Логарифмическое дифференцирование

В исчислении, логарифмическом дифференцировании или дифференцировании с помощью логарифмов - это метод, используемый для различения функций с помощью логарифмической производной функции f,

$(ln\; \; f)\; \prime \; =\; f\; \prime \; f\; ⟹\; f\; \prime \; =\; f\; \cdot \; (ln\; \; f)\; \prime .\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; ln\; f)\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{f\text{'}\}\; \{f\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; implies\; \backslash \; quad\; f\; \text{'}=\; f\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; ln\; f)\text{'}.\}$

Этот метод часто применяется в случаи, когда легче дифференцировать логарифм функции, чем саму функцию. Обычно это происходит в тех случаях, когда интересующая функция состоит из произведения нескольких частей, так что логарифмическое преобразование превратит ее в сумму отдельных частей (которую намного легче различить). Это также может быть полезно при применении к функциям, возведенным в степень переменных или функций. Логарифмическое дифференцирование опирается на правило цепочки , а также на свойства логарифмов (в частности, натуральный логарифм или логарифм с основанием e ) для преобразования произведений в суммы и деления в вычитания. Принцип может быть реализован, по крайней мере частично, в дифференцировании почти всех дифференцируемых функций при условии, что эти функции не равны нулю.

Содержание

• 1 Обзор
  • 1.1 Общий случай
  • 1.2 Производные высшего порядка
• 2 Приложения
  • 2.1 Продукты
  • 2.2 Коэффициенты
  • 2.3 Составной показатель
• 3 См. Также
• 4 Примечания

Обзор

Для функции

$y\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash !\}$

логарифмическое дифференцирование обычно начинается с натуральный логарифм или логарифм с основанием e с обеих сторон, не забывая принимать абсолютные значения:

$ln\; \; |\; y\; |\; =\; ln\; \; |\; f\; (x)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; |\; y\; |\; =\; \backslash \; ln\; |\; f\; (x)\; |.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

после неявного дифференцирования :

$1\; y\; d\; y\; d\; x\; =\; f\; \text{'}(x)\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}.\}$

Умножение на y равно затем выполняется удаление 1 / y и оставление только dy / dx в левой части :

$dydx\; =\; y\; \times \; f\; \prime \; (x)\; f\; (x)\; =\; f\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; y\; \backslash \; times\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; =\; f\text{'}\; (x).\}$

Метод используется, потому что Свойства логарифмов позволяют быстро упростить дифференциацию сложных функций. Этими свойствами можно манипулировать после взятия натуральных логарифмов с обеих сторон и до предварительного дифференцирования. Наиболее часто используемые законы логарифмирования:

$ln\; \; (ab)\; =\; ln\; \; (a)\; +\; ln\; \; (b),\; ln\; \; (ab)\; =\; ln\; \; (a)\; -\; ln\; \; (b),\; ln\; \; (an)\; =\; n\; ln\; \; (a).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; пер\; (ab)\; =\; \backslash \; пер\; (а)\; +\; \backslash \; пер\; (б),\; \backslash \; qquad\; \backslash \; пер\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{а\}\; \{б\}\}\; \backslash \; вправо)\; =\; \backslash \; пер\; (а)\; -\; \backslash \; пер\; (b),\; \backslash \; qquad\; \backslash \; ln\; (a\; ^\; \{n\})\; =\; n\; \backslash \; ln\; (a).\}$

Общий случай

Использование прописной буквы пи,

$f\; (x)\; =\; \prod \; я\; (fi\; (x))\; \alpha \; я\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\}\; (f\_\; \{i\}\; (x))\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (x)\}.\}$

Применение натурального логарифма приводит к (с прописная сигма-нотация )

$пер\; \; (е\; (х))\; =\; \sum \; я\; \alpha \; я\; (х)\; \cdot \; пер\; \; (fi\; (х)),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; (f\; (x))\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; \}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; (f\_\; \{i\}\; (x)),\}$

и после дифференцирования

$f\; \prime \; (x)\; f\; (x)\; =\; \sum \; i\; [\alpha \; i\; \prime \; (Икс)\; \cdot \; пер\; \; (fi\; (x))\; +\; \alpha \; я\; (x)\; \cdot \; fi\; \prime \; (x)\; fi\; (x)].\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\; \}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \text{'}(x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; (f\_\; \{i\}\; (x))\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\; f\_\; \{i\}\; \text{'}(x)\}\; \{f\_\; \{i\}\; (x)\}\}\; \backslash \; right].\}$

Переставьте, чтобы получить производную исходной функции,

$f\; \prime \; (x)\; =\; \prod \; i\; (fi\; (x))\; \alpha \; i\; (x)\; ⏞\; f\; (x)\; \times \; \sum \; i\; \{\alpha \; i\; \prime \; (x)\; \cdot \; ln\; \; (fi\; (x))\; +\; \alpha \; i\; (x)\; \cdot \; fi\; \prime \; (x)\; fi\; (x)\}\; ⏞\; [пер\; \; (е\; (х))]\; \prime .\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; overbrace\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{i\}\; (f\_\; \{i\}\; (x))\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (x)\}\}\; ^\; \{f\; (x)\}\; \backslash \; times\; \backslash \; overbrace\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \text{'}(x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; (f\_\; \{i\}\; (x))\; +\; \backslash \; альфа\; \_\; \{i\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{i\}\; \text{'}(x)\}\; \{f\_\; \{i\}\; (x)\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}\; ^\; \{[\backslash \; ln\; (f\; (x))]\; \text{'}\}.\}$

Производные высшего порядка

Используя формулу Фаа ди Бруно, логарифмическая производная n-го порядка равна,

$dndxn\; ln\; \; f\; (x)\; =\; \sum \; m\; 1\; +\; 2\; м\; 2\; +\; \cdots \; +\; nmn\; =\; nn!\; м\; 1!\; м\; 2!\; \cdots \; m\; n!\; \cdot \; (-\; 1)\; м\; 1\; +\; \cdots \; +\; м\; N\; -\; 1\; (м\; 1\; +\; \cdots \; +\; м\; N\; -\; 1)!\; f\; (x)\; m\; 1\; +\; \cdots \; +\; m\; n\; \cdot \; \prod \; j\; знак\; равно\; 1\; n\; (f\; (j)\; (x)\; j!)\; m\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; ln\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\_\; \{1\}\; +\; 2m\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; nm\_\; \{n\}\; =\; n\}\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{n!\}\; \{m\_\; \{1\}!\; \backslash ,\; m\_\; \{2\}!\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; m\_\; \{n\}!\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{m\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; m\_\; \{n\}\; -1\}\; (m\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; m\_\; \{n\}\; -1)!\}\; \{f\; (x)\; ^\; \{m\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; m\_\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(j)\}\; (x)\}\; \{j!\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{m\_\; \{j\}\}.\}$

Используя это, первые четыре производные:

$d\; 2\; dx\; 2\; ln\; \; f\; (x)\; =\; f\; ″\; (x)\; f\; (x)\; -\; (f\; \prime \; (x)\; f\; (x))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; ln\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}\text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

$d\; 3\; dx\; 3\; ln\; \; f\; (x)\; =\; f\; (x)\; f\; (x)\; -\; 3\; f\; \prime \; (x)\; е\; ″\; (x)\; f\; (x)\; 2\; +\; 2\; (f\; \prime \; (x)\; f\; (x))\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; ln\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}\text{'}\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; -\; 3\; \{\backslash \; frac\; \{f\text{'}\; (x)\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\; ^\; \{2\}\}\}\; +2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\}$

$d\; 4\; dx\; 4\; ln\; \; f\; (x)\; =\; f\; ⁗\; (x)\; f\; (x)\; -\; 4\; f\; \prime \; (x)\; f\; ‴\; (x)\; f\; (x)\; 2\; -\; 3\; (f\; ″\; (x)\; f\; (x))\; 2\; +\; 12\; f\; \prime \; (x)\; 2\; f\; ″\; (x)\; f\; (x)\; 3-6\; (е\; \text{'}(х)\; е\; (х))\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{4\}\}\; \{dx\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; ln\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; -\; 4\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\; f\text{'}\; \text{'}\text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\; ^\; \{2\}\; \}\}\; -\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}\text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +12\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\; ^\; \{2\}\; f\text{'}\; \text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\; ^\; \{3\}\}\}\; -\; 6\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4\}\}$

Приложения

Произведения

A натуральный логарифм применяется к произведению двух функций

$f\; (x)\; =\; g\; (x)\; h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; g\; (x)\; h\; (x)\; \backslash ,\; \backslash !\}$

для преобразования произведения в сумму

$ln\; \; (f\; (x))\; =\; ln\; \; (g\; (x)\; h\; (x))\; =\; ln\; \; (g\; (x))\; +\; ln\; \; (h\; (x)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; пер\; (е\; (х))\; =\; \backslash \; пер\; (г\; (х)\; час\; (х))\; =\; \backslash \; пер\; (г\; (х))\; +\; \backslash \; пер\; (ч\; (х)).\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Дифференцирование с применением правил цепочки и суммы дает

$f\; \prime \; (x)\; f\; (x)\; =\; g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; +\; h\; \prime \; (x)\; час\; (х),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\text{'}\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{h\; \text{'}(x)\}\; \{h\; (x)\}\},\}$

и после перестановки дает

$f\; \prime \; (x)\; =\; f\; (x)\; \times \; \{g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; +\; h\; \prime \; (x)\; h\; (x)\}\; =\; g\; (x)\; h\; (x)\; \times \; \{g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; +\; h\; \prime \; (x)\; h\; (x)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; f\; (x)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\text{'}\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{h\; \text{'}(x)\}\; \{\; h\; (x)\}\}\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \}\}\; =\; g\; (x)\; h\; (x)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \text{'}(x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{h\; \text{'}(x)\}\; \{h\; (x)\}\}\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \}\}.\}$

Частные

A натуральный логарифм применяется к частному двух функций

$f\; (x)\; =\; g\; (x)\; час\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\; (x)\}\; \{h\; (x)\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

для преобразования деления в вычитание

$пер\; \; (е\; (Икс))\; знак\; равно\; пер\; \; (г\; (Икс)\; час\; (Икс))\; =\; пер\; \; (г\; (х))\; -\; пер\; \; (час\; (х))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; пер\; (е\; (х))\; =\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; Bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\; (x)\}\; \{h\; (x)\}\}\; \{\backslash \; Bigg)\}\; =\; \backslash \; ln\; (g\; (x))\; -\; \backslash \; ln\; (h\; (x))\; \backslash ,\; \backslash \; !\}$

Дифференцирование с применением правил цепочки и суммы дает

$f\; \prime \; (x)\; f\; (x)\; =\; g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; -\; час\; \text{'}(х)\; час\; (х),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \text{'}(x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{h\; \text{'}(x)\}\; \{h\; (x)\}\},\}$

и после перестановки получаем

$f\; \prime \; (x)\; =\; f\; (x)\; \times \; \{g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; -\; h\; \prime \; (x)\; h\; (x)\}\; =\; g\; (x)\; h\; (x)\; \times \; \{g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; -\; h\; \prime \; (x)\; h\; (x)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; f\; (x)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\text{'}\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{h\; \text{'}(x)\}\; \{\; h\; (x)\}\}\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\; (x)\}\; \{h\; (x)\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \text{'}(x)\}\; \{g\; (\; x)\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{h\; \text{'}(x)\}\; \{h\; (x)\}\}\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \}\}.\}$

После умножения и использования формулы общего знаменателя результат то же самое, что и после применения правила частного непосредственно к $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$.

Составной показатель

Для функции вида

$f\; (x)\; =\; g\; (x)\; h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; g\; (x)\; ^\; \{h\; (x)\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

натуральный логарифм преобразует возведение в степень в произведение

$ln\; \; (f\; (x))\; =\; ln\; \; (g\; (x)\; h\; (x))\; =\; h\; (x)\; ln\; \; (g\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (\; f\; (x))\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (g\; (x)\; ^\; \{h\; (x)\}\; \backslash \; right)\; =\; h\; (x)\; \backslash \; ln\; (g\; (x))\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Дифференцирование с применением chain и правила product дают

$f\; \prime \; (x)\; f\; (x)\; =\; h\; \prime \; (x)\; ln\; \; (g\; (x))\; +\; h\; (x)\; g\; \text{'}(Икс)\; г\; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{F\text{'}\; (х)\}\; \{F\; (х)\}\}\; =\; ч\; \text{'}(х)\; \backslash \; ln\; (г\; (х))\; +\; ч\; (х)\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \text{'}(x)\}\; \{g\; (x)\}\},\}$

и после повторного расположение, дает

$f\; \prime \; (x)\; =\; f\; (x)\; \times \; \{h\; \prime \; (x)\; ln\; \; (g\; (x))\; +\; h\; (x)\; g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\}\; =\; g\; (x)\; h\; (x)\; \times \; \{h\; \prime \; (x)\; ln\; \; (g\; (x))\; +\; h\; (x)\; g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; f\; (x)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \; \{\}\; h\text{'}\; (x)\; \backslash \; ln\; (g\; (x))\; +\; h\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \text{'}(x)\}\; \{\; g\; (x)\}\}\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \}\}\; =\; g\; (x)\; ^\; \{h\; (x)\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \; \{\}\; h\; \text{'}(x)\; \backslash \; ln\; (g\; (x))\; +\; h\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \text{'}(x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; \{\backslash \; Bigg\; \backslash \}\}.\}$

Тот же результат можно получить, переписав f в терминах exp и применив Правило цепи.

См. Также

• производная Дарбу
• Форма Маурера – Картана
• Группа Ли
• Список логарифмических тем
• Список логарифмических тождеств

Примечания

1. ^Кранц, Стивен Дж.. (2003). Исчисление демистифицировано. McGraw-Hill Professional. п. 170. ISBN 0-07-139308-0.
2. ^Н.П. Бали (2005). Золотое дифференциальное исчисление. Брандмауэр Media. п. 282. ISBN 81-7008-152-1.
3. ^ Берд, Джон (2006). Высшая инженерная математика. Newnes. п. 324. ISBN 0-7506-8152-7.
4. ^Доулинг, Эдвард Т. (1990). Очерк теории и проблем исчисления для бизнеса, экономики и социальных наук Шаумом. McGraw-Hill Professional. Стр. 160. ISBN 0-07-017673-6.
5. ^Херст, Кейт (2006). Исчисление одной переменной. Birkhäuser. п. 97. ISBN 1-85233-940-3.
6. ^Бланк, Брайан Э. (2006). Исчисление, одна переменная. Springer. п. 457. ISBN 1-931914-59-1.
7. ^Уильямсон, Бенджамин (2008). Элементарный трактат по дифференциальному исчислению. БиблиоБазар, ООО. С. 25–26. ISBN 0-559-47577-2.