Геометрическое исчисление

Исчисление бесконечно малых для функций, определенных в геометрической алгебре

В математике, геометрическое исчисление расширяет геометрическую алгебру, чтобы включать дифференцирование и интегрирование. Этот формализм силен и, как можно показать, охватывает другие математические теории, включая дифференциальную геометрию и дифференциальные формы.

Содержание

• 1 Дифференциация
  • 1.1 Правило продукта
  • 1.2 Внутреннее и внешнее производная
• 2 Интеграция
  • 2.1 Основная теорема геометрического исчисления
• 3 Ковариантная производная
• 4 Связь с дифференциальной геометрией
• 5 Связь с дифференциальными формами
• 6 История
• 7 Ссылки и дополнительная литература

Дифференциация

Если задана геометрическая алгебра, пусть $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$будет векторов и пусть $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$будет многовекторной -значной функцией вектора. производная по направлению от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$вдоль $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \}$определяется как

$(\nabla \; b\; F)\; (a)\; =\; lim\; ϵ\; \to \; 0\; F\; (a\; +\; ϵ\; b)\; -\; F\; (a)\; ϵ,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{b\}\; F)\; (a)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; epsilon\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (a\; +\; \backslash \; epsilon\; b)\; -F\; (a)\}\; \{\backslash \; epsilon\}\},\}$

при условии, что предел существует для всех $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$, где предел берется для скаляра $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$. Это похоже на обычное определение производной по направлению, но расширяет его до функций, которые не обязательно являются скалярными.

Затем выберите набор базисных векторов $\{ei\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$и рассмотрите операторы, обозначенные $\partial \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\}$, которые выполняют производные по направлениям в направлениях $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$:

$\partial \; i:\; F\; \mapsto \; (x\; \mapsto \; (\nabla \; ei\; F)\; (x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}:\; F\; \backslash \; mapsto\; (x\; \backslash \; mapsto\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{e\_\; \{i\}\}\; F)\; (x)).\}$

Затем, используя нотацию суммирования Эйнштейна, рассмотрим оператор:

$ei\; \partial \; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\},\}$

, что означает

$F\; \mapsto \; ei\; \partial \; i\; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; mapsto\; e\; ^\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; F,\}$

где геометрическое произведение применяется после производной по направлению. Более подробно:

$F\; \mapsto \; (x\; \mapsto \; e\; i\; (\nabla \; e\; i\; F)\; (x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; mapsto\; (x\; \backslash \; mapsto\; e\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{e\_\; \{i\}\}\; F)\; (x)).\}$

Этот оператор не зависит от выбора фрейма и, следовательно, может быть используется для определения геометрической производной:

$\nabla \; =\; ei\; \partial \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; =\; e\; ^\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}.\}$

Это похоже на обычное определение gradient, но оно также распространяется на функции, которые не обязательно со скалярными значениями.

Производная по направлению линейна относительно своего направления, то есть:

$\nabla \; \alpha \; a\; +\; \beta \; b\; =\; \alpha \; \nabla \; a\; +\; \beta \; \nabla \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; alpha\; a\; +\; \backslash \; beta\; b\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; nabla\; \_\; \{a\}\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; nabla\; \_\; \{b\}.\}$

Отсюда следует, что производная по направлению является внутренним произведением ее направление геометрической производной. Все, что нужно отметить, - это то, что направление $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$может быть записано $a\; =\; (a\; \cdot \; ei)\; ei\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; (a\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{\; i\})\; e\_\; \{i\}\}$, так что:

$\nabla \; a\; =\; \nabla \; (a\; \cdot \; ei)\; ei\; =\; (a\; \cdot \; ei)\; \nabla \; ei\; =\; a\; \cdot \; (ei\; \nabla \; ei)\; =\; a\; \cdot \; \nabla .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{a\}\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{(a\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{i\})\; e\_\; \{i\}\}\; =\; (a\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{i\})\; \backslash \; nabla\; \_\; \{e\_\; \{i\}\}\; =\; a\; \backslash \; cdot\; (e\; ^\; \{i\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{e\_\; \{i\}\})\; =\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla.\}$

По этой причине $\nabla \; a\; F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\; a\}\; F\; (x)\}$часто отмечается $a\; \cdot \; \nabla \; F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; F\; (x)\}$.

Стандартный порядок операций для геометрической производной состоит в том, что она действует только на ближайшую справа от нее функцию. Учитывая две функции $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, то, например, мы имеем

$\nabla \; FG\; =\; (\nabla \; F)\; ГРАММ.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; FG\; =\; (\backslash \; nabla\; F)\; G.\}$

Правило произведения

Хотя частная производная демонстрирует правило произведения, геометрическая производная наследует это свойство только частично. Рассмотрим две функции: $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$:

$\nabla \; (FG)\; =\; ei\; \partial \; i\; (FG)\; =\; ei\; ((\partial \; i\; F)\; G\; +\; F\; (\partial \; i\; G))\; =\; ei\; (\partial \; i\; F)\; G\; +\; ei\; F\; (\partial \; i\; G).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; nabla\; (FG)\; =\; e\; ^\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; (FG)\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{i\}\; ((\backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; F)\; G\; +\; F\; (\backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; G))\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; F)\; G\; +\; e\; ^\; \{i\}\; F\; (\backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; G).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Поскольку геометрическое произведение не коммутативное с $ei\; F\; \ne \; F\; ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\}\; F\; \backslash \; neq\; Fe\; ^\; \{i\}\}$в общем, чтобы продолжить, нам нужны новые обозначения. Решение состоит в том, чтобы принять нотацию overdot, в которой объем геометрической производной с overdot представляет собой многовекторную функцию, разделяющую ту же точку overdot. В этом случае, если мы определим

$\nabla \; \dot{}\; FG\; \dot{}\; =\; ei\; F\; (\partial \; i\; G),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; nabla\}\}\; F\; \{\backslash \; dot\; \{G\}\}\; =\; e\; ^\; \{i\}\; F\; (\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; G),\}$

, то правило произведения для геометрической производной:

$\nabla \; (FG)\; =\; \nabla \; FG\; +\; \nabla \; \dot{}\; FG\; \dot{}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; (FG)\; =\; \backslash \; nabla\; FG\; +\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; nabla\}\}\; F\; \{\backslash \; dot\; \{G\}\}.\}$

Внутренняя и внешняя производная

Пусть $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$быть мультивектором $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$. Затем мы можем определить дополнительную пару операторов, внутренние и внешние производные,

$\nabla \; \cdot \; F\; =\; ⟨\nabla \; F⟩\; r\; -\; 1\; =\; ei\; \cdot \; \partial \; i\; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; F\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; nabla\; F\; \backslash \; rangle\; \_\; \{r-1\}\; =\; e\; ^\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; F,\}$

$\nabla \; \wedge \; F\; =\; ⟨\nabla \; F⟩\; r\; +\; 1\; =\; ei\; \wedge \; \partial \; i\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; wedge\; F\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; nabla\; F\; \backslash \; rangle\; \_\; \{r\; +\; 1\}\; =\; e\; ^\; \{i\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; F.\}$

В частности, если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- это степень 1 (векторнозначная функция), тогда мы можем написать

$\nabla \; F\; =\; \nabla \; \cdot \; F\; +\; \nabla \; \wedge \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; F\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; F\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; wedge\; F\}$

и определите дивергенцию и curl как

$\nabla \; \cdot \; F\; =\; div\; \; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; F\; =\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; F,\}$

$\nabla \; \wedge \; F\; =\; I\; curl\; \; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; wedge\; F\; =\; I\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{curl\}\; F.\}$

В отличие от геометрической производной, ни оператор внутренней производной, ни оператор внешней производной не являются обратимыми.

Интеграция

Пусть $\{e\; 1,\dots ,\; en\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; e\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$быть набором базисных векторов, которые охватывают $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерное векторное пространство. Из геометрической алгебры мы интерпретируем псевдоскаляр $e\; 1\; \wedge \; e\; 2\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; en\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{n\}\}$быть подписанным томом из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-параллелоэдра, подчиненного этим базисным векторам. Если базисные векторы ортонормированы, то это единичный псевдоскаляр.

В более общем плане мы можем ограничиться подмножеством $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$базисных векторов, где $1\; \le \; k\; \le \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; n\}$, для обработки длины, площади или другого общего $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-объем подпространства в общем $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерное векторное пространство. Мы обозначаем эти выбранные базисные векторы $\{ei\; 1,\dots ,\; eik\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{i\_\; \{1\}\},\; \backslash \; ldots,\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\; \backslash \}\}$. Общий $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-объем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-параллелоэдра, которому подчиняются эти базисные векторы, является степенью $k\; \{\backslash \; Displaystyle\; k\}$мультивектор $ei\; 1\; \wedge \; ei\; 2\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; eik\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\}$.

В более общем плане мы можем рассмотреть новый набор векторов $\{xi\; 1\; ei\; 1,\dots ,\; xikeik\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; e\_\; \{\; i\_\; \{1\}\},\; \backslash \; ldots,\; x\; ^\; \{i\_\; \{k\}\}\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\; \backslash \}\}$пропорционально $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$базисных векторов, где каждый из $\{xij\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; ^\; \{i\_\; \{j\}\}\; \backslash \}\}$является компонентом, масштабирующим один из базисных векторов. Мы вольны выбирать настолько бесконечно малые компоненты, насколько захотим, пока они не равны нулю. Поскольку внешнее произведение этих терминов можно интерпретировать как $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-volume, естественный способ определить меру - это

$dk\; X\; =\; (dxi\; 1\; ei\; 1)\; \wedge \; (dxi\; 2\; ei\; 2)\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; (dxikeik)\; =\; (ei\; 1\; \wedge \; ei\; 2\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; eik)\; dxi\; 1\; dxi\; 2\; \cdots \; dxik.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; d\; ^\; \{k\}\; X\; =\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; e\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{i\_\; \{2\}\}\; e\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{i\_\; \{k\}\}\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (e\_\; \{i\_\; \{1\}\; \}\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; dx\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; dx\; ^\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; dx\; ^\; \{i\_\; \{k\; \}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, мера всегда пропорциональна единичному псевдоскаляру $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-мерного подпространства векторного пространства. Сравните риманову форму объема в теории дифференциальных форм. Интеграл берется относительно этой меры:

$\int \; V\; F\; (x)\; d\; k\; X\; =\; \int \; V\; F\; (x)\; (e\; i\; 1\; \wedge \; e\; i\; 2\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; e\; i\; k)\; d\; x\; i\; 1\; d\; x\; i\; 2\; \cdots \; d\; x\; i\; k.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; F\; (x)\; \backslash ,\; d\; ^\; \{k\}\; X\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; F\; (x)\; \backslash \; left\; (e\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{i\_\; \{2\})\; \}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; dx\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; dx\; ^\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; dx\; ^\; \{i\_\; \{k\}\}.\}$

Более формально рассмотрим некоторый направленный объем $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$подпространства. Мы можем разделить этот объем на сумму симплексов. Пусть $\{x\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$будет координатами вершин. В каждой вершине мы назначаем меру $\Delta \; U\; i\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\_\; \{i\}\; (x)\}$как среднюю меру симплексов, разделяющих вершину. Тогда интеграл от $F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\}$относительно $U\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (x)\}$сверх этот объем получается в пределе более тонкого разбиения объема на более мелкие симплексы:

$\int \; VF\; d\; U\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; \sum \; i\; =\; 1\; n\; F\; (xi)\; \Delta \; U\; i\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; F\; \backslash ,\; dU\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; F\; (x\_\; \{i\})\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; U\_\; \{i\; \}\; (x).\}$

Основная теорема геометрического исчисления

Причина определения геометрической производной и интеграла, как указано выше, заключается в том, что они допускают сильное обобщение теоремы Стокса. Пусть $L\; (A;\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{L\}\}\; (A;\; x)\}$будет многовекторной функцией от $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- входной уровень $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и общее положение $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, линейное по первому аргументу. Тогда основная теорема геометрического исчисления связывает интеграл от производной по объему $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$с интегралом по его границе:

$\int \; VL\; \dot{}\; (\nabla \; \dot{}\; d\; X;\; х)\; =\; \oint \; \partial \; VL\; (d\; S;\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathsf\; \{L\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; nabla\}\}\; dX;\; x\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{\; L\}\}\; (dS;\; x).\}$

В качестве примера пусть $L\; (A;\; x)\; =\; ⟨F\; (x)\; AI\; -\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{L\}\}\; (A;\; x)\; =\; \backslash \; langle\; F\; (x)\; AI\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; rangle\}$для векторной функции $F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\}$и многовекторный ($n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n-1\}$) -уровень $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Получаем, что

$\int \; V\; L\; \dot{}\; (\nabla \; \dot{}\; d\; X;\; x)\; =\; \int \; V\; ⟨F\; \dot{}\; (x)\; \nabla \; \dot{}\; d\; X\; I\; -\; 1⟩\; =\; \int \; V\; ⟨F\; \dot{}\; (x)\; \nabla \; \dot{}\; |\; d\; X\; |\; ⟩\; =\; \int \; V\; \nabla \; \cdot \; F\; (x)\; |\; d\; X\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathsf\; \{L\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; nabla\}\}\; dX;\; x\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\; \}\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; dot\; \{F\}\}\; (x)\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash ,\; dX\; \backslash ,\; I\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; dot\; \{\; F\}\}\; (x)\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash ,\; |\; dX\; |\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; F\; (x)\; \backslash ,\; |\; dX\; |.\; \backslash \; End\; \{выровнено\}\; \}\}$

Подобным образом

$\oint \; \partial \; VL\; (d\; S;\; x)\; =\; \oint \; \partial \; V\; ⟨F\; (x)\; d\; SI\; -\; 1⟩\; =\; \oint \; \partial \; V\; ⟨F\; (x)\; n\; ^\; |\; d\; S\; |\; ⟩\; =\; \oint \; \partial \; V\; F\; (x)\; \cdot \; n\; ^\; |\; d\; S\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{L\}\}\; (dS;\; x)\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \backslash \; langle\; F\; (x)\; \backslash ,\; dS\; \backslash ,\; I\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \backslash \; langle\; F\; (x)\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \backslash ,\; |\; dS\; |\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; F\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \backslash ,\; |\; dS\; |.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Таким образом, мы восстанавливаем теорему о расходимости,

$\int \; V\; \nabla \; \cdot \; F\; (x)\; |\; d\; X\; |\; =\; \oint \; \partial \; V\; F\; (x)\; \cdot \; n\; ^\; |\; d\; S\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; F\; (x)\; \backslash ,\; |\; dX\; |\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; F\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \backslash ,\; |\; dS\; |.\; \}$

Ковариантная производная

Достаточно гладкая $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-поверхность на $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- мерное пространство считается многообразием. К каждой точке на коллекторе мы можем прикрепить $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-blade $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, который касается коллектора. Локально $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$действует как псевдоскаляр $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-мерного пространства. Эта лопасть определяет проекцию векторов на многообразие:

$P\; B\; (A)\; =\; (A\; \cdot \; B\; -\; 1)\; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; (A)\; =\; (A\; \backslash \; cdot\; B\; ^\; \{-\; 1\})\; B.\}$

Так же, как геометрическая производная $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$определяется по всему $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерному пространству, мы можем захотеть определить внутреннюю производную $\partial \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\}$, локально определенные на многообразии:

$\partial \; F\; =\; PB\; (\nabla )\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; F\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; (\backslash \; nabla)\; F.\}$

(Примечание: правая часть приведенного выше не может находиться в касательном пространстве к многообразию. Поэтому, это не то же самое, что $PB\; (\nabla \; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; (\backslash \; nabla\; F)\}$, который обязательно лежит в касательном пространстве.)

Если $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$является вектором, касательным к многообразию, то в действительности и геометрическая производная, и внутренняя производная дают одну и ту же производную по направлению:

$а\; \cdot \; \partial \; F\; =\; а\; \cdot \; \nabla \; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; F\; =\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; F.\}$

Хотя эта операция совершенно верна, она не всегда полезна, потому что $\partial \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; F\}$Сама по себе не обязательно на коллекторе. Следовательно, мы определяем ковариантную производную как принудительную проекцию внутренней производной обратно на многообразие:

$a\; \cdot \; D\; F\; =\; P\; B\; (a\; \cdot \; \partial \; F)\; =\; P\; B\; (a\; \cdot \; P\; B\; (\nabla )\; F).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; cdot\; DF\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; (a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; F)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; (a\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; (\backslash \; nabla)\; F).\}$

Поскольку любой общий многовектор может быть выражен как сумма проекции и отклонения, в этом случае

$a\; \cdot \; \partial \; F\; =\; PB\; (a\; \cdot \; \partial \; F)\; +\; PB\; \perp \; (a\; \cdot \; \partial \; F),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; F\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; (a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; F)\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\; \}\; ^\; \{\backslash \; perp\}\; (a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; F),\}$

мы вводим новую функцию, тензор формы $S\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{S\}\; \}\; (a)\}$, что удовлетворяет

$F\; \times \; S\; (a)\; =\; PB\; \perp \; (a\; \cdot \; \partial \; F),\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathsf\; \{S\}\}\; (a)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; ^\; \{\backslash \; perp\}\; (a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; F),\}$

, где $\times \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; times\}$- коммутаторное изделие. В локальном базисе координат $\{ei\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$, охватывающем касательную поверхность, тензор формы задается как

$S\; (a)\; =\; ei\; \wedge \; PB\; \perp \; (a\; \cdot \; \partial \; ei).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{S\}\}\; (a)\; =\; e\; ^\; \{i\}\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; ^\; \{\backslash \; perp\}\; (a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; e\_\; \{i\}).\}$

Важно отметить, что на общем многообразии ковариантная производная не коммутирует. В частности, коммутатор связан с тензором формы соотношением

$[a\; \cdot \; D,\; b\; \cdot \; D]\; F\; =\; -\; (S\; (a)\; \times \; S\; (b))\; \times \; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; [a\; \backslash \; cdot\; D,\; \backslash ,\; b\; \backslash \; cdot\; D]\; F\; =\; -\; (\{\backslash \; mathsf\; \{S\}\}\; (a)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathsf\; \{S\}\}\; (b))\; \backslash \; times\; F.\}$

Очевидно, что термин $S\; (a)\; \times \; S\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{S\}\}\; (a)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathsf\; \{S\}\}\; (b)\}$имеет интерес. Однако она, как и собственная производная, не обязательно находится на многообразии. Следовательно, мы можем определить тензор Римана как проекцию обратно на многообразие:

$R\; (a\; \wedge \; b)\; =\; -\; P\; B\; (S\; (a)\; \times \; S\; (b)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{R\}\}\; (a\; \backslash \; wedge\; b)\; =\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{B\}\; (\{\backslash \; mathsf\; \{S\}\}\; (a)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathsf\; \{S\}\}\; (\; b)).\}$

Наконец, если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$имеет степень $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, тогда мы можем определить интерьер и внешние ковариантные производные как

$D\; \cdot \; F\; =\; ⟨DF⟩\; r\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; cdot\; F\; =\; \backslash \; langle\; DF\; \backslash \; rangle\; \_\; \{r-1\},\}$

$D\; \wedge \; F\; =\; ⟨DF⟩\; r\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; wedge\; F\; =\; \backslash \; langle\; DF\; \backslash \; rangle\; \_\; \{r\; +\; 1\},\}$

и аналогично для внутренней производной.

Связь с дифференциальной геометрией

На многообразии локально мы можем назначить касательную поверхность, натянутую на набор базисных векторов $\{ei\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\_\; \{i\}\; \backslash \; \}\}$. Мы можем связать компоненты метрического тензора , символов Кристоффеля и тензора кривизны Римана следующим образом:

$gij\; =\; ei\; \cdot \; ej,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\; =\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; e\_\; \{j\},\}$

$\Gamma \; ijk\; =\; (ei\; \cdot \; D\; ej)\; \cdot \; ek,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{k\}\; =\; (e\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; De\_\; \{j\})\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{k\},\}$

$R\; ijkl\; =\; (R\; (ei\; \wedge \; ej)\; \cdot \; ek)\; \cdot \; el.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{ijkl\}\; =\; (\{\backslash \; mathsf\; \{R\}\}\; (e\_\; \{i\}\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{j\})\; \backslash \; cdot\; e\_\; \{k\})\; \backslash \; cdot\; e\_\; \{l\}.\}$

Эти отношения включают теория дифференциальной геометрии в рамках геометрического исчисления.

Связь с дифференциальными формами

В локальной системе координат ($x\; 1,\dots ,\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\; ^\; \{n\}\}$), разности координат $dx\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; ^\; \{1\}\}$,..., $dxn\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; ^\; \{n\}\}$образуют базовый набор однокомпонентных форм в пределах координатной диаграммы. Учитывая мультииндекс $I\; =\; (i\; 1,\dots ,\; ik)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; (i\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; i\_\; \{k\})\}$с $1\; \le \; ip\; \le \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; i\_\; \{p\}\; \backslash \; leq\; n\}$для $1\; \le \; p\; \le \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; p\; \backslash \; leq\; k\}$, мы можем определить $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-form

$\omega \; =\; f\; I\; dx\; I\; =\; fi\; 1\; i\; 2\; \cdots \; ikdxi\; 1\; \wedge \; dxi\; 2\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; dxik.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; f\_\; \{I\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{I\}\; =\; f\_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; i\_\; \{k\}\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; wedge\; dx\; ^\; \{\; i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; dx\; ^\; \{i\_\; \{k\}\}.\}$

В качестве альтернативы мы можем ввести многовектор $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-го уровня $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$as

$A\; =\; fi\; 1\; i\; 2\; \cdots \; ikei\; 1\; \wedge \; ei\; 2\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; eik\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; f\_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; i\_\; \{k\}\}\; e\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; wedge\; e\; ^\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; e\; ^\; \{i\_\; \{k\}\}\}$

и мера

$dk\; X\; =\; (\; dxi\; 1\; ei\; 1)\; \wedge \; (dxi\; 2\; ei\; 2)\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; (dxikeik)\; =\; (ei\; 1\; \wedge \; ei\; 2\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; eik)\; dxi\; 1\; dxi\; 2\; \cdots \; dxik.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; d\; ^\; \{k\}\; X\; =\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; e\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{i\_\; \{2\}\}\; e\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{i\_\; \{k\}\}\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (e\_\; \{i\_\; \{1\}\; \}\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; dx\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; dx\; ^\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; dx\; ^\; \{i\_\; \{k\; \}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

За исключением небольшого различия в значении внешнего продукта по отношению к дифференциальным формам и внешнего продукта по отношению к векторам (в первом случае приращения являются ковекторами, тогда как во втором они представляют собой скаляры), мы видим соответствия дифференциальной формы

$\omega \; \cong \; A\; †\; \cdot \; dk\; X\; =\; A\; \cdot \; (dk\; X)\; †,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; cong\; A\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; cdot\; d\; ^\; \{\; k\}\; X\; =\; A\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (d\; ^\; \{k\}\; X\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\}$

его производная

$d\; \omega \; \cong \; (D\; \wedge \; A)\; †\; \cdot \; dk\; +\; 1\; X\; =\; (\; D\; \wedge \; A)\; \cdot \; (dk\; +\; 1\; Икс)\; †,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; omega\; \backslash \; cong\; (D\; \backslash \; wedge\; A)\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; cdot\; d\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; X\; =\; (D\; \backslash \; wedge\; A)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (d\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; X\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\}$

и его двойственный по Ходжу

$\star \; \omega \; \cong \; (I\; -\; 1\; A)\; †\; \cdot \; dk\; X,\; \{\; \backslash \; disp\; laystyle\; \backslash \; star\; \backslash \; omega\; \backslash \; cong\; (I\; ^\; \{-\; 1\}\; A)\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; cdot\; d\; ^\; \{k\}\; X,\}$

включает теорию дифференциальных форм в геометрическое исчисление.

История

Ниже приводится диаграмма, обобщающая историю геометрического исчисления.

История геометрического исчисления.

Ссылки и дополнительная литература

• Macdonald, Alan (2012). Векторное и геометрическое исчисление. Чарльстон: CreateSpace. ISBN 9781480132450. OCLC 829395829.