Исчисление Маллявэна

редактировать

В теории вероятностей и смежных областях исчисление Маллявэна - это набор математических методов и идей, которые расширяют математическое поле вариационного исчисления от детерминированных функций до случайных процессов. В частности, это позволяет вычисление производных от случайных величин. Мальявен исчисление также называется стохастическое исчисление вариаций. П. Маллявин первым начал исчисление в бесконечномерном пространстве. Затем такие важные участники, как С. Кусуока, Д. Строок, Бисмут, С. Ватанабэ, И. Сигекава и др., Наконец, завершили фундамент.

Исчисление Маллявэна названо в честь Поля Маллявена, идеи которого привели к доказательству того, что условие Хёрмандера подразумевает существование и гладкость плотности для решения стохастического дифференциального уравнения ; Первоначальное доказательство Хёрмандера было основано на теории дифференциальных уравнений в частных производных. Исчисление применялось также к стохастическим уравнениям в частных производных.

Исчисление позволяет интегрировать по частям со случайными величинами ; эта операция используется в финансовой математике для вычисления чувствительности производных финансовых инструментов. У исчисления есть приложения, например, в стохастической фильтрации.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Обзор и история
2 Принцип инвариантности
3 Формула Кларка-Окона
4 Интеграл Скорохода
5 приложений
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Обзор и история

Маллявен ввел исчисление Маллявэна, чтобы обеспечить стохастическое доказательство того, что условие Хёрмандера подразумевает существование плотности для решения стохастического дифференциального уравнения ; Первоначальное доказательство Хёрмандера было основано на теории дифференциальных уравнений в частных производных. Его исчисление позволило Маллявэну доказать оценки регулярности плотности решения. Исчисление применялось к стохастическим уравнениям в частных производных.

Принцип инвариантности

Обычный принцип инвариантности для интегрирования Лебега по всей действительной прямой состоит в том, что для любого действительного числа ε и интегрируемой функции f выполняется следующее

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (х) \, d \ лямбда (х) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (х + \ varepsilon) \, d \ lambda (x)}

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (х) \, d \ лямбда (х) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (х + \ varepsilon) \, d \ lambda (x)}

и, следовательно

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f '(x) \, d \ lambda (x) = 0.}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f '(x) \, d \ lambda (x) = 0.}

Это можно использовать для вывода формулы интегрирования по частям, поскольку, установив f = gh, это означает, что

{\ displaystyle 0 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f '\, d \ lambda = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (gh)' \, d \ lambda = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} gh '\, d \ lambda + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g'h \, d \ lambda.}

{\ displaystyle 0 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f '\, d \ lambda = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (gh)' \, d \ lambda = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} gh '\, d \ lambda + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g'h \, d \ lambda.}

Похожая идея может быть применена в стохастическом анализе для дифференцирования по направлению Камерона-Мартина-Гирсанова. В самом деле, пусть - квадратично интегрируемый предсказуемый процесс и положим ${\ displaystyle h_ {s}}$ $ч_ {s}$

{\ displaystyle \ varphi (t) = \ int _ {0} ^ {t} h_ {s} \, ds.}

\ varphi (t) = \ int _ {0} ^ {t} h_ {s} \, ds.

Если - винеровский процесс, то теорема Гирсанова дает следующий аналог принципа инвариантности: ${\ displaystyle X}$ $Икс$

{\ Displaystyle E (F (X + \ varepsilon \ varphi)) = E \ left [F (X) \ exp \ left (\ varepsilon \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} \, dX_ {s}) - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {2} \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} ^ {2} \, ds \ right) \ right].}

E (F (X + \ varepsilon \ varphi)) = E \ left [F (X) \ exp \ left (\ varepsilon \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} \, dX_ {s} - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {2} \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} ^ {2} \, ds \ right) \ right].

Дифференцируя по ε с обеих сторон и оценивая при ε = 0, получаем следующую формулу интегрирования по частям:

{\ Displaystyle E (\ langle DF (X), \ varphi \ rangle) = E {\ Bigl [} F (X) \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} \, dX_ {s} {\ Бигр]}.}

E (\ langle DF (X), \ varphi \ rangle) = E {\ Bigl [} F (X) \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} \, dX_ {s} {\ Bigr]}.

Здесь левая часть представляет собой производную Маллявэна случайной величины по направлению, а интеграл, появляющийся в правой части, следует интерпретировать как интеграл Ито. Это выражение также остается верным (по определению), если оно не адаптировано, при условии, что правая часть интерпретируется как интеграл Скорохода. ${\ displaystyle F}$ $F$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ${\ displaystyle h}$ $час$

Формула Кларка-Окона

Основная статья: теорема Кларка – Окона

Одним из наиболее полезных результатов исчисления Маллявэна является теорема Кларка-Оконе, которая позволяет явно идентифицировать процесс в теореме мартингального представления. Упрощенная версия этой теоремы выглядит следующим образом:

Для удовлетворения липшицевости и такой, что F имеет сильное производное ядро в том смысле, что for in C [0,1] ${\ Displaystyle F: С [0,1] \ к \ mathbb {R}}$ $F: C [0,1] \ to \ mathbb {R}$ ${\ Displaystyle E (F (X) ^ {2}) lt;\ infty}$ $E (F (X) ^ {2}) lt;\ infty$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (1 / \ varepsilon) (F (X + \ varepsilon \ varphi) -F (X)) = \ int _ {0} ^ {1} F '(X, dt) \ varphi (t) \ \ mathrm {ae} \ X}

\ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (1 / \ varepsilon) (F (X + \ varepsilon \ varphi) -F (X)) = \ int _ {0} ^ {1} F '(X, dt) \ varphi (t) \ \ mathrm {ae} \ X

потом

{\ Displaystyle F (X) = E (F (X)) + \ int _ {0} ^ {1} H_ {t} \, dX_ {t},}

F (X) = E (F (X)) + \ int _ {0} ^ {1} H_ {t} \, dX_ {t},

где H - предполагаемая проекция F '( x, ( t, 1]), которую можно рассматривать как производную функции F относительно подходящего параллельного сдвига процесса X по части ( t, 1] его домен.

Более кратко это можно выразить следующим образом:

{\ Displaystyle F (X) = E (F (X)) + \ int _ {0} ^ {1} E (D_ {t} F | {\ mathcal {F}} _ {t}) \, dX_ { t}.}

F (X) = E (F (X)) + \ int _ {0} ^ {1} E (D_ {t} F | {\ mathcal {F}} _ {t}) \, dX_ {t}.

Большая часть работы по формальному развитию исчисления Маллявэна включает расширение этого результата на максимально возможный класс функционалов F путем замены производного ядра, использованного выше, на « производную Маллявэна », обозначенную в приведенной выше формулировке результата. ${\ displaystyle D_ {t}}$ $Д_ {т}$

Скороход интеграл

Основная статья: Интеграл Скорохода

Интеграла Скороход оператор, который обычно обозначается б определяется как сопряженная производная Маллявэна, таким образом, для и в области оператора, который является подмножеством, для F в области производной Маллявэна, мы требуем ${\ Displaystyle L ^ {2} ([0, \ infty) \ раз \ Omega)}$ $L ^ {2} ([0, \ infty) \ раз \ Омега)$

{\ Displaystyle Е (\ langle DF, и \ rangle) = Е (F \ дельта (и)),}

E (\ langle DF, и \ rangle) = E (F \ delta (u)),

где внутренний продукт - это то, что на а именно ${\ Displaystyle L ^ {2} [0, \ infty)}$ $L ^ {2} [0, \ infty)$

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (s) g (s) \, ds.}

\ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (s) g (s) \, ds.

Существование этого сопряженного следует из теоремы Рисса о представлении линейных операторов в гильбертовых пространствах.

Можно показать, что если u адаптировано, то

{\ displaystyle \ delta (u) = \ int _ {0} ^ {\ infty} u_ {t} \, dW_ {t},}

\ delta (u) = \ int _ {0} ^ {\ infty} u_ {t} \, dW_ {t},

где интеграл следует понимать в смысле Ито. Таким образом, это обеспечивает метод расширения интеграла Ито на неадаптированные подынтегральные выражения.

Приложения

использованная литература

Кусуока, С. и Строок, Д. (1981) «Приложения исчисления Маллявэна I», Стохастический анализ, Труды Международного симпозиума Танигучи, Катата и Киото, 1982, стр. 271–306.
Кусуока, С. и Строок, Д. (1985) "Применение исчисления Маллявэна II", J. Faculty Sci. Uni. Tokyo Sect. 1A Math., 32 с. 1–76
Кусуока, С. и Строок, Д. (1987) "Применение исчисления Маллявэна III", J. Faculty Sci. Univ. Tokyo Sect. 1A Math., 34 с. 391–442
Маллявин, Поль и Талмайер, Антон. Стохастическое исчисление вариаций в математических финансах, Springer 2005, ISBN 3-540-43431-3
Нуаларт, Дэвид (2006). Исчисление Маллявэна и связанные с ним темы (Второе изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
Белл, Денис. (2007) Исчисление Маллявэна, Дувр. ISBN 0-486-44994-7 ; электронная книга
Шиллер, Алекс (2009) Исчисление Маллявэна для моделирования Монте-Карло с финансовыми приложениями. Диссертация, факультет математики, Принстонский университет
Эксендал, Бернт К. (1997) Введение в исчисление Маллявэна с приложениями к экономике. Конспект лекций, факультет математики, Университет Осло (Zip-файл, содержащий диссертацию и приложение)
Ди Нунно, Джулия, Эксендал, Бернт, Проске, Франк (2009) «Исчисление Маллявэна для процессов Леви с приложениями к финансам», Universitext, Springer. ISBN 978-3-540-78571-2

внешние ссылки

Цитаты, связанные с исчислением Маллявэна в Wikiquote
Фриз, Питер К. (2005-04-10). "Введение в исчисление Маллявэна" (PDF). Архивировано из оригинального (PDF) 17 апреля 2007 года. Проверено 23 июля 2007. Конспект лекций, 43 страницы

Чжан, Х. (11 ноября 2004 г.). «Исчисление Маллявэна» (PDF). Проверено 11 ноября 2004. Диссертация, 100 стр.