В исчислении, логарифмическом дифференцировании или дифференцировании с помощью логарифмов - это метод, используемый для различения функций с помощью логарифмической производной функции f,
Этот метод часто применяется в случаи, когда легче дифференцировать логарифм функции, чем саму функцию. Обычно это происходит в тех случаях, когда интересующая функция состоит из произведения нескольких частей, так что логарифмическое преобразование превратит ее в сумму отдельных частей (которую намного легче различить). Это также может быть полезно при применении к функциям, возведенным в степень переменных или функций. Логарифмическое дифференцирование опирается на правило цепочки , а также на свойства логарифмов (в частности, натуральный логарифм или логарифм с основанием e ) для преобразования произведений в суммы и деления в вычитания. Принцип может быть реализован, по крайней мере частично, в дифференцировании почти всех дифференцируемых функций при условии, что эти функции не равны нулю.
Содержание
- 1 Обзор
- 1.1 Общий случай
- 1.2 Производные высшего порядка
- 2 Приложения
- 2.1 Продукты
- 2.2 Коэффициенты
- 2.3 Составной показатель
- 3 См. Также
- 4 Примечания
Обзор
Для функции
логарифмическое дифференцирование обычно начинается с натуральный логарифм или логарифм с основанием e с обеих сторон, не забывая принимать абсолютные значения:
после неявного дифференцирования :
Умножение на y равно затем выполняется удаление 1 / y и оставление только dy / dx в левой части :
Метод используется, потому что Свойства логарифмов позволяют быстро упростить дифференциацию сложных функций. Этими свойствами можно манипулировать после взятия натуральных логарифмов с обеих сторон и до предварительного дифференцирования. Наиболее часто используемые законы логарифмирования:
Общий случай
Использование прописной буквы пи,
Применение натурального логарифма приводит к (с прописная сигма-нотация )
и после дифференцирования
Переставьте, чтобы получить производную исходной функции,
Производные высшего порядка
Используя формулу Фаа ди Бруно, логарифмическая производная n-го порядка равна,
Используя это, первые четыре производные:
Приложения
Произведения
A натуральный логарифм применяется к произведению двух функций
для преобразования произведения в сумму
Дифференцирование с применением правил цепочки и суммы дает
и после перестановки дает
Частные
A натуральный логарифм применяется к частному двух функций
для преобразования деления в вычитание
Дифференцирование с применением правил цепочки и суммы дает
и после перестановки получаем
После умножения и использования формулы общего знаменателя результат то же самое, что и после применения правила частного непосредственно к .
Составной показатель
Для функции вида
натуральный логарифм преобразует возведение в степень в произведение
Дифференцирование с применением chain и правила product дают
и после повторного расположение, дает
Тот же результат можно получить, переписав f в терминах exp и применив Правило цепи.
См. Также
Примечания
- ^Кранц, Стивен Дж.. (2003). Исчисление демистифицировано. McGraw-Hill Professional. п. 170. ISBN 0-07-139308-0.
- ^Н.П. Бали (2005). Золотое дифференциальное исчисление. Брандмауэр Media. п. 282. ISBN 81-7008-152-1.
- ^ Берд, Джон (2006). Высшая инженерная математика. Newnes. п. 324. ISBN 0-7506-8152-7.
- ^Доулинг, Эдвард Т. (1990). Очерк теории и проблем исчисления для бизнеса, экономики и социальных наук Шаумом. McGraw-Hill Professional. Стр. 160. ISBN 0-07-017673-6.
- ^Херст, Кейт (2006). Исчисление одной переменной. Birkhäuser. п. 97. ISBN 1-85233-940-3.
- ^Бланк, Брайан Э. (2006). Исчисление, одна переменная. Springer. п. 457. ISBN 1-931914-59-1.
- ^Уильямсон, Бенджамин (2008). Элементарный трактат по дифференциальному исчислению. БиблиоБазар, ООО. С. 25–26. ISBN 0-559-47577-2.