В математике, в частности, дифференциальное исчисление, теорема об обратной функции дает достаточное условие для функции быть обратимой в окрестности точки в ее области : а именно, что ее производная непрерывна и отлична от нуля в точке. Теорема также дает формулу для производной от обратной функции. В исчислении с несколькими переменными эту теорему можно обобщить на любую непрерывно дифференцируемую, вектор-функцию, определитель Якоби отличной от нуля в точке в своей области, давая формулу для матрицы Якоби обратного. Существуют также версии теоремы об обратной функции для сложных голоморфных функций, для дифференцируемых отображений между многообразиями, для дифференцируемых функций между банаховыми пространствами, и так далее.
Для функций одной переменной теорема утверждает, что если является непрерывно дифференцируемой функцией с ненулевой производной в точке a; тогда обратимо в окрестности a, обратная функция непрерывно дифференцируема, а производная обратной функции при является обратной величиной производной от в :
Альтернативная версия, которая предполагает, что является непрерывным и инъективный рядом с a и дифференцируемый в точке a с ненулевой производной, также приведет к тому, что будет обратимым рядом с a, с обратным, которое также непрерывно и инъективно, и где также применима приведенная выше формула.
Как следствие, мы ясно видим, что если равно -й дифференцируемый, с ненулевой производной в точке a, тогда обратим в окрестности a, обратное тоже -й дифференцируемый. Здесь - положительное целое число или .
Для функций более чем одной переменной теорема утверждает, что если F является непрерывно дифференцируемая функция из открытого набора в , а полная производная обратима в точке p (т. е. детерминант якобиана F в точке p не равно нулю), то F обратима около p: функция, обратная к F, определена в некоторой окрестности из . Написав , это означает, что система n уравнений имеет уникальное решение для в терминах , при условии, что мы ограничиваем x и y достаточно маленькими окрестностями p и q соответственно. В бесконечномерном случае теорема требует дополнительной гипотезы о том, что производная Фреше функции F в точке p имеет ограниченный обратный элемент.
Наконец, теорема гласит, что обратная функция непрерывно дифференцируема, а ее производная по Якоби при - это матрица, обратная якобиану F в точке p:
Сложной частью теоремы является существование и дифференцируемость . Предполагая это, формула обратной производной следует из цепочки правила, примененного к :
Рассмотрим вектор-функцию определяется по:
Матрица Якоби:
с определителем Якоби:
Определитель везде отличен от нуля. Таким образом, теорема гарантирует, что для каждой точки p в существует окрестность около p, над которой F обратима. Это не означает, что F обратим во всей области определения: в этом случае F даже не инъективен, поскольку он периодичен: .
Если один отказывается от предположения, что производная непрерывна, функция больше не должна быть обратимой. Например, и имеет разрывную производную и , который исчезает произвольно близко к . Эти критические точки являются локальными точками максимума / минимума , поэтому не взаимно однозначно ( и необратимый) на любом интервале, содержащем . Интуитивно понятно, что наклон не распространяется на близлежащие точки, где наклоны определяются слабым, но быстрым колебание.
В качестве важного результата теорема об обратной функции получила многочисленные доказательства. Доказательство, наиболее часто встречающееся в учебниках, основывается на принципе сжимающего отображения, также известном как теорема Банаха о фиксированной точке (которая также может использоваться в качестве ключевого шага в доказательстве существование и единственность решений обыкновенных дифференциальных уравнений ).
Поскольку теорема о неподвижной точке применяется в бесконечномерных (банаховом пространстве) условиях, это доказательство немедленно обобщается на бесконечномерную версию обратной функции (см. Обобщения ниже).
Альтернативное доказательство в конечных размерах опирается на теорему об экстремальных значениях для функций на компакте.
. в другом доказательстве используется метод Ньютона, преимущество которого заключается в обеспечении эффективной версии теоремы: границы производной функции подразумевают оценку размера окрестности, в которой функция обратима.
обратная функция Теорема утверждает, что если является векторнозначной функцией C на открытом множестве , тогда тогда и только тогда, когда существует C-вектор-функция определено рядом с с рядом с и рядом с . Впервые это было установлено Пикаром и Гурса с использованием итерационной схемы: основная идея состоит в том, чтобы доказать теорему о фиксированной точке с помощью теоремы о сжимающемся отображении. Взяв производные, получаем, что .
Цепное правило подразумевает, что матрицы и являются обратными. Непрерывность и означает, что они являются гомеоморфизмами, каждый из которых локально инвертирован. Чтобы доказать существование, после аффинного преобразования можно предположить, что и , так что .
Согласно основной теореме исчисления, если - функция C, , так что . Установка , следует, что
Теперь выберите так, что для . Предположим, что и определите индуктивно с помощью и . Предположения показывают, что если , тогда
В частности, подразумевает . В индуктивной схеме и . Таким образом, - это последовательность Коши, стремящаяся к . По построению по мере необходимости.
Чтобы проверить, что равно C, запишите , так что . Согласно приведенным выше неравенствам , так что . С другой стороны, если , то . Используя геометрический ряд для , следует, что . Но тогда
стремится к 0, поскольку и стремится к 0, доказывая, что представляет собой C с .
Приведенное выше доказательство представлено для конечномерного пространства, но одинаково хорошо применимо и для банаховых пространств. Если обратимая функция - это C с , то это также и обратное. Это следует по индукции с учетом того факта, что map для операторов - это C для любого (в конечномерном случае это элементарный факт, поскольку обратная матрица задается как сопряженная матрица, деленная на ее определитель ). Метод доказательства здесь можно найти в книгах Анри Картана, Жана Дьедонне, Сержа Ланга, Роджера Годемента и Ларса Хёрмандера.
Теорема об обратной функции может быть перефразирована в терминах дифференцируемых отображений между дифференцируемыми многообразиями. В этом контексте eorem утверждает, что для дифференцируемой карты (класса ), если дифференциал из ,
- это линейный изоморфизм в точке в тогда существует открытая окрестность из такая что
- это диффеоморфизм. Обратите внимание, что это означает, что компоненты связности M и N, содержащие p и F (p), имеют одинаковую размерность, что уже прямо подразумевается из предположения, что dF p является изоморфизмом. Если производная F является изоморфизмом во всех точках p в M, то отображение F является локальным диффеоморфизмом.
Теорема об обратной функции также может быть обобщена на дифференцируемые отображения между Банаховы пространства X и Y. Пусть U - открытая окрестность начала координат в X и непрерывно дифференцируемая функция, и предположим, что производная Фреше функции F в 0 является ограниченным линейный изоморфизм X на Y. Тогда существует открытая окрестность V точки в Y и непрерывно дифференцируемое отображение так, что для всех y в V. Кроме того, является единственным достаточно малым решением x уравнения .
Эти два направления обобщения могут быть объединены в теореме об обратной функции для банаховых многообразий.
Теорема об обратной функции (и неявная функция теорема ) можно рассматривать как частный случай теоремы о постоянном ранге, которая утверждает, что гладкое отображение с постоянным rank рядом с точкой может быть придано в особую нормальную форму около этой точки. В частности, если имеет постоянный ранг вблизи точки , то есть открытые окрестности U точек p и V из и есть диффеоморфизмы и такая, что и такая, что производная равно . То есть F «похожа» на свою производную около p. Полунепрерывность функции ранга означает, что существует открытое плотное подмножество области определения F, на котором производная имеет постоянный ранг. Таким образом, теорема о постоянном ранге применима к общей точке области.
Когда производная F инъективна (соответственно сюръективна) в точке p, она также инъективна (соответственно сюръективна) в окрестности p, и, следовательно, ранг F постоянен в этой окрестности, и применяется теорема о постоянном ранге.
Если голоморфная функция F определена из открытого набора U из в и матрицу Якоби из комплексная производная обратима в точке p, тогда F обратимая функция около p. Это немедленно следует из действительной многомерной версии теоремы. Можно также показать, что обратная функция снова голоморфна.
Если бы это было правдой, гипотеза о якобиане была бы вариантом теоремы об обратной функции. для полиномов. В нем говорится, что если вектор-значная полиномиальная функция имеет определитель Якоби, который является обратимым многочленом (то есть ненулевой константой), то у нее есть обратная функция, которая также является полиномиальной функцией. Неизвестно, верно ли это или ложь, даже в случае двух переменных. Это большая открытая проблема в теории многочленов.