно завершает доказательство. Его второе доказательство было геометрическим. Если $f\; (a)\; =\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; =\; c\}$и $f\; (b)\; =\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (b)\; =\; d\}$, теорему можно записать:

$\int \; cdf\; -\; 1\; (y)\; dy\; +\; \int \; abf\; (x)\; dx\; =\; bd\; -\; ac.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{c\}\; ^\; \{d\}\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash ,\; dy\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; bd-ac.\}$

Рисунок справа - это доказательство без слов этой формулы. Лейсант не обсуждает гипотезы, необходимые для того, чтобы сделать это доказательство строгим, но это можно доказать, если только предположить, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$строго монотонный (не обязательно непрерывный, не говоря уже о дифференцируемом). В этом случае и $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, и $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$интегрируемы по Риману, и тождество следует из взаимного соответствия между нижней / верхней суммой Дарбу из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и верхней / нижней суммой Дарбу $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\; -1\}\}$. Тогда первообразная версия теоремы следует из фундаментальной теоремы исчисления в случае, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$также предполагается непрерывным. Третье доказательство Лайзана использует дополнительную гипотезу о дифференцируемости $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Начиная с $f\; -\; 1\; (f\; (x))\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (f\; (x))\; =\; x\}$, умножается на $f\; \prime \; (\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\}$и объединяет обе стороны. Правая часть вычисляется путем интегрирования по частям: $xf\; (x)\; -\; \int \; f\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; xf\; (x)\; -\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; int\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$, и формула следует.

Тем не менее, можно показать, что эта теорема верна, даже если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$или $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$не дифференцируем: достаточно, например, использовать интеграл Стилтьеса в предыдущем аргументе. С другой стороны, хотя общие монотонные функции дифференцируемы почти всюду, доказательство общей формулы не следует, если $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$равно абсолютно непрерывный.

Также можно проверить, что для каждого $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$в $I\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{2\}\}$, производная функции $y\; \to \; yf\; -\; 1\; (y)\; -\; F\; (f\; -\; 1\; (y))\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; to\; yf\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; -F\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y))\}$равно $f\; -\; 1\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\}$. Другими словами:

$\forall \; x\; \in \; I\; 1\; lim\; h\; \to \; 0\; (x\; +\; h)\; f\; (x\; +\; h)\; -\; xf\; (x)\; -\; (F\; (x\; +\; h)\; -\; F\; (x))\; f\; (x\; +\; з)\; -\; f\; (x)\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; I\_\; \{1\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; +\; h)\; f\; (x\; +\; h)\; -xf\; (x)\; -\; \backslash \; left\; (F\; (x\; +\; h)\; -F\; (x)\; \backslash \; right)\}\; \{f\; (x\; +\; h)\; -f\; (x)\}\}\; =\; x.\}$

Для этого достаточно применить теорему о среднем значении до $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$между $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $x\; +\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; h\}$, с учетом того, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$монотонен.

1. Предположим, что $f\; (x)\; =\; exp\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; exp\; (x)\}$, следовательно, $f\; -\; 1\; (y)\; =\; ln\; \; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; \backslash \; ln\; (y).\}$Приведенная выше формула сразу дает. $\int \; ln\; \; (y)\; dy\; =\; y\; ln\; \; (y)\; -\; у\; +\; С.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; int\; \backslash \; ln\; (y)\; \backslash ,\; dy\; =\; y\; \backslash \; ln\; (y)\; -y\; +\; C.\}$
2. Аналогично, с $f\; (x)\; =\; cos\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; соз\; (х)\}$и $f\; -\; 1\; (y)\; =\; arccos\; \; (y),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; \backslash \; arccos\; (\; y),\}$. $\int \; arccos\; \; (y)\; dy\; =\; y\; arccos\; \; (y)\; -\; sin\; \; (arccos\; \; (y))\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; int\; \backslash \; arccos\; (y)\; \backslash ,\; dy\; =\; y\; \backslash \; arccos\; (y)\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; arccos\; (y))\; +\; C.\}$
3. с $f\; (x)\; =\; tan\; \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; загар\; (х)\}$и $f\; -\; 1\; (y)\; =\; arctan\; \; (y),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (\; y)\; =\; \backslash \; arctan\; (y),\}$. $\int \; arctan\; \; (y)\; dy\; =\; y\; arctan\; \; (y)\; +\; ln\; \; |\; cos\; \; (arctan\; \; (y))\; |\; +\; С.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; int\; \backslash \; arctan\; (y)\; \backslash ,\; dy\; =\; y\; \backslash \; arctan\; (y)\; +\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; cos\; (\backslash \; arctan\; (y))\; |\; +\; C.\}$

По-видимому, эта теорема интегрирования была впервые обнаружена в 1905 году Шарлем-Анжем Лезаном, который «с трудом мог поверить, что эта теорема является новой», и надеялся, что ее использование отныне будет распространяться среди студентов и учителей.. Этот результат был независимо опубликован в 1912 году итальянским инженером Альберто Каприлли в опуске под названием «Nuove formole d'integrazione». Он был повторно открыт в 1955 году Паркером и рядом математиков, последовавших за ним. Тем не менее, все они предполагают, что f или f дифференцируемы. Общая версия теоремы , свободная от этого дополнительного предположения, была предложена Майклом Спиваком в 1965 году в качестве упражнения в исчислении, а довольно полное доказательство, следующее за теми же строками, было опубликовано Эриком Кей в 1994 году. Это доказательство опирается на само определение интеграла Дарбу и состоит в том, чтобы показать, что верхние суммы Дарбу функции f находятся в соответствии 1-1 с нижними суммами Дарбу f. В 2013 году Майкл Бенсимхун, оценив, что общая теорема еще недостаточно известна, дал два других доказательства: второе доказательство, основанное на интеграле Стилтьеса и его формулах интегрирования по частям а гомеоморфная замена переменных является наиболее подходящей для установления более сложных формул.

Вышеприведенная теорема очевидным образом обобщает на голоморфные функции: Пусть $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и $V\; \{\; \backslash \; displaystyle\; V\}$быть двумя открытыми и односвязными наборами $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, и предположим, что $f:\; U\; \to \; V\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; to\; V\}$- это биголоморфизм. Тогда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$имеют первообразные, и если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$является первообразной от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, общей первообразной от $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$равно

$G\; (z)\; =\; zf\; -\; 1\; (z)\; -\; F\; \circ \; f\; -\; 1\; (z)\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z)\; =\; zf\; ^\; \{-\; 1\}\; (z)\; -F\; \backslash \; circ\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (z)\; +\; C.\}$

Поскольку все голоморфные функции дифференцируемы, доказательство сразу же с помощью комплексного дифференциация.

• Портал математики

• Интегрирование по частям
• Преобразование Лежандра
• Неравенство Юнга для продуктов