Стохастическое исчисление

Стохастическое исчисление - это раздел математики, который работает со случайными процессами. Это позволяет определить последовательную теорию интегрирования для интегралов случайных процессов по отношению к случайным процессам.

Самый известный случайный процесс, к которому применяется стохастическое исчисление, - это винеровский процесс (названный в честь Норберта Винера ), который используется для моделирования броуновского движения, описанного Луи Башелье в 1900 году и Альбертом Эйнштейном в 1905 году, а также других физических диффузионных процессов. в пространстве частиц, подверженных действию случайных сил. С 1970-х годов винеровский процесс широко применяется в финансовой математике и экономике для моделирования эволюции во времени цен на акции и процентных ставок по облигациям.

Основными разновидностями стохастического исчисления являются исчисление Ито и его вариационный аналог - исчисление Маллявэна. По техническим причинам интеграл Ито является наиболее полезным для общих классов процессов, но связанный с ним интеграл Стратоновича часто бывает полезен при постановке задач (особенно в инженерных дисциплинах). Интеграл Стратоновича легко выразить через интеграл Ито. Основное преимущество интеграла Стратоновича состоит в том, что он подчиняется обычному цепному правилу и, следовательно, не требует леммы Ито. Это позволяет выражать проблемы в инвариантной форме системы координат, что неоценимо при разработке стохастического исчисления на многообразиях, отличных от R ⁿ. Теорема о доминирующей сходимости для интеграла Стратоновича не выполняется; следовательно, очень трудно доказать результаты, не переформулируя интегралы в форме Ито.

• 1 Ито интеграл
• 2 Интеграл Стратоновича
• 3 Приложения
• 4 ссылки

Интеграл Ито занимает центральное место в изучении стохастического исчисления. Интеграл определяются для семимартингала X и локально ограниченного предсказуемого процесс H. ${\ displaystyle \ int H \, dX}$

Интеграл Стратоновича семимартингала относительно другого семимартингала Y может быть определен в терминах интеграла Ито как ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} X_ {s -} \ circ dY_ {s}: = \ int _ {0} ^ {t} X_ {s-} dY_ {s} + {\ frac { 1} {2}} \ left [X, Y \ right] _ {t} ^ {c},}$

где [ X,  Y ] т ^с обозначает квадратичные ковариации из непрерывных частей X и  Y. Альтернативное обозначение

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} X_ {s} \, \ partial Y_ {s}}$

также используется для обозначения интеграла Стратоновича.

Важное применение стохастического исчисления - это математические финансы, в которых часто предполагается, что цены на активы соответствуют стохастическим дифференциальным уравнениям. В модели Блэка – Шоулза предполагается, что цены следуют геометрическому броуновскому движению.

• Фима Клебанер, 2012 г., Введение в стохастическое исчисление с применением (3-е издание). World Scientific Publishing, ISBN   9781848168312
• Szabados, TS; Секели, Б.З. (2008). «Стохастическая интеграция на основе простых симметричных случайных блужданий». Журнал теоретической вероятности. 22: 203. arXiv : 0712.3908. DOI : 10.1007 / s10959-007-0140-8. Препринт