Тест Дирихле

В математике, тест Дирихле является метод тестирования для сходимости в виде ряда. Он назван в честь его автора Питера Густава Лежена Дирихле и был опубликован посмертно в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 году.

• 1 Заявление
• 2 Доказательство
• 3 Приложения
• 4 Несобственные интегралы
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Испытание утверждает, что если это последовательность из действительных чисел и последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая ${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$ ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$

• ${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$ является монотонной

• ${\ displaystyle \ lim _ {п \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}$

• ${\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}$ для любого натурального числа N

где M - некоторая постоянная, то ряд

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}$

сходится.

Пусть и. ${\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}}$${\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}$

Из суммирования по частям мы получаем это. Поскольку ограничено M и, первое из этих членов стремится к нулю, поскольку. ${\ Displaystyle S_ {n} = a_ {n} B_ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}$${\ displaystyle a_ {n} B_ {n} \ to 0}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$

У нас есть, для каждого к,. Но, если убывает, ${\ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | \ leq M | a_ {k} -a_ {k + 1} |}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$,

которая представляет собой телескопическую сумму, которая равна и поэтому приближается к. Таким образом, сходится. А если увеличивается, ${\ Displaystyle М (а_ {1} -а_ {п + 1})}$${\ displaystyle Ma_ {1}}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} М (а_ {к} -а_ {к + 1})}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = - \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} - a_ {k + 1}) = - M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$,

которая снова является телескопической суммой, которая равна и поэтому приближается к. Таким образом, опять сходится. ${\ Displaystyle -M (а_ {1} -а_ {п + 1})}$${\ displaystyle -Ma_ {1}}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} М (а_ {к} -а_ {к + 1})}$

Итак, сходится и при прямом сравнительном тесте. Ряд сходится и по критерию абсолютной сходимости. Значит сходится. ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$

Частным случаем теста Дирихле является более часто используемый тест чередующихся серий для случая

${\ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} \ Longrightarrow \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq 1.}$

Другое следствие состоит в том, что сходится всякий раз, когда убывающая последовательность стремится к нулю. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sin n}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$

Аналогичное утверждение о сходимости несобственных интегралов доказывается интегрированием по частям. Если интеграл от функции f равномерно ограничен на всех интервалах, а g - монотонно убывающая неотрицательная функция, то интеграл от fg является сходящимся несобственным интегралом.

1. ^ ДЕМОНСТРАЦИЯ d'ООН théorème d'Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2-я серия, том 7 (1862), стр. 253–255. Архивировано 21 июля 2011 г. в Wayback Machine.

• Харди, Г. Х., Курс чистой математики, девятое издание, Cambridge University Press, 1946. (стр. 379–380).
• Воксман, Уильям Л., Продвинутое исчисление: Введение в современный анализ, Марсель Деккер, Inc., Нью-Йорк, 1981. (§8.B.13–15) ISBN   0-8247-6949-X.

• Доказательство на PlanetMath.org