Винеровский процесс

редактировать

Стохастический процесс обобщающий броуновское движение

Единственная реализация одномерного винеровского процесса

Единственная реализация трехмерный винеровский процесс

В математике винеровский процесс непрерывным вещественным временем случайным процессом, названным в честь Американскому математику Норберту Винеру за исследования математических свойств одномерного броуновского движения. Его также часто называют броуновским движением из-за его исторической связи с физическим процессом с таким названием, используемым наблюдавшимся шотландским ботаником Робертом Брауном. Это один из наиболее известных процессов Леви (càdlàg стохастических процессов с стационарными >стационарными приращениями ) математика, экономика, количественные финансы, эволюционная биология и физика.

Винеровский процесс играет роль как в чистой, так и в прикладной математике. В чистой математике винеровский процесс привел к изучению непрерывного времени мартингалов. Это ключевой процесс, с помощью которого можно описать сложные случайные процессы. Таким образом, он играет жизненно важную роль в стохастическом исчислении, диффузионных процессах и даже теории способности. Это движущий процесс эволюции Шрамма - Лёвнера. В прикладной математике винеровский процесс используется для представления интеграла белого шума гауссовского процесса, и поэтому он полезен в модели шума в электроника (см. броуновский шум ), приборные ошибки в теории фильтрации и помехи в теории управления.

Винеровский процесс находит применение во всех математических науках. В физике он используется для броуновского движения, диффузии мельчайших частиц, взвешенных в жидкости и других типов диффузии через Фоккера - Планка и Уравнения Ланжевена. Это также используется для строгой формулировки интеграла по путям из квантовой механики (по формуле Фейнмана - Каца, решения уравнения Шредингера может быть представлено в терминах винеровского процесса) и исследования вечной инфляции в физической космологии. Это также заметно в математической теории финансов, в частности в модели ценообразования опционов Блэка - Шоулза.

Содержание

1 Характеристики винеровского процесса
2 Винеровский процесс как предел случайного блуждания
3 Свойства одномерного винеровского процесса
- 3.1 Основные свойства
- 3.2 Ковариация и корреляция
- 3.3 Представление Винера
- 3.4 Текущий максимум
- 3.5 Самоподобие
  - 3.5.1 Броуновское масштабирование
  - 3.5.2 Обращение времени
  - 3.5.3 Инверсия времени
- 3.6 Класс Броуновские мартингалы
- 3.7 Некоторые свойства пробных путей
  - 3.7.1 Качественные свойства
  - 3.7.2 Количественные свойства
    - 3.7.2.1 Закон повторного логарифма
    - 3.7.2.2 Модуль непрерывности
  - 3.7.3 Местное время
- 3.8 Скорость передачи информации
4 Связанные процессы
- 4.1 Броуновские мартингалы
- 4.2 Интегрированное броуновское движение
- 4.3 Изменение времени
- 4.4 Изменение меры
- 4.5 Комплексные значения Винеровский процесс
  - 4.5.1 Самоподобие
  - 4.5.2 Изменение времени
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Характеристики винеровского процесса

Винеровский процесс $W t {\ displaystyle W_ {t}}$ $W_{t}$ имеет следующие свойства:

$W 0 = 0 {\ displaystyle W_ {0} = 0}$ $W_{0}=0$
$W {\ displaystyle W}$ $W$ независимых приращений : для каждого $t>0, {\ displaystyle t>0,}$ $t>0,$ будущие приращения $W t + u - W t, {\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t},}$ $W_{t+u}-W_{t},$ $u ≥ 0, { \ displaystyle u \ geq 0,}$ $u\geq 0,$ не зависит от прошлых значений $W s {\ стиль отображения W_ {s}}$ $W_s$ , $s ≤ t. {\ displaystyle s \ leq t.}$ $s\leq t.$
$W {\ displaystyle W}$ $W$ имеет приращения по Гауссу: $W t + u - W t {\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t}}$ $W_{t+u}-W_{t}$ нормально распределен со средним значением $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ и дисперсией $и {\ displaystyle u}$ $u$ , $W t + u - W t ∼ N (0, u). {\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t} \ sim {\ mathcal {N}} (0, u).}$ $W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).$
$W {\ displaystyle W}$ $W$ имеет непрерывные пути: $W t {\ displaystyle W_ {t}}$ $W_{t}$ непрерывен в $t {\ displaystyle t}$ $t$ .

То, что процесс имеет независимые приращения, означает, что если 0 ≤ s 1< t1≤ s 2< t2, затем W t1- W s1и W t2- W s2- независимые случайные величины, и аналогичное условие выполнено для n приращений.

Альтернативной характеристикой винеровского процесса является так называемая характеристика Леви, которая говорит, что винеровский процесс почтиняка является непрерывным мартингалом с W 0 = 0 и квадратичная вариация [Wt, W t ] = t (что означает, что W t - t также является мартингалом).

Третьей особенностью является то, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого являются случайными величинами N (0, 1). Это представление может быть получено с помощью теоремы Карунена - Лоэва.

Другой характер винеровского процесса является определенным интеграл (от нуля до момента времени t) от нулевого среднего, единичной дисперсии, дельты коррелированный ("белый ") гауссовский процесс.

Винеровский процесс может быть построен как предел масштабирования случайного блуждания или другие случайные процессы с дискретным временем со стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера. Подобно случайному блужданию, винеровский процесс является повторяющимся в одном или двух измерениях (что означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную случайность начала координат), тогда как он не повторяется в трех измерениях и выше. В отличие от случайного блуждания, он инвариант масштаба, что означает, что

α - 1 W α 2 t {\ displaystyle \ alpha ^ {- 1} W _ {\ alpha ^ {2} t }}

\alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}

- винеровский процесс для любой ненулевой постоянной α. мера Винера - это вероятностный закон на пространстве непрерывных функций g, с g (0) = 0, индуцированный винеровским процессом. интеграл, основанный на мере Винера, может быть назван интегралом Винера .

винеровским процессом как предел случайного блуждания

Пусть $ξ 1, ξ 2,… {\ displaystyle \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots}$ $\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ be iid случайные величины со средним значением 0 и дисперсией 1. Для каждого n определите непрерывное время случайный процесс

W n (t) = 1 n ∑ 1 ≤ k ≤ nt ⌋ ξ k, t ∈ [0, 1]. {\ displaystyle W_ {n} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ sum \ limits _ {1 \ leq k \ leq \ lfloor nt \ rfloor} \ xi _ {k}, \ qquad t \ in [0,1].}

W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].

Это случайная ступенчатая функция. Приращения $W n {\ displaystyle W_ {n}}$ $W_{n}$ независимы, потому что $ξ k {\ displaystyle \ xi _ {k}}$ $\xi _{k}$ независимы. Для большого n $W n (t) - W n (s) {\ displaystyle W_ {n} (t) -W_ {n} (s)}$ $W_{n}(t)-W_{n}(s)$ близко к $N (0, t - s) {\ displaystyle N (0, ts)}$ $N(0,t-s)$ по центральной предельной теореме. Теорема Донскера утверждает, что при $n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n\to \infty$ , $W n {\ displaystyle W_ {n}}$ $W_{n}$ приближается к винеровскому процессу., который объясняет повсеместное распространение броуновского движения.

Свойства одномерного винеровского процесса

Основные свойства

Безусловная функция плотности вероятности, которая следует нормальное распределение со средним размером = 0 и дисперсией = t в фиксированный момент времени t:

f W t (x) = 1 2 π te - x 2 / (2 t). {\ displaystyle f_ {W_ {t}} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi t}}} e ^ {- x ^ {2} / (2t)}.}

f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.

ожидание равно нулю:

E [W t] = 0. {\ displaystyle E [W_ {t}] = 0.}

E[W_{t}]=0.

дисперсия с использованием Расчетной формула: t:

Var ⁡ (W t) = t. {\ displaystyle \ operatorname {Var} (W_ {t}) = t.}

\operatorname {Var} (W_{t})=t.

Эти результаты сразу же следуют из определения, что приращения имеют нормальное распределение с центром в нуле. Таким образом,

W t = W t - W 0 ∼ N (0, t). {\ displaystyle W_ {t} = W_ {t} -W_ {0} \ sim N (0, t).}

W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).

Ковариация и корреляция

ковариация и корреляция (где $s ≤ t {\ displaystyle s \ leq t}$ $s\leq t$ ):

cov ⁡ (W s, W t) = s, {\ displaystyle \ operatorname {cov } (W_ {s}, W_ {t}) = s,}

\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=s,

corr ⁡ (W s, W t) = cov ⁡ (W s, W t) σ W s σ W t = sst = st. {\ displaystyle \ operatorname {corr} (W_ {s}, W_ {t}) = {\ frac {\ operatorname {cov} (W_ {s}, W_ {t})} {\ sigma _ {W_ {s} } \ sigma _ {W_ {t}}}} = {\ frac {s} {\ sqrt {st}}} = {\ sqrt {\ frac {s} {t}}}.}

\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.

Эти результаты приводятся Ниже из определений, что неперекрывающиеся приращения независимы, при этом используется только то свойство, что они не коррелированы. Предположим, что $t 1 ≤ t 2 {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$ $t_{1}\leq t_{2}$ .

cov ⁡ (W t 1, W t 2) = E ⁡ [(W t 1 - E ⁡ [W t 1]) ⋅ (W t 2 - E ⁡ [W t 2])] = E ⁡ [W t 1 ⋅ W t 2]. {\ displaystyle \ operatorname {cov} (W_ {t_ {1}}, W_ {t_ {2}}) = \ operatorname {E} \ left [(W_ {t_ {1}} - \ operatorname {E} [W_ {t_ {1}}]) \ cdot (W_ {t_ {2}} - \ operatorname {E} [W_ {t_ {2}}]) \ right] = \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ { 1}} \ cdot W_ {t_ {2}} \ right].}

\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].

Подстановка

W t 2 = (W t 2 - W t 1) + W t 1 {\ displaystyle W_ {t_ {2} } = (W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}) + W_ {t_ {1}}}

W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}

получаем:

E ⁡ [W t 1 ⋅ W t 2] = E ⁡ [W t 1 ⋅ ((W t 2 - W t 1) + W t 1)] = E ⁡ [W t 1 ⋅ (W t 2 - W t 1)] + E ⁡ [W t 1 2]. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} [W_ {t_ {1}} \ cdot W_ {t_ {2}}] = \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} \ cdot ((W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}) + W_ {t_ {1}}) \ right] \\ = \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} \ cdot (W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}) \ right] + \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} ^ {2} \ right]. \ end {выровнено}}}

{\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}

Форма $W t 1 = W t 1 - W t 0 {\ displaystyle W_ {t_ {1}} = W_ {t_ {1}} - W_ {t_ {0} }}$ $W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}$ и $W t 2 - W t 1 {\ displaystyle W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}}$ $W_{t_{2}}-W_{t_{1}}$ Независимые,

E ⁡ [W t 1 ⋅ (W t 2 - W t 1)] = E ⁡ [W t 1] ⋅ E ⁡ [W t 2 - W t 1] = 0. {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [ W_ {t_ {1}} \ cdot (W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}) \ right] = \ operatorname {E} [W_ {t_ {1}}] \ cdot \ operatorname {E } [W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}] = 0.}

\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.

Таким образом,

cov ⁡ (W t 1, W t 2) = E ⁡ [W t 1 2 ] = t 1. {\ displaystyle \ operatorname {cov} (W_ {t_ {1}}, W_ {t_ {2}}) = \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} ^ {2} \ right] = t_ {1}.}

\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.

Следствие, полезное для моделирования, состоит в том, что мы можем написать для t 1< t2:

W t 2 = W t 1 + t 2 - t 1 ⋅ Z {\ displaystyle W_ {t_ {2}} = W_ {t_ {1}} + {\ sqrt {t_ {2} -t_ {1}}} \ cdot Z}

W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z

где Z - независимая стандартная нормальная переменная.

Представление Винера

Винер (1923) также дал представление броуновского пути в терминах случайного ряда Фурье. Если $ξ n {\ displaystyle \ xi _ {n}}$ $\xi _{n}$ - независимые гауссовские переменные с нулевым средним и единичной дисперсией, то

W t = ξ 0 t + 2 ∑ n = 1 ∞ ξ N грех ⁡ π nt π N {\ Displaystyle W_ {t} = \ xi _ {0} t + {\ sqrt {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ xi _ {n} {\ frac {\ sin \ pi nt} {\ pi n}}}

W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}

W t = 2 ∑ n = 1 ∞ ξ n sin ⁡ ((n - 1 2) π t) (n - 1 2) π {\ displaystyle W_ {t} = {\ sqrt {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ xi _ {n} {\ frac {\ sin \ left (\ left ( n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ pi t \ right)} {\ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ pi}}}

W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}

добавить собой Броуновское движение на $[0, 1] {\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ . Масштабированный процесс

c W (tc) {\ displaystyle {\ sqrt {c}} \, W \ left ({\ frac {t} {c}} \ right)}

{\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)

представляет собой броуновское движение на $[0, c] {\ displaystyle [0, c]}$ $[0,c]$ (см. теорема Карунена - Лоэва ).

Текущий максимум

Совместное число максимума

M t = max 0 ≤ s ≤ t W s {\ displaystyle M_ {t} = \ max _ {0 \ leq s \ leq t} W_ {s}}

M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}

и W t равно

f M t, W t (m, w) = 2 (2 m - w) t 2 π te - (2 м - ш) 2 2 т, м ≥ 0, ш ≤ м. {\ displaystyle f_ {M_ {t}, W_ {t}} (m, w) = {\ frac {2 (2m-w)} {t {\ sqrt {2 \ pi t}}}} e ^ {- {\ frac {(2m-w) ^ {2}} {2t}}}, \ qquad m \ geq 0, w \ leq m.}

f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.

Чтобы получить безусловное распределение $f M t {\ displaystyle f_ {M_ {t}}}$ $f_{M_{t}}$ , интегрировать по −∞ < w ≤ m :

f M t (m) = ∫ - ∞ mf M t, W t (m, w) dw = ∫ - ∞ m 2 ( 2 м - вес) t 2 π te - (2 м - вес) 2 2 tdw = 2 π te - m 2 2 t, m ≥ 0, {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {M_ {t})} (m) = \ int _ {- \ infty} ^ {m} f_ {M_ {t}, W_ {t}} (m, w) \, dw = \ int _ {- \ infty} ^ {m} {\ frac {2 (2m-w)} {t {\ sqrt {2 \ pi t}}}} e ^ {- {\ frac {(2m-w) ^ {2}} {2t}}} \, dw \\ [5pt] = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi t}}} e ^ {- {\ frac {m ^ {2}} {2t}}}, \ qquad m \ geq 0, \ end {align}}}

{\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}

функция плотности вероятности полунормального распределения. Ожидаемое значение:

E ⁡ [M t] = ∫ 0 ∞ mf M t (m) dm = ∫ 0 ∞ m 2 π te - m 2 2 tdm = 2 t π {\ displaystyle \ operatorname {E} [M_ {t}] = \ int _ {0} ^ {\ infty} mf_ {M_ {t}} (m) \, dm = \ int _ {0} ^ {\ infty} m {\ sqrt {\ frac {2 } {\ pi t}}} e ^ {- {\ frac {m ^ {2}} {2t}}} \, dm = {\ sqrt {\ frac {2t} {\ pi}}}}

\operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}

Если в момент времени $t {\ displaystyle t}$ $t$ винеровский процесс имеет значение $W t {\ displaystyle W_ {t}}$ $W_{t}$ , можно вычислить условное распределение вероятностей максимума в интервале $[0, t] {\ displaystyle [0, t]}$ $[0,t]$ (см. Распределение вероятностей крайних точек винеровского случайного процесса ). кумулятивная функция распределения максимального значения, обусловленная величиной $W t {\ displaystyle W_ {t}}$ $W_{t}$ , имеет вид:

FMW t ( m) = Pr (MW t = max 0 ≤ s ≤ t W (s) ≤ m ∣ W (t) = W t) = 1 - e - 2 m (m - W t) t, м>макс (0, W t) {\ displaystyle \, F_ {M_ {W_ {t}}} (m) = \ Pr \ left (M_ {W_ {t}} = \ max _ {0 \ leq s \ leq t} W (s) \ leq m \ mid W (t) = W_ {t} \ right) = \ 1- \ e ^ {- 2 {\ frac {m (m-W_ {t})} {t}}} \ \,, \, \ \ m>\ max (0, W_ {t})}

\,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\ max (0, W_ {t})

Самоподобие

Демонстрацияброуновского масштабирования, показывающая <288 / c) ct {\ displaystyle V_ {t} = (1 / {\ sqrt {c}}) W_ {ct}}

V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}

для уменьшения c. Обратите внимание, что средние характеристики не изменяются при увеличении масштаба, и обратите внимание внимание, что она увеличивает квадратично быстрее по горизонтали, чем по вертикали.

Броуновское масштабирование

Для каждого c>0 процесс $V t = (1 / c) W ct {\ displaystyle V_ {t} = (1 / {\ sqrt {c}}) W_ {ct}}$ $V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}$ другой Винеровский процесс.

Реверс времени

Процесс $V t = W 1 - W 1 - t {\ displaystyle V_ {t} = W_ {1} -W_ {1-t}}$ $V_{t}=W_{1}-W_{1-t}$ для 0 ≤ t ≤ 1 распределяется как W t для 0 ≤ t ≤ 1.

Инверсия времени

Процесс $V t = t W 1 / t {\ displaystyle V_ {t} = tW_ {1 / t}}$ $V_{t}=tW_{1/t}$ - еще один винеровский процесс.

Класс броуновских мартингалов

Если полином p (x, t) удовлетворяет PDE

(∂ ∂ t + 1 2 ∂ 2 ∂ Икс 2) п (Икс, T) знак равно 0 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ right) p (x, t) = 0}

\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0

тогда случайный процесс

M t = p (W t, t) {\ displaystyle M_ {t} = p (W_ {t}, t)}

M_{t}=p(W_{t},t)

- это мартингейл.

Пример: $W t 2 - t {\ displaystyle W_ {t} ^ {2} - t}$ $W_{t}^{2}-t$ является мартингалом, который показывает, что квадратичная вариация W на [0, t] равна t. Отсюда следует, что ожидаемое время первого выхода W из (-c, c) равно c.

В более общем смысле, для каждого полинома p (x, t) следующий случайный процесс является мартингалом:

M t = p (W t, t) - ∫ 0 ta (W s, s) ds, {\ displaystyle M_ {t} = p (W_ {t}, t) - \ int _ {0} ^ {t} a (W_ {s}, s) \, \ mathrm {d} s,}

M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,

где a - многочлен

a (x, t) = (∂ ∂ t + 1 2 ∂ 2 ∂ x 2) p (x, t). {\ displaystyle a (x, t) = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ частичный x ^ {2}}} \ right) p (x, t).}

a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).

Пример: $p (x, t) = (x 2 - t) 2, {\ displaystyle p ( x, t) = (x ^ {2} -t) ^ {2},}$ $p(x,t)=(x^{2}-t)^{2},$ $a (x, t) = 4 x 2; {\ displaystyle a (x, t) = 4x ^ {2};}$ $a(x,t)=4x^{2};$ процесс

(W t 2 - t) 2–4 ∫ 0 t W s 2 ds {\ displaystyle (W_ { t} ^ {2} -t) ^ {2} -4 \ int _ {0} ^ {t} W_ {s} ^ {2} \, \ mathrm {d} s}

(W_{t}^{2}-t)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s

- мартингейл, который показывает, что квадратичная вариация мартингала $W t 2 - t {\ displaystyle W_ {t} ^ {2} -t}$ $W_{t}^{2}-t$ на [0, t] равна

4 ∫ 0 т Вт с 2 дс. {\ displaystyle 4 \ int _ {0} ^ {t} W_ {s} ^ {2} \, \ mathrm {d} s.}

4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.

О функциях p (xa, t), более общих, чем полиномы, см. локальные мартингалы.

Некоторые свойства способов путей

Набор всех функций с помощью своих свойств является полным мерой Винера. То есть путь (примерная функция) винеровского процесса почти наверняка обладает всеми свойствами.

Качественные свойства

Для любого ε>0 функция принимает как (строго) положительные, так и (строго) отрицательные значения на (0, ε).
Функция w непрерывна везде, но нигде не дифференцируем (например, функция Вейерштрасса ).
Точки локального максимума функции w предоставить собой плотное счетное множество; максимальные значения попарно различны; каждый локальный максимум резок в следующем смысле: если w имеет локальный максимум в t, то

lim s → t | w (s) - w (t) | | s - t | → ∞. {\ displaystyle \ lim _ {s \ to t} {\ frac {| w (s) -w (t) |} {| st |}} \ to \ infty.}

\lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty.

То же самое верно и для локальных минимумов.

Функция w не имеет точек локального увеличения, то есть никакое t>0 не удовлетворяет следующему для некоторого ε в (0, t): во-первых, w (s) ≤ w (t) для всех s в (t - ε, t), а во -вторых, w (s) ≥ w (t) для всех s в (t, t + ε). (Локальное увеличение является более слабым условием, чем возрастание w на (t - ε, t + ε).)
Функция имеет неограниченное вариации на каждом интервале.
<242 Квадратичная вар иация w по [0, t] равна t.
Нули функции w - это нигде не плотное совершенное множество меры Лебега 0 и размерность Хаусдорфа 1/2 (следовательно, неисчислимо).

Количественные свойства

Закон повторного логарифма
$lim sup t → + ∞ | w (t) | 2 t log ⁡ log ⁡ t = 1, почти наверняка. {\ displaystyle \ limsup _ {т \ к + \ infty} {\ frac {| w (t) |} {\ sqrt {2t \ log \ log t}}} = 1, \ quad {\ text {почти наверняка}}.}$ $\limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.$

Модуль непрерывности
Модуль непрерывности непрерывности:
$lim sup ε → 0 + | w (ε) | 2 ε log ⁡ log ⁡ (1 / ε) = 1, почти наверняка. {\ displaystyle \ limsup _ {\ varepsilon \ to 0 +} {\ frac {| w (\ varepsilon) |} {\ sqrt {2 \ varepsilon \ log \ log (1 / \ varepsilon)}}} = 1, \ qquad {\ text {почти наверняка}}.}$ $\limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon)|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon)}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.$
Глобальный модуль непрерывности (Леви):
$lim sup ε → 0 + sup 0 ≤ s < t ≤ 1, t − s ≤ ε | w ( s) − w ( t) | 2 ε log ⁡ ( 1 / ε) = 1, almost surely. {\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s$ $\limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon)}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.$

Местное время

изображение меры Лебега на [0, t] под картой w (прямая мера ) имеет плотность L t (·). Таким образом,^{2}\ln 2D}}\approx 0.29D^{-1}.}<86><87>D<87><88>f_{M_{t}}<88><89>V_{t}=tW_{1/t}<89><90>{\displaystyle W_{0}=0}<90><91>{\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}<91><92>\xi _{n}<92><93>a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).<93><94>{\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].}<94><95>W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}<95><96>[0,1]<96><97>{\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}<97><98>{\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}<98><99>{\displaystyle c\cdot Z_{t}}<99><100>[0,t]<100><101>N(0,t-s)<101><102>[0,c]<102><103>{\displaystyle \sigma ^{2}=2}<103><104>{\displaystyle V_{f}(t+a)}<104><105>M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty,<105><106>{\displaystyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}<106><107>W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}<107><108>T_{s}<108><109>{\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}<109><110>{\displaystyle \operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.}<110><111>M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},<111><112>Z_{t}^{2}=(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2})+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}<112><113>T<113><114>\lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty.<114><115>c<115><116>{\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi)-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi,}<116><117>{\displaystyle W_{t}}<117><118>{\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}<118><119>{\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}<119><120>{\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}<120><121>{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }<121><122>M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}<122><123>A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s<123><124>X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}<124><125>U<125><126>W_{t}<126>html