Обратные функции и дифференцирование

Идентичность исчисления Правило:. $f\; \prime \; (x)\; =\; 1\; (f\; -\; 1)\; \prime \; (Е\; (х))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; color\; \{CornflowerBlue\}\; \{f\; \text{'}\}\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; color\; \{Salmon\}\; \{(f\; ^\; \{-\; 1\})\text{'}\}\}\; (\{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{f\}\}\; (x))\}\}\}$.. Пример для произвольного $x\; 0\; \approx \; 5,8\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; приблизительно\; 5,8\}$:. $f\; \prime \; (x\; 0)\; =\; 1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; color\; \{CornflowerBlue\}\; \{f\; \text{'}\}\}\; (x\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}$. $(f\; -\; 1)\; \prime \; (f\; (x\; 0))\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; color\; \{Salmon\}\; \{(f\; ^\; \{-\; 1\})\; \text{'}\}\}\; (\{\backslash \; color\; \{Blue\}\; \{f\}\}\; (x\_\; \{0\}))\; =\; 4\; ~\}$

В математике обратная функции $y\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x)\}$- это функция, которая некоторым образом «отменяет» эффект $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$(см. обратная функция для формального и подробного определения). Обратное к $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$обозначается как $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$, где $f\; -\; 1\; (y)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; x\}$тогда и только тогда, когда $f\; (x)\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; y\}$.

Их две производные, предполагая, что они существуют, являются взаимными, как предполагает нотация Лейбница ; то есть:

$dxdy\; \cdot \; dydx\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; 1.\}$

Это соотношение получается путем дифференцирования уравнения $f\; -\; 1\; (y)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; x\}$с точки зрения x и применения цепного правила , что дает:

$dxdy\; \cdot \; dydx\; =\; dxdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; \}\; \{dx\}\}\}$

учитывая, что производная x по x равна 1.

Явно записав зависимость y от x и точку, в которой происходит дифференцирование, формула для производная обратного преобразования принимает вид (в обозначениях Лагранжа):

$[f\; -\; 1]\; \prime \; (a)\; =\; 1\; f\; \prime \; (f\; -\; 1\; (a))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; ]\; \text{'}(a)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\text{'}\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (a)\; \backslash \; right)\}\}\}$.

Эта формула в целом верна всякий раз, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \}$- непрерывный и инъективный на интервале I, причем $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$дифференцируем в $f\; -\; 1\; (a)\; \{\backslash \; display\; стиль\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (a)\}$($\in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; in\; I\}$) и где $f\; \prime \; (f\; -\; 1\; (a))\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; е\; \text{'}(е\; ^\; \{-\; 1\}\; (а))\; \backslash \; neq\; 0\}$. Эта же формула эквивалентна выражению

$D\; [f\; -\; 1]\; =\; 1\; (D\; f)\; \circ \; (f\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; \backslash \; left\; [f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; f)\; \backslash \; circ\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\}\},\}$

где $D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\}$обозначает оператор унарной производной (в пространстве функций), а $\circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; circ\}$обозначает композицию функций.

Геометрически функция и обратная функция имеют графики, которые являются отражениями в строке $y\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\}$. Эта операция отражения превращает градиент любой линии в его обратный.

Предполагая, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет обратный в окрестности от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и что его производная в этой точке отлична от нуля, обратная его величина гарантированно дифференцируема при $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и имеют производную, определяемую приведенной выше формулой.

• 1 Примеры
• 2 Дополнительные свойства
• 3 Высшие производные
• 4 Пример
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

• $y\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$(для положительного x) имеет обратное значение $x\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\}$.

$dydx\; =\; 2\; x;\; dxdy\; =\; 1\; 2\; y\; =\; 1\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; 2x\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\};\; \{\; \backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2x\}\}\}$

$dydx\; \cdot \; dxdy\; =\; 2\; x\; \cdot \; 1\; 2\; x\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; =\; 2x\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2x\}\}\; =\; 1.\}$

При $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$, однако возникает проблема: график функции квадратного корня становится вертикальным, что соответствует горизонтальной касательной для функции квадрата.

• $y\; =\; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; e\; ^\; \{x\}\}$(для действительного x) имеет обратный $x\; =\; ln\; \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; ln\; \{y\}\}$(для положительного $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$)

$dydx\; =\; ex;\; dxdy\; =\; 1\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; e\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\};\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; dx\}\; \{dy\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\}\}\}$

$dydx\; \cdot \; dxdy\; =\; ex\; \cdot \; 1\; y\; =\; exex\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; =\; e\; ^\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{x\}\}\; \{e\; ^\; \{x\}\}\}\; =\; 1\}$

• Интегрирование этого отношения дает

$f\; -\; 1\; (x)\; =\; \int \; 1\; f\; \prime \; (f\; -\; 1\; (x))\; dx\; +\; C.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{f\; ^\; \{\; -1\}\}\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; \text{'}(\{f\; ^\; \{-\; 1\}\}\; (x))\}\}\; \backslash ,\; \{dx\}\; +\; C.\}$

Это только полезно если интеграл существует. В частности, нам нужно, чтобы $f\; \text{'}(x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\text{'}\; (x)\}$отличался от нуля во всем диапазоне интегрирования.

Отсюда следует, что a функция, имеющая непрерывную производную, имеет обратную в окрестности каждой точки, где t Производная не равна нулю. Этого не должно быть, если производная не непрерывна.

• Еще одно очень интересное и полезное свойство - это следующее:

$\int \; f\; -\; 1\; (x)\; dx\; =\; xf\; -\; 1\; (x)\; -\; F\; (f\; -\; 1\; (\; x))\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\; \backslash ,\; \{dx\}\; =\; xf\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\; -F\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (x))\; +\; C\}$

Где $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$обозначает функцию, обратную $f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$.

Приведенное выше цепное правило получается путем дифференцирования тождества $f\; -\; 1\; (f\; (x))\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (f\; (x))\; =\; x\}$относительно x. Можно продолжить тот же процесс для более высоких производных. Дифференцируя тождество дважды по x, получаем

$d\; 2\; ydx\; 2\; \cdot \; dxdy\; +\; ddx\; (dxdy)\; \cdot \; (dydx)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0,\}$

, что дополнительно упрощается цепным правилом как

$d\; 2\; ydx\; 2\; \cdot \; dxdy\; +\; d\; 2\; xdy\; 2\; \cdot \; (dydx)\; 2\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dy\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{dy\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 0.\}$

Замена по первой производной, используя полученное ранее тождество, получаем

$d\; 2\; ydx\; 2\; =\; -\; d\; 2\; xdy\; 2\; \cdot \; (dydx)\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{dy\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}.\}$

Аналогично для третьей производной:

$d\; 3\; ydx\; 3\; =\; -\; d\; 3\; xdy\; 3\; \cdot \; (dydx)\; 4\; -\; 3\; d\; 2\; xdy\; 2\; \cdot \; d\; 2\; ydx\; 2\; \cdot \; (dydx)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; x\}\; \{\; dy\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4\}\; -3\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{dy\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

или используя формулу для второй производной,

$d\; 3\; ydx\; 3\; =\; -\; d\; 3\; xdy\; 3\; \cdot \; (dydx)\; 4\; +\; 3\; (d\; 2\; xdy\; 2)\; 2\; \cdot \; (dydx)\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; x\}\; \{dy\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4\}\; +3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{dy\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{5\}\}$

Эти формулы обобщаются формулой Фаа ди Бруно.

Эти формулы также могут записываться в обозначениях Лагранжа. Если f и g обратные, то

$g\; ″\; (x)\; =\; -\; f\; ″\; (g\; (x))\; [f\; \prime \; (g\; (x))]\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-f\; \text{'}\text{'}\; (g\; (x))\}\; \{[f\; \text{'}(g\; (x))]\; ^\; \{3\}\}\}\}$

• $y\; =\; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; e\; ^\; \{x\}\; \}$имеет обратное значение $x\; =\; ln\; \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; ln\; y\}$. Используя формулу для второй производной обратной функции,

$d\; y\; d\; x\; =\; d\; 2\; y\; d\; x\; 2\; =\; e\; x\; =\; y;\; (d\; y\; d\; x)\; 3\; =\; y\; 3;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; e\; ^\; \{x\}\; =\; y\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\};\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{\; dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; =\; y\; ^\; \{3\};\}$

так, чтобы

$d\; 2\; xdy\; 2\; \cdot \; y\; 3\; +\; y\; =\; 0;\; d\; 2\; xdy\; 2\; =\; -\; 1\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{dy\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; y\; ^\; \{3\}\; +\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\; \}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\};\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{dy\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\; ^\; \{2\}\}\}\}$,

что согласуется с прямым вычислением.

• Портал математики

• Исчисление
• Обратные функции
• Цепное правило
• Теорема об обратной функции
• Теорема о неявной функции
• Интегрирование обратных функций