Теорема об обратной функции

редактировать
Включено, когда функция обратима в окрестности точки

В математике, в частности, дифференциальное исчисление, теорема об обратной функции дает достаточное условие для функции быть обратимой в окрестности точки в ее области : а именно, что ее производная непрерывна и отлична от нуля в точке. Теорема также дает формулу для производной от обратной функции. В исчислении с несколькими переменными эту теорему можно обобщить на любую непрерывно дифференцируемую, вектор-функцию, определитель Якоби отличной от нуля в точке в своей области, давая формулу для матрицы Якоби обратного. Существуют также версии теоремы об обратной функции для сложных голоморфных функций, для дифференцируемых отображений между многообразиями, для дифференцируемых функций между банаховыми пространствами, и так далее.

Содержание

  • 1 Утверждение
  • 2 Пример
  • 3 Контрпример
  • 4 Методы доказательства
  • 5 Доказательство теоремы об обратной функции
  • 6 Обобщения
    • 6.1 Многообразия
    • 6.2 Банаховы пространства
    • 6.3 Банаховы многообразия
    • 6.4 Теорема о постоянном ранге
    • 6.5 Голоморфные функции
    • 6.6 Полиномиальные функции
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки

Утверждение

Для функций одной переменной теорема утверждает, что если f {\ displaystyle f}f является непрерывно дифференцируемой функцией с ненулевой производной в точке a; тогда f {\ displaystyle f}f обратимо в окрестности a, обратная функция непрерывно дифференцируема, а производная обратной функции при b = f (a) {\ displaystyle b = f (a)}{\ displaystyle b = f ( a)} является обратной величиной производной от f {\ displaystyle f}f в a {\ displaystyle a}a :

(f - 1) ′ (b) = 1 f ′ (a) = 1 f ′ (f - 1 (b)). {\ displaystyle {\ bigl (} f ^ {- 1} {\ bigr)} '(b) = {\ frac {1} {f' (a)}} = {\ frac {1} {f '(f ^ {- 1} (b))}}.}{\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr)}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.}

Альтернативная версия, которая предполагает, что f {\ displaystyle f}f является непрерывным и инъективный рядом с a и дифференцируемый в точке a с ненулевой производной, также приведет к тому, что f {\ displaystyle f}f будет обратимым рядом с a, с обратным, которое также непрерывно и инъективно, и где также применима приведенная выше формула.

Как следствие, мы ясно видим, что если f {\ displaystyle f}f равно k {\ displaystyle k }k -й дифференцируемый, с ненулевой производной в точке a, тогда f {\ displaystyle f}f обратим в окрестности a, обратное тоже k {\ displaystyle k}k -й дифференцируемый. Здесь k {\ displaystyle k}k - положительное целое число или ∞ {\ displaystyle \ infty}\ infty .

Для функций более чем одной переменной теорема утверждает, что если F является непрерывно дифференцируемая функция из открытого набора R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \!}{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \!} в R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \!}{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \!} , а полная производная обратима в точке p (т. е. детерминант якобиана F в точке p не равно нулю), то F обратима около p: функция, обратная к F, определена в некоторой окрестности из q = F (p) {\ displaystyle q = F (p) \!}{\ displaystyle q = F (p) \!} . Написав F = (F 1,…, F n) {\ displaystyle F = (F_ {1}, \ ldots, F_ {n}) \!}{\ displaystyle F = (F_ {1}, \ ldots, F_ {n}) \!} , это означает, что система n уравнений yi = F i (x 1,…, xn) {\ displaystyle y_ {i} = F_ {i} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \!}{\ displaystyle y_ {i} = F_ {i} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \!} имеет уникальное решение для x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n} \!}{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n} \!} в терминах y 1,…, yn {\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n} \!}{\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ { n} \!} , при условии, что мы ограничиваем x и y достаточно маленькими окрестностями p и q соответственно. В бесконечномерном случае теорема требует дополнительной гипотезы о том, что производная Фреше функции F в точке p имеет ограниченный обратный элемент.

Наконец, теорема гласит, что обратная функция F - 1 {\ displaystyle F ^ {- 1} \!}{\ displaystyle F ^ {- 1} \! } непрерывно дифференцируема, а ее производная по Якоби при q = F (p) {\ displaystyle q = F (p) \!}{\ displaystyle q = F (p) \!} - это матрица, обратная якобиану F в точке p:

JF - 1 ( q) = [JF (p)] - 1. {\ displaystyle J_ {F ^ {- 1}} (q) = [J_ {F} (p)] ^ {- 1}.}{ \ Displaystyle J_ {F ^ {- 1}} (q) = [J_ {F} (p)] ^ {- 1}.}

Сложной частью теоремы является существование и дифференцируемость F - 1 {\ displaystyle F ^ {- 1} \!}{\ displaystyle F ^ {- 1} \! } . Предполагая это, формула обратной производной следует из цепочки правила, примененного к F - 1 ∘ F = id {\ displaystyle F ^ {- 1} \ circ F = {\ text {id}} }{\ displaystyle F ^ {- 1} \ circ F = {\ text {id}}} :

I = JF - 1 ∘ F (p) = JF - 1 (F (p)) ⋅ JF (p) = JF - 1 (q) ⋅ JF (p). {\ Displaystyle I = J_ {F ^ {- 1} \ circ F} (p) \ = \ J_ {F ^ {- 1}} (F (p)) \ cdot J_ {F} (p) \ = \ J_ {F ^ {- 1}} (q) \ cdot J_ {F} (p).}{\ displaystyle I = J_ {F ^ {- 1} \ circ F} (p) \ = \ J_ {F ^ {- 1}} (F (p)) \ cdot J_ {F} (p) \ = \ J_ {F ^ { -1}} (q) \ cdot J_ {F} (p).}

Пример

Рассмотрим вектор-функцию F: R 2 → R 2 {\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2} \!}{\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ { 2} \ к \ mathbb {R} ^ {2} \!} определяется по:

F (x, y) = [ex cos ⁡ yex sin ⁡ y]. {\ Displaystyle F (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e ^ {x} \ cos y} \\ {e ^ {x} \ sin y} \\\ end {bmatrix}}.}{\ displaystyle F (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e ^ {x} \ cos y} \\ {e ^ {x} \ sin y} \\\ end {bmatrix}}.}

Матрица Якоби:

JF (x, y) = [ex cos ⁡ y - ex sin ⁡ yex sin ⁡ yex cos ⁡ y] {\ displaystyle J_ {F} (x, y) = {\ begin { bmatrix} {e ^ {x} \ cos y} {- e ^ {x} \ sin y} \\ {e ^ {x} \ sin y} {e ^ {x} \ cos y} \\\ end {bmatrix}}}J_ {F} (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e ^ {x} \ cos y} {- e ^ {x} \ sin y} \\ {e ^ {x} \ sin y } {e ^ {x} \ cos y} \\\ end {bmatrix}}

с определителем Якоби:

det JF (x, y) = e 2 x cos 2 ⁡ y + e 2 x sin 2 ⁡ y = e 2 x. {\ displaystyle \ det J_ {F} (x, y) = e ^ {2x} \ cos ^ {2} y + e ^ {2x} \ sin ^ {2} y = e ^ {2x}. \, \ !}\ det J_ {F} (x, y) = e ^ {2x} \ соз ^ {2} y + e ^ {2x} \ sin ^ {2} y = e ^ {2x}. \, \!

Определитель e 2 x {\ displaystyle e ^ {2x} \!}{\ displaystyle e ^ {2x} \!} везде отличен от нуля. Таким образом, теорема гарантирует, что для каждой точки p в R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \!}{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \!} существует окрестность около p, над которой F обратима. Это не означает, что F обратим во всей области определения: в этом случае F даже не инъективен, поскольку он периодичен: F (x, y) = F (x, y + 2 π) {\ Displaystyle F (x, y) = F (x, y + 2 \ pi) \!}{\ displaystyle F (x, y) = F (x, y +2 \ пи) \!} .

Контрпример

Функция f (x) = x + 2 x 2 sin ⁡ ( 1 x) {\ displaystyle f (x) = x + 2x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}{\ displaystyle е (х) = х + 2x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})} ограничен квадратичной оболочкой около линии y = x {\ displaystyle y = x}y = x , поэтому f ′ (0) = 1 {\ displaystyle f '(0) = 1}f'(0)=1. Тем не менее, у него есть локальные точки максимума / минимума, накапливающиеся в x = 0 {\ displaystyle x = 0}x = 0 , поэтому он не является взаимно однозначным на любом окружающем интервале.

Если один отказывается от предположения, что производная непрерывна, функция больше не должна быть обратимой. Например, f (x) = x + 2 x 2 sin ⁡ (1 x) {\ displaystyle f (x) = x + 2x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}}) }{\ displaystyle е (х) = х + 2x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})} и f (0) = 0 {\ displaystyle f (0) = 0}{\ displaystyle f (0) = 0} имеет разрывную производную f ′ (x) = 1-2 cos ⁡ (1 x) + 4 x грех ⁡ (1 x) {\ displaystyle f '\! (X) = 1-2 \ cos ({\ tfrac {1} {x}}) + 4x \ sin ({\ tfrac { 1} {x}})}{\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}и f ′ (0) = 1 {\ displaystyle f '\! (0) = 1}{\displaystyle f'\!(0)=1}, который исчезает произвольно близко к x = 0 {\ displaystyle x = 0}x = 0 . Эти критические точки являются локальными точками максимума / минимума f {\ displaystyle f}f , поэтому f {\ displaystyle f}f не взаимно однозначно ( и необратимый) на любом интервале, содержащем x = 0 {\ displaystyle x = 0}x = 0 . Интуитивно понятно, что наклон f '(0) = 1 {\ displaystyle f' \! (0) = 1}{\displaystyle f'\!(0)=1}не распространяется на близлежащие точки, где наклоны определяются слабым, но быстрым колебание.

Методы доказательства

В качестве важного результата теорема об обратной функции получила многочисленные доказательства. Доказательство, наиболее часто встречающееся в учебниках, основывается на принципе сжимающего отображения, также известном как теорема Банаха о фиксированной точке (которая также может использоваться в качестве ключевого шага в доказательстве существование и единственность решений обыкновенных дифференциальных уравнений ).

Поскольку теорема о неподвижной точке применяется в бесконечномерных (банаховом пространстве) условиях, это доказательство немедленно обобщается на бесконечномерную версию обратной функции (см. Обобщения ниже).

Альтернативное доказательство в конечных размерах опирается на теорему об экстремальных значениях для функций на компакте.

. в другом доказательстве используется метод Ньютона, преимущество которого заключается в обеспечении эффективной версии теоремы: границы производной функции подразумевают оценку размера окрестности, в которой функция обратима.

Доказательство теоремы об обратной функции

обратная функция Теорема утверждает, что если f {\ displaystyle f}f является векторнозначной функцией C на открытом множестве U {\ displaystyle U}U , тогда det f '(a) ≠ 0 {\ displaystyle \ det f ^ {\ prime} (a) \ neq 0}{\ displaystyle \ det f ^ {\ prime} (a) \ neq 0} тогда и только тогда, когда существует C-вектор-функция g {\ displaystyle g}g определено рядом с b = f (a) {\ displaystyle b = f (a)}{\ displaystyle b = f ( a)} с g (f (x)) = x {\ displaystyle g (f (x)) = x}{\ displaystyle g (е (x)) = x} рядом с a {\ displaystyle a}a и f (g (y)) = y {\ displaystyle f (g (y)) = y}{\ displaystyle f (g (y)) = y} рядом с b {\ displaystyle b}b . Впервые это было установлено Пикаром и Гурса с использованием итерационной схемы: основная идея состоит в том, чтобы доказать теорему о фиксированной точке с помощью теоремы о сжимающемся отображении. Взяв производные, получаем, что g ′ (y) = f ′ (g (y)) - 1 {\ displaystyle g ^ {\ prime} (y) = f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {- 1}}{\ displaystyle g ^ {\ prime} (y) = f ^ {\ prime } (g (y)) ^ {- 1}} .

Цепное правило подразумевает, что матрицы f ′ (a) {\ displaystyle f ^ {\ prime} (a)}{\ displaystyle f ^ {\ prime} (a)} и g ′ ( б) {\ displaystyle g ^ {\ prime} (b)}{\ displaystyle g ^ {\ prime} (b)} являются обратными. Непрерывность f {\ displaystyle f}f и g {\ displaystyle g}g означает, что они являются гомеоморфизмами, каждый из которых локально инвертирован. Чтобы доказать существование, после аффинного преобразования можно предположить, что f (0) = 0 {\ displaystyle f (0) = 0}f (0) = 0 и f ′ (0) = I { \ displaystyle f ^ {\ prime} (0) = I}{\ displaystyle f ^ {\ prime} (0) = I} , так что a = b = 0 {\ displaystyle a = b = 0}{ \ displaystyle a = b = 0} .

Согласно основной теореме исчисления, если u {\ displaystyle u}u - функция C, u (1) - u (0) = ∫ 0 1 u ′ (t) dt {\ displaystyle u (1) - u (0) = \ int _ {0} ^ {1} u ^ {\ prime} (t) \, dt}{\ displaystyle u (1) -u (0) = \ int _ {0} ^ {1} u ^ {\ prime} (т) \, dt} , так что ‖ u (1) - u (0) ‖ ≤ sup 0 ≤ T ≤ 1 ‖ u ′ (t) ‖ {\ displaystyle \ | u (1) -u (0) \ | \ leq \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | u ^ { \ prime} (t) \ |}{\ displaystyle \ | u (1) -u (0) \ | \ leq \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | u ^ {\ prime} (t) \ |} . Установка u (t) = f (x + t (x ′ - x)) - x - t (x ′ - x) {\ displaystyle u (t) = f (x + t (x ^ {\ prime } -x)) - xt (x ^ {\ prime} -x)}{\ displaystyle u (t) = f (x + t (x ^ {\ prime} -x)) - xt (x ^ {\ prime} -x)} , следует, что

‖ f (x) - f (x ′) - x + x ′ ‖ ≤ ‖ x - x ′ ‖ sup 0 ≤ t ≤ 1 ‖ f ′ (x + t (x ′ - x))) - I ‖. {\ Displaystyle \ | е (х) -f (х ^ {\ простое}) - х + х ^ {\ простое} \ | \ leq \ | хх ^ {\ простое} \ | \, \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | f ^ {\ prime} (x + t (x ^ {\ prime} -x))) - I \ |.}{\ displaystyle \ | f (x) - f (x ^ {\ prime}) - x + x ^ {\ prime} \ | \ leq \ | xx ^ {\ prime} \ | \, \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | f ^ {\ prime} (x + t (x ^ {\ prime} -x))) - I \ |.}

Теперь выберите δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}\delta>0 так, что ‖ f ′ (x) - I ‖ < 1 2 {\displaystyle \|f^{\prime }(x)-I\|<{1 \over 2}}{\ displaystyle \ | f ^ {\ prime} (x) -I \ | <{1 \ over 2}} для ‖ x ‖ < δ {\displaystyle \|x\|<\delta }{\ displaystyle \ | x \ | <\ delta} . Предположим, что ‖ y ‖ < δ / 2 {\displaystyle \|y\|<\delta /2}{\ displaystyle \ | y \ | <\ delta / 2} и определите xn {\ displaystyle x_ {n}}x_ {n} индуктивно с помощью x 0 = 0 {\ displaystyle x_ {0} = 0}x_ {0} = 0 и xn + 1 = xn + y - f (xn) {\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} + yf (x_ {n})}{\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} + yf (x_ {n})} . Предположения показывают, что если ‖ X ‖, ‖ x ′ ‖ < δ {\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }{\ displaystyle \ | x \ |, \, \, \ | x ^ {\ prime} \ | <\ delta} , тогда

‖ f (x) - f (x ′) - x + x ′ ‖ ≤ ‖ x - x ′ ‖ / 2 {\ displaystyle \ | f (x) -f (x ^ {\ prime}) - x + x ^ {\ prime} \ | \ leq \ | xx ^ {\ prime} \ | / 2}{\ displaystyle \ | f (x) -f (x ^ {\ prime}) - x + x ^ {\ prime} \ | \ leq \ | xx ^ {\ prime} \ | / 2} .

В частности, f (x) = f (x ′) {\ displaystyle f (x) = f (x ^ {\ prime})}{\ displaystyle f (x) = f (x ^ {\ prime})} подразумевает x = x ′ {\ displaystyle x = x ^ {\ prime}}{\ displaystyle x = x ^ {\ prime}} . В индуктивной схеме ‖ x n ‖ < δ {\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }{\ displaystyle \ | x_ {n} \ | <\ delta} и ‖ x n + 1 - x n ‖ < δ / 2 n {\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}}{\ displaystyle \ | x_ {n +1} -x_ {n} \ | <\ delta / 2 ^ {n}} . Таким образом, (xn) {\ displaystyle (x_ {n})}(x_ {n}) - это последовательность Коши, стремящаяся к x {\ displaystyle x}x . По построению f (x) = y {\ displaystyle f (x) = y}f (x) = y по мере необходимости.

Чтобы проверить, что g = f - 1 {\ displaystyle g = f ^ {- 1}}{\ displaystyle g = f ^ {- 1}} равно C, запишите g (y + k) = x + час {\ displaystyle g (y + k) = x + h}{\ displaystyle g (y + k) = x + h} , так что f (x + h) = f (x) + k {\ displaystyle f (x + h) = f (x) + k}{\ displaystyle f (х + час) = е (х) + к} . Согласно приведенным выше неравенствам ‖ h - k ‖ < ‖ h ‖ / 2 {\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2}{\ displaystyle \ | hk \ | <\ | h \ | / 2} , так что ‖ h ‖ / 2 < ‖ k ‖ < 2 ‖ h ‖ {\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}{\ displaystyle \ | h \ | / 2 <\ | k \ | <2 \ | час \ |} . С другой стороны, если A = f '(x) {\ displaystyle A = f ^ {\ prime} (x)}{\ displaystyle A = f ^ {\ prime} (x)} , то ‖ A - I ‖ < 1 / 2 {\displaystyle \|A-I\|<1/2}{\ displaystyle \ | AI \ | <1/2} . Используя геометрический ряд для B = I - A {\ displaystyle B = IA}{\ displaystyle B = IA} , следует, что ‖ A - 1 ‖ < 2 {\displaystyle \|A^{-1}\|<2}{\ displaystyle \ | A ^ {- 1} \ | <2} . Но тогда

‖ g (y + k) - g (y) - f ′ (g (y)) - 1 k ‖ ‖ k ‖ = ‖ h - f ′ (x) - 1 [f (x + h) - е (Икс)] ‖ ‖ К ‖ ≤ 4 ‖ е (Икс + В) - е (Икс) - F '(Икс) час ‖ ‖ час ‖ {\ Displaystyle {\ | g (y + k) -g (y) -f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {- 1} k \ | \ over \ | k \ |} = {\ | h-f ^ {\ prime} (x) ^ {- 1} [f (x + h) -f (x)] \ | \ over \ | k \ |} \ leq 4 {\ | f (x + h) -f (x) -f ^ {\ prime} (x) h \ | \ over \ | h \ |}}{\ displaystyle { \ | g (y + k) -g (y) -f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {- 1} k \ | \ over \ | k \ |} = {\ | h-f ^ {\ prime} (x) ^ {- 1} [f (x + h) -f (x)] \ | \ over \ | k \ |} \ leq 4 {\ | f (x + h) -f (x) -f ^ {\ prime} (x) h \ | \ over \ | h \ |}}

стремится к 0, поскольку k {\ displaystyle k}k и h {\ displaystyle h}h стремится к 0, доказывая, что g {\ displaystyle g}g представляет собой C с g ′ (y) = f ′ (g (y)) - 1 {\ displaystyle g ^ {\ prime} ( y) = f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {- 1}}{\ displaystyle g ^ {\ prime} (y) = f ^ {\ prime } (g (y)) ^ {- 1}} .

Приведенное выше доказательство представлено для конечномерного пространства, но одинаково хорошо применимо и для банаховых пространств. Если обратимая функция f {\ displaystyle f}f - это C с k>1 {\ displaystyle k>1}k>1 , то это также и обратное. Это следует по индукции с учетом того факта, что map F (A) = A - 1 {\ displaystyle F (A) = A ^ {- 1}}{ \ Displaystyle F (A) = A ^ {- 1}} для операторов - это C для любого k {\ displaystyle k}k (в конечномерном случае это элементарный факт, поскольку обратная матрица задается как сопряженная матрица, деленная на ее определитель ). Метод доказательства здесь можно найти в книгах Анри Картана, Жана Дьедонне, Сержа Ланга, Роджера Годемента и Ларса Хёрмандера.

Обобщения

Многообразия

Теорема об обратной функции может быть перефразирована в терминах дифференцируемых отображений между дифференцируемыми многообразиями. В этом контексте eorem утверждает, что для дифференцируемой карты F: M → N {\ displaystyle F: M \ to N}F: M \ to N (класса C 1 {\ displaystyle C ^ {1}}C ^ {1} ), если дифференциал из F {\ displaystyle F}F ,

d F p: T p M → TF (p) N {\ displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ to T_ {F (p)} N}dF_ {p}: T_ {p} M \ к T_ {F (p)} N

- это линейный изоморфизм в точке p {\ displaystyle p}p в M {\ displaystyle M}M тогда существует открытая окрестность U {\ displaystyle U}U из p {\ displaystyle p}p такая что

F | U: U → F (U) {\ displaystyle F | _ {U}: U \ to F (U)}F | _ {U}: U \ to F (U)

- это диффеоморфизм. Обратите внимание, что это означает, что компоненты связности M и N, содержащие p и F (p), имеют одинаковую размерность, что уже прямо подразумевается из предположения, что dF p является изоморфизмом. Если производная F является изоморфизмом во всех точках p в M, то отображение F является локальным диффеоморфизмом.

банаховыми пространствами

Теорема об обратной функции также может быть обобщена на дифференцируемые отображения между Банаховы пространства X и Y. Пусть U - открытая окрестность начала координат в X и F: U → Y {\ displaystyle F: U \ to Y \!}{\ displaystyle F: U \ to Y \!} непрерывно дифференцируемая функция, и предположим, что производная Фреше d F 0: X → Y {\ displaystyle dF_ {0}: X \ to Y \!}{\ displaystyle dF_ {0}: X \ в Y \!} функции F в 0 является ограниченным линейный изоморфизм X на Y. Тогда существует открытая окрестность V точки F (0) {\ displaystyle F (0) \!}{\ displaystyle F (0) \!} в Y и непрерывно дифференцируемое отображение G: V → X {\ displaystyle G: V \ to X \!}{\ displaystyle G: V \ to X \!} так, что F (G (y)) = y {\ displaystyle F (G (y)) = y }F (G (y)) = y для всех y в V. Кроме того, G (y) {\ displaystyle G (y) \!}{\ displaystyle G (y) \!} является единственным достаточно малым решением x уравнения F (x) = y {\ displaystyle F (x) = y \!}{\ displaystyle F (x) = y \!} .

Банах многообразий

Эти два направления обобщения могут быть объединены в теореме об обратной функции для банаховых многообразий.

Теорема о постоянном ранге

Теорема об обратной функции (и неявная функция теорема ) можно рассматривать как частный случай теоремы о постоянном ранге, которая утверждает, что гладкое отображение с постоянным rank рядом с точкой может быть придано в особую нормальную форму около этой точки. В частности, если F: M → N {\ displaystyle F: M \ to N}F: M \ to N имеет постоянный ранг вблизи точки p ∈ M {\ displaystyle p \ in M ​​\!}{\ displaystyle p \ in M ​​\!} , то есть открытые окрестности U точек p и V из F (p) {\ displaystyle F (p) \!}{\ displaystyle F (p) \!} и есть диффеоморфизмы u: T п M → U {\ displaystyle u: T_ {p} M \ to U \!}{\ displaystyle u: T_ {p} M \ to U \!} и v: TF (p) N → V {\ displaystyle v: T_ {F (p) } N \ to V \!}{\ displaystyle v: T_ {F (p)} N \ to V \!} такая, что F (U) ⊆ V {\ displaystyle F (U) \ substeq V \!}{\ Displaystyle F (U) \ substeq V \!} и такая, что производная d F p: T p M → TF (p) N {\ displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ to T_ {F (p)} N \!}{\ displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ to T_ {F (p)} N \!} равно v - 1 ∘ F ∘ u {\ displaystyle v ^ {- 1} \ circ F \ circ u \!}{\ displaystyle v ^ {-1} \ circ F \ circ u \!} . То есть F «похожа» на свою производную около p. Полунепрерывность функции ранга означает, что существует открытое плотное подмножество области определения F, на котором производная имеет постоянный ранг. Таким образом, теорема о постоянном ранге применима к общей точке области.

Когда производная F инъективна (соответственно сюръективна) в точке p, она также инъективна (соответственно сюръективна) в окрестности p, и, следовательно, ранг F постоянен в этой окрестности, и применяется теорема о постоянном ранге.

Голоморфные функции

Если голоморфная функция F определена из открытого набора U из C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \!}{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \!} в C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \!}{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \!} и матрицу Якоби из комплексная производная обратима в точке p, тогда F обратимая функция около p. Это немедленно следует из действительной многомерной версии теоремы. Можно также показать, что обратная функция снова голоморфна.

Полиномиальные функции

Если бы это было правдой, гипотеза о якобиане была бы вариантом теоремы об обратной функции. для полиномов. В нем говорится, что если вектор-значная полиномиальная функция имеет определитель Якоби, который является обратимым многочленом (то есть ненулевой константой), то у нее есть обратная функция, которая также является полиномиальной функцией. Неизвестно, верно ли это или ложь, даже в случае двух переменных. Это большая открытая проблема в теории многочленов.

См. Также

Примечания

Литература

Последняя правка сделана 2021-05-24 05:40:54
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте