Правила дифференциации

редактировать

Статья списка Викимедиа с правилами вычисления производной функции в исчислении

Это краткое изложение правила дифференцирования, то есть правила для вычисления производной функции в исчислении.

Содержание

1 Элементарные правила дифференцирования
- 1.1 Линейное дифференцирование
- 1.2 Правило произведения
- 1.3 Цепное правило
- 1.4 Правило обратной функции
2 Степенные законы, многочлены, частные и обратные
- 2.1 Полиномиальное или элементарное правило степени
- 2.2 Правило взаимности
- 2.3 Правило частного
- 2.4 Обобщенное правило степени
3 Производные экспоненциальной и логарифмической функций
- 3.1 Логарифмические производные
4 Производные тригонометрических функций
5 Производные гиперболические функции
6 Производные специальных функций
7 Производные интегралов
8 Производные до n-го порядка
- 8.1 Формула Фаа ди Бруно
- 8.2 Общее правило Лейбница
9 См. Также
10 Ссылки
11 Источники и дополнительная литература
12 Внешние ссылки

Элементарные правила дифференциации

Если не указано иное, все функции функции вещественных чисел (R), возвращающие действительные значения; хотя в более общем плане формулы ниже применяются везде, где они четко определены - включая случай комплексных чисел (C).

Линейное дифференцирование

Для любых функций $f { \ displaystyle f}$ $е$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ и любые действительные числа $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ , производная функции $h (x) = af (x) + bg (x) {\ displaystyle h (x) = af (x) + bg (x)}$ ${\ displaystyle h (x) = af (x) + bg (x)}$ в отношении $x {\ displaystyle x}$ $x$ равно

h ′ (x) = af ′ (x) + bg ′ (x). {\ displaystyle h '(x) = af' (x) + bg '(x).}

h'(x)=af'(x)+bg'(x).

В нотации Лейбница это записывается как:

d (af + bg) dx = adfdx + bdgdx. {\ displaystyle {\ frac {d (af + bg)} {dx}} = a {\ frac {df} {dx}} + b {\ frac {dg} {dx}}.}

{\ frac {d (af + bg)} {dx}} = a {\ frac {df} {dx}} + b {\ frac {dg } {dx}}.

Специальные случаи включают:

правило постоянного множителя

(af) ′ = af ′ {\ displaystyle (af) '= af'}

(af)'=af'

правило сумм

(f + g) ′ = f ′ + g ′ {\ displaystyle (f + g) '= f' + g '}

(f+g)'=f'+g'

Вычитание ru le

(f - g) ′ = f ′ - g ′. {\ displaystyle (fg) '= f'-g'.}

(f-g)'=f'-g'.

Правило произведения

Для функций f и g производная функции h (x) = f (x) g ( x) по отношению к x равно

h ′ (x) = (fg) ′ (x) = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x). {\ displaystyle h '(x) = (fg)' (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x).}

h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

В обозначениях Лейбница это записано

d (fg) dx = dfdxg + fdgdx. {\ displaystyle {\ frac {d (fg)} {dx}} = {\ frac {df} {dx}} g + f {\ frac {dg} {dx}}.}

{\ frac {d (fg)} {dx}} = {\ frac {df} {dx}} g + f {\ frac {dg } {dx}}.

Цепное правило

Производная функции $h (x) = f (g (x)) {\ displaystyle h (x) = f (g (x))}$ $h (x) = f (g (x))$ равна

h ′ (x) = f ′ (g (x)) ⋅ g ′ (x). {\ displaystyle h '(x) = f' (g (x)) \ cdot g '(x).}

h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).

В обозначениях Лейбница это записывается как:

ddxh (x) = ddzf (z) | z знак равно g (x) ⋅ ddxg (x), {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} h (x) = {\ frac {d} {dz}} f (z) | _ {z = g (x)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} g (x),}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} h (x) = {\ frac {d} {dz }} е (z) | _ {z = g (x)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} g (x),}

часто сокращается до

dh (x) dx = df (g (x)) dg (x) ⋅ dg (х) dx. {\ displaystyle {\ frac {dh (x)} {dx}} = {\ frac {df (g (x))} {dg (x)}} \ cdot {\ frac {dg (x)} {dx} }.}

{\ displaystyle {\ frac {dh (x)} {dx}} = {\ frac {df (g (x))} {dg (x)}} \ cdot {\ frac {dg (x)} {dx}}.}

Сосредоточившись на понятии карт, а дифференциал - это карта $D {\ displaystyle {\ text {D}}}$ ${\ displaystyle {\ text {D}}}$ , это записывается более кратко как :

[D (f ∘ g)] x = [D f] g (x) ⋅ [D g] x. {\ displaystyle [{\ text {D}} (е \ circ g)] _ {x} = [{\ text {D}} f] _ {g (x)} \ cdot [{\ text {D}} g] _ {x} \,.}

{\ displaystyle [{\ text {D}} (f \ circ g)] _ {x} = [{\ text {D}} f] _ {g (x)} \ cdot [{\ text {D}} g] _ {x} \,.}

Правило обратной функции

Если функция f имеет обратную функцию g, что означает, что $g (f (x)) = Икс {\ Displaystyle г (е (х)) = х}$ ${\ displaystyle g (f (x)) = x}$ и $е (г (у)) = у, {\ Displaystyle F (г (у)) = у,}$ ${\ displaystyle f (g (y)) = y,}$ , тогда

g ′ = 1 f ′ ∘ g. {\ displaystyle g '= {\ frac {1} {f' \ circ g}}.}

g'={\frac {1}{f'\circ g}}.

В системе обозначений Лейбница это записывается как

d x d y = 1 d y d x. {\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ frac {dy} {dx}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ frac {dy} {dx}}}.}

Степенные законы, многочлены, частные и обратные

Правило полинома или элементарной степени

Если $f (x) = xr {\ displaystyle f (x) = x ^ {r}}$ $f (x) = x ^ r$ , для любого действительного числа $р ≠ 0, {\ displaystyle r \ neq 0,}$ ${\ displaystyle r \ neq 0,}$ , тогда

f '(x) = rxr - 1. {\ displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1}.}

f'(x)=rx^{r-1}.

Когда $r = 1, {\ displaystyle r = 1,}$ ${\ Displaystyle r = 1,}$ , это становится особым случаем, если $е (x) = x, {\ displaystyle f (x) = x,}$ ${\ displaystyle f (x) = x,}$ , затем $f '(x) = 1. {\ displaystyle f' (x) = 1. }$ $f'(x)=1.$

Комбинирование правила мощности с правилами суммы и множественного числа констант позволяет вычислить производную любого многочлена.

Правило взаимности

Производная от $h (x) = 1 f (x) {\ displaystyle h (x) = {\ frac {1} {f (x) }}}$ ${\ displaystyle h (x) = {\ frac {1} {f (x)}}}$ для любой (отличной от нуля) функции f:

h ′ (x) = - f ′ (x) (f (x)) 2 {\ displaystyle h '(x) = - {\ frac {f '(x)} {(f (x)) ^ {2}}}}

h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}

везде, где f не равно нулю.

В обозначениях Лейбница это записывается

d (1 / f) dx = - 1 f 2 dfdx. {\ displaystyle {\ frac {d (1 / f)} {dx}} = - {\ frac {1} {f ^ {2}}} {\ frac {df} {dx}}.}

{\ displaystyle {\ frac {d (1 / f)} {dx}} = - {\ frac {1} {f ^ {2}}} {\ frac {df} {dx}}.}

Взаимное правило может быть получено либо из правила частного, либо из комбинации правила силы и правила цепочки.

Правило частного

Если f и g - функции, то:

(fg) ′ = f ′ g - g ′ fg 2 {\ displaystyle \ left ({\ frac { f} {g}} \ right) '= {\ frac {f'g-g'f} {g ^ {2}}} \ quad}

\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad

где g не равно нулю.

Это может быть производным от правила продукта и правила взаимности.

Обобщенное правило мощности

Правило элементарной мощности значительно обобщает. Наиболее общее правило мощности - это правило функциональной мощности : для любых функций f и g

(fg) ′ = (например, ln ⁡ f) ′ = fg (f ′ gf + g ′ ln ⁡ е), {\ displaystyle (f ^ {g}) '= \ left (e ^ {g \ ln f} \ right)' = f ^ {g} \ left (f '{g \ over f} + g' \ ln f \ right), \ quad}

(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad

везде, где обе стороны четко определены.

Особые случаи

Если $f (x) = xa {\ textstyle f (x) = x ^ {a} \!}$ ${\ textstyle f (x) = x ^ {a} \!}$ , тогда $f '(x) = axa - 1 {\ textstyle f' (x) = ax ^ {a-1}}$ ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$ когда a - любое ненулевое действительное число, а x - положительное число.
Правило взаимности может быть получено как частный случай, когда $g (x) = - 1 {\ textstyle g (x) = - 1 \!}$ ${\ textstyle g (х) = - 1 \!}$ .

Производные экспоненциальной и логарифмической функций

ddx (cax) = acax ln ⁡ c, c>0 {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (c ^ {ax} \ right) = {ac ^ {ax} \ ln c}, \ qquad c>0}

{\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0

вышеупомянутое уравнение верно для ll c, но производная для $c < 0 {\textstyle c<0}$ ${\ textstyle c <0}$ дает комплексное число.

ddx (eax) = aeax {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (e ^ {ax} \ right) = ae ^ {ax}}

{\ frac {d} {dx}} \ left (e ^ {ax} \ right) = ae ^ {ax}

ddx (log c ⁡ x) Знак равно 1 Икс пер с, с>0, с ≠ 1 {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ log _ {c} x \ right) = {1 \ over x \ ln c}, \ qquad c>0, c \ neq 1}

{\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0, c \ neq 1

вышеприведенное уравнение также верно для всех c, но дает комплексное число, если $c < 0 {\textstyle c<0\!}$ ${\ textstyle c <0 \!}$ .

ddx (ln ⁡ x) = 1 x, x>0. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln x \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x>0.}

{\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.

ddx (ln ⁡ | x |) = 1 х. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln | x | \ right) = {1 \ over x}.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln | x | \ right) = {1 \ over x}.}

d d x (x x) = x x (1 + ln ⁡ x). {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {x} \ right) = x ^ {x} (1+ \ ln x).}

{\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {x} \ right) = x ^ {x} (1+ \ ln x).

ddx (f (x) g ( x)) = g (x) f (x) g (x) - 1 dfdx + f (x) g (x) ln ⁡ (f (x)) dgdx, если f (x)>0, и если dfdx и dgdx существует. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = g (x) f (x) ^ {g (x) -1} {\ гидроразрыв {df} {dx}} + f (x) ^ {g (x)} \ ln {(f (x))} {\ frac {dg} {dx}}, \ qquad {\ text {if}} f (x)>0, {\ text {and if}} {\ frac {df} {dx}} {\ text {and}} {\ frac {dg} {dx}} {\ text {exist.}} }

{\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0, {\ text {и if}} {\ frac {df} {dx}} {\ text {и}} {\ frac {dg} {dx}} {\ text {существуют. }}

ddx (f 1 (x) f 2 (x) (...) Fn (x)) = [∑ k = 1 n ∂ ∂ xk (f 1 (x 1) f 2 (x 2) (...) Fn (xn))] | x 1 = x 2 =... = xn = x, если fi < n ( x)>0 и {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f_ {1} (x) ^ { f_ {2} (x) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} (x)}}} \ right) = \ left [\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n } {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left (f_ {1} (x_ {1}) ^ {f_ {2} (x_ {2}) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} (x_ {n})}}} \ right) \ right] {\ biggr \ vert} _ {x_ {1} = x_ {2} =... = x_ {n} = x}, {\ text {if}} f_ {i 0 {\ text {and}}}

${\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0 {\ text {and}}$

d f i d x существует. {\ displaystyle {\ frac {df_ {i}} {dx}} {\ text {существует. }}}

{\ displaystyle {\ frac {df_ {i}) } {dx}} {\ text {существует. }}}

Логарифмическая производная

логарифмическая производная - это еще один способ определения правила дифференцирования логарифма функции (с использованием цепного правила):

(пер ⁡ f) ′ = f ′ f {\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad}

(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad

везде, где f положительно.

Логарифмическое дифференцирование - это метод, который использует логарифмы и их правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной. Логарифмы могут использоваться для удаления показателей степени, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание - каждое из которых может привести к упрощенному выражению для получения производных.

Производные тригонометрических функций

$(sin ⁡ x) ′ = cos ⁡ x {\ displaystyle (\ sin x) '= \ cos x}$ $(\sin x)'=\cos x$	$(arcsin ⁡ x) ′ = 1 1 - Икс 2 {\ displaystyle (\ arcsin x) '= {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$ $(\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(соз ⁡ x) ′ = - грех ⁡ x {\ displaystyle (\ соз x) '= - \ sin x}$ $(\cos x)'=-\sin x$	$(arccos ⁡ x) ′ = - 1 1 - x 2 {\ displaystyle (\ arccos x)' = - {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ { 2}}}}}$ $(\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(загар ⁡ x) ′ = сек 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x {\ displaystyle (\ tan x) '= \ sec ^ {2} x = {1 \ над \ соз ^ {2} x} = 1 + \ tan ^ {2} x}$ $(\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x$	$(arctan ⁡ x) ′ = 1 1 + x 2 {\ displaystyle (\ arctan x) '= { 1 \ более 1 + x ^ {2}}}$ $(\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}$
$(детская кроватка ⁡ x) ′ = - csc 2 ⁡ x = - 1 sin 2 ⁡ x = - (1 + детская кроватка 2 ⁡ x) {\ displaystyle (\ cot x) '= - \ csc ^ {2} x = - {1 \ over \ sin ^ {2} x} = - (1+ \ cot ^ {2} x)}$ $(\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)$	$(arccot ⁡ x) ′ = - 1 1 + x 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arccot} x) '= - {1 \ over 1 + x ^ {2}}}$ $(\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}$
$(sec ⁡ x) ′ = tan ⁡ x sec ⁡ x { \ displaystyle (\ sec x) '= \ tan x \ sec x}$ $(\sec x)'=\tan x\sec x$	$(arcsec ⁡ x) ′ = 1 \| х \| Икс 2 - 1 {\ Displaystyle (\ Operatorname {arcsec} x) '= {1 \ over \| x \| {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$ $(\operatorname {arcsec} x)'={1 \over \|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$(csc ⁡ x) ′ = - детская кроватка ⁡ x csc ⁡ x {\ displaystyle (\ csc x) '= - \ cot x \ csc x}$ $(\csc x)'=-\cot x\csc x$	$(arccsc ⁡ x) ′ = - 1 \| х \| x 2 - 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arccsc} x) '= - {1 \ over \| x \| {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$ $(\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over \|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Обычно дополнительно определяют функция обратной тангенса с двумя аргументами, $arctan ⁡ (y, x) {\ displaystyle \ arctan (y, x) \!}$ ${\ displaystyle \ arctan ( y, x) \!}$ . Его значение находится в диапазоне $[- π, π] {\ displaystyle [- \ pi, \ pi] \!}$ ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi] \!}$ и отражает квадрант точки $(x, y) {\ Displaystyle (х, у) \!}$ ${\ displaystyle (x, y) \!}$ . Для первого и четвертого квадранта (т.е. $x>0 {\ displaystyle x>0 \!}$ $x>0 \!$ ) один имеет $арктангенс ⁡ (y, x>0) = арктангенс ⁡ (y / x) {\ displaystyle \ arctan (y, x>0) = \ arctan (y / x) \!}$ $\arctan(y,x>0) = \ arctan (y / x) \!$ . Его частные производные равны

∂ arctan ⁡ (y, x) ∂ y = xx 2 + y 2 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial y}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

{\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial y}} = { \ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}

∂ arctan ⁡ (y, x) ∂ x = - yx 2 + y 2. {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial x}} = {\ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

{\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial x}} = {\ frac {-y } {x ^ {2} + y ^ {2}}}.

Производные гиперболических функций

$(sinh ⁡ x) ′ = cosh ⁡ x = ex + e - x 2 {\ displaystyle (\ sinh x) '= \ cosh x = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {-x}} {2}}}$ $(\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$	$(арсинь х) ′ = 1 x 2 + 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arsinh} \, x) '= {1 \ over {\ sqrt {x ^ { 2} +1}}}}$ $(\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
$(cosh ⁡ x) ′ = sinh ⁡ x = ex - e - x 2 {\ displaystyle (\ cosh x) '= \ sinh x = {\ frac {e ^ {x } -e ^ {- x}} {2}}}$ $(\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$	$(arcosh x) ′ = 1 x 2 - 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arcosh} \, x) '= {\ frac {1} { \ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$ $(\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$(tanh ⁡ x) ′ = sech 2 x {\ displaystyle (\ tanh x) '= {\ operatorname {sech} ^ {2} \, x }}$ $(\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}$	$(artanh x) ′ = 1 1 - x 2 {\ displaystyle (\ operatorname {artanh} \, x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}}$ $(\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$
$(coth x) ′ = - csch 2 Икс {\ Displaystyle (\ operatorname {coth} \, x) '= - \, \ Operatorname {csch} ^ {2} \, x}$ $(\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$	$(arcoth x) ′ = 1 1 - Икс 2 {\ displaystyle (\ Operatorname {arcoth} \, x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}}$ $(\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$
$(sech x) ′ = - tanh ⁡ x sech x {\ displaystyle (\ operatorname {sech} \, x) '= - \ tanh x \, \ operatorname {sech} \, x}$ $(\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$	$(arsech x) ′ = - 1 x 1 - x 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arsech}) \, x) '= - {1 \ над x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$ $(\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(csch x) ′ = - coth x csch x {\ displaystyle (\ operatorname {csch} \, x) '= - \, \ operatorname {coth} \, x \, \ operatorname {csch} \, x}$ $(\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$	$(arcsch x) ′ = - 1 \| х \| 1 + x 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arcsch} \, x) '= - {1 \ over \| x \| {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$ $(\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over \|x\|{\sqrt {1+x^{2}}}}$

См. гиперболический функции для ограничений на эти производные.

Производные специальных функций

Гамма-функция $Γ (x) = ∫ 0 ∞ tx - 1 e - tdt {\ displaystyle \ quad \ Gamma (x) = \ int _ { 0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \, dt}$ ${\ displaystyle \ quad \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \, dt}$

Γ ′ (x) = ∫ 0 ∞ tx - 1 e - t ln ⁡ tdt {\ displaystyle \ Gamma '(x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \ ln t \, dt}

\Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt

= Γ (x) (∑ n = 1 ∞ (пер ⁡ (1 + 1 п) - 1 Икс + N) - 1 Икс) {\ Displaystyle \, = \ Гамма (х) \ влево (\ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} \ влево (\ ln \ left (1 + {\ dfrac {1} {n}} \ right) - {\ dfrac {1} {x + n}} \ right) - {\ dfrac {1} {x}} \ right)}

{\ displaystyle \, = \ Gamma (x) \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ ln \ left (1 + {\ dfrac {1} {n}} \ right) - { \ dfrac {1} {x + n}} \ right) - {\ dfrac {1} {x}} \ right)}

знак равно Γ (x) ψ (x) {\ displaystyle \, = \ Gamma (x) \ psi (x)}

{\ displaystyle \, = \ Гамма (x) \ psi (x)}

с $ψ (x) {\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ - функция дигамма, выраженная выражением в скобках справа от $Γ (x) {\ displaystyle \ Gamma (x)}$ $\ Gamma (x)$ в строке над.

Дзета-функция Римана $ζ (x) = ∑ n = 1 ∞ 1 nx {\ displaystyle \ quad \ zeta (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыв {1} {n ^ {x}}}}$ ${\ displaystyle \ quad \ zeta (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}}}$: $ζ ′ (x) = - ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ nnx = - ln ⁡ 2 2 x - ln ⁡ 3 3 x - ln ⁡ 4 4 x - ⋯ {\ displaystyle \ zeta '(x) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln n} {n ^ {x}}} = - {\ frac {\ ln 2} {2 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 3} {3 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 4} {4 ^ {x}}} - \ cdots}$ $\zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots$

= - ∑ п простое число п - Икс пер ⁡ п (1 - п - Икс) 2 ∏ q простое число, q ≠ п 1 1 - q - x {\ displaystyle \, = - \ sum _ {p {\ text {prime }}} {\ frac {p ^ {- x} \ ln p} {(1-p ^ {- x}) ^ {2}}} \ prod _ {q {\ text {prime}}, q \ neq p} {\ frac {1} {1-q ^ {- x}}}}

{\ displaystyle \, = - \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {p ^ {- x} \ ln p} {(1-p ^ {- x}) ^ {2}}} \ prod _ {q {\ text {prime}}, q \ neq p} {\ frac { 1} {1-q ^ {- x}}}}

Производные интегралов

Предположим, что требуется дифференцировать по x функцию

F ( Икс) знак равно ∫ a (Икс) б (Икс) е (Икс, T) dt, {\ Displaystyle F (х) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,}

F (x) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,

где функции $f (x, t) {\ displaystyle f (x, t)}$ $f (x, t)$ и $∂ ∂ xf (x, t) {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t)}$ оба непрерывны в обоих $t {\ displaystyle t}$ $t$ и $x {\ displaystyle x}$ $x$ в некоторой области $(t, x) {\ displaystyle (t, x)}$ $(t, x)$ плоскость, включая $a (x) ≤ t ≤ b (x), {\ displaystyle a (x) \ leq t \ leq b (x),}$ $a (x) \ leq t \ leq b (x),$ $x 0 ≤ x ≤ x 1 {\ displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$ $x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}$ , а функции $a (x) {\ displaystyle a (x)}$ $a (x)$ и $b (x) {\ displaystyle b (x)}$ $б (Икс)$ оба непрерывны, и оба имеют непрерывные производные для $x 0 ≤ x ≤ x 1 {\ displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$ $x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}$ . Тогда для $x 0 ≤ x ≤ x 1 {\ displaystyle \, x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$ ${\ displaystyle \, x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$ :

F ′ (x) = f (x, b (x)) b ′ (X) - f (x, a (x)) a ′ (x) + ∫ a (x) b (x) ∂ ∂ xf (x, t) dt. {\ Displaystyle F '(x) = f (x, b (x)) \, b' (x) -f (x, a (x)) \, a '(x) + \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t) \; dt \,.}

F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.

Эта формула является общей формой Интегральное правило Лейбница и может быть получено с использованием фундаментальной теоремы исчисления.

Производные до n-го порядка

Существуют некоторые правила для вычисления n-й производной функций, где n - положительное число. К ним относятся:

Формула Фаа ди Бруно

Если f и g дифференцируемы n раз, то

d n d x n [f (g (x))] = n! ∑ {К м} е (г) (г (х)) ∏ м знак равно 1 N 1 К м! (г (м) (х)) км {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (g (x))] = п! \ сумма _ {\ {k_ {m} \}} ^ {} f ^ {(r)} (g (x)) \ prod _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {m}!}} \ left (g ^ {(m)} (x) \ right) ^ {k_ {m}}}

{\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (g (x))] = n! \ sum _ {\ {k_ {m} \}} ^ {} f ^ {(r)} (g (x)) \ prod _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {m}!}} \ left (g ^ {(m)} (x) \ right) ^ {k_ {m}}

где $r = ∑ m = 1 n - 1 км {\ displaystyle r = \ sum _ {m = 1} ^ {n-1} k_ {m}}$ $r = \ sum _ {m = 1} ^ {n-1} k_ {m}$ и набор ${km} {\ displaystyle \ {k_ {m} \}}$ $\{k_{m}\}$ состоит из всех не -отрицательные целочисленные решения диофантова уравнения $∑ m = 1 nmkm = n {\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {n} mk_ {m} = n}$ $\ sum _ {m = 1} ^ {n} mk_ {m} = n$ .

Общее правило Лейбница

Если f и g дифференцируемы n раз, то

dndxn [f (x) g (x)] = ∑ k = 0 n (nk) dn - kdxn - kf (x) dkdxkg (x) {\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (x) g (x)] = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k }} {\ frac {d ^ {nk}} {dx ^ {nk}}} f (x) {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} g (x)}

{\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (x) g (x)] = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {d ^ {nk}} {dx ^ {nk}}} f (x) {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} g (x)

См. Также

Ссылки

Источники и дополнительная литература

Эти правила приведены во многих книгах, как на элементарное и продвинутое исчисление, в чистой и прикладной математике. Те, что в этой статье (в дополнение к приведенным выше ссылкам), могут быть найдены в:

Математический справочник формул и таблиц (3-е издание), С. Липшуц, М. Р. Шпигель, Дж. Лю, Обзорная серия Шаума, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
Кембриджский справочник по физическим формулам, Дж. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
Математические методы для физики и техники, К.Ф. Райли, М. Хобсон, С.Дж. Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
Справочник NIST по математическим функциям, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

Внешние ссылки

Калькулятор производных с упрощением формул