Банах исправлено- теорема о точке

редактировать

В математике используется теорема Банаха – Каччопполи о фиксированной точке ( также известная как теорема о сжимающем отображении или теорема о сжимающем отображении ), является важным инструментом в теории метрических пространств ; он гарантирует существование и уникальность неподвижных точек некоторых самокопий метрических пространств и предоставляет конструктивный метод для поиска этих неподвижных точек. Его можно понимать как абстрактную формулировку метода последовательных приближений Пикара. Теорема названа в честь Стефана Банаха (1892–1945) и Ренато Каччопполи (1904–1959) и была впервые сформулирована Банахом в 1922 году. Каччопполи независимо доказал теорему в 1931 году.

Содержание

  • 1 Заявление
  • 2 Доказательство
  • 3 Приложения
  • 4 Конвертирует
  • 5 Обобщений
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки

Заявление

Определение. Пусть (X, d) - полное метрическое пространство. Тогда отображение T: X → X называется сжимающим отображением на X, если существует q ∈ [0, 1) такое, что

d (T (x), T (y)) ≤ qd (x, y) {\ displaystyle d (T (x), T (y)) \ leq qd (x, y)}d (T (x), T (y)) \ leq qd (x, y)

для всех x, y в X.

Теорема Банаха о неподвижной точке. Пусть (X, d) - непустое полное метрическое пространство со сжимающим отображением T: X → X. Тогда T допускает единственную неподвижную точку x * в X (т.е. T (x *) = x *). Кроме того, x * можно найти следующим образом: начать с произвольного элемента x 0 в X и определить последовательность {xn} с помощью x n = T (x n − 1) для n ≥ 1. Тогда x n → x *.

Замечание 1. Следующие неравенства эквивалентны и описывают скорость сходимости :

d (x ∗, xn) ≤ qn 1 - qd (x 1, x 0), d (x ∗, xn + 1) ≤ q 1 - qd (xn + 1, xn), d (x ∗, xn + 1).) ≤ qd (x ∗, xn). {\ displaystyle {\ begin {align} d (x ^ {*}, x_ {n}) \ leq {\ frac {q ^ {n}} {1-q}} d (x_ {1}, x_ { 0}), \\ d (x ^ {*}, x_ {n + 1}) \ leq {\ frac {q} {1-q}} d (x_ {n + 1}, x_ {n}), \\ d (x ^ {*}, x_ {n + 1}) \ leq qd (x ^ {*}, x_ {n}). \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} d (x ^ {*}, x_ {n}) \ leq {\ frac {q ^ {n}} {1-q}} d (x_ {1}, x_ {0}), \\ d (x ^ {*}, x_ {n + 1}) \ leq {\ frac {q} {1-q}} d (x_ {n + 1}, x_ {n}), \\ d (x ^ {*}, x_ {n + 1}) \ leq qd (x ^ {*}, x_ {n}). \ end {align}}}

Любое такое значение q называется константой Липшица для T, а наименьшая из них иногда называется «лучшей константой Липшица» для T.

Замечание 2. d (T (x), T (y)) < d(x, y) for all x ≠ y is in general not enough to ensure the existence of a fixed point, as is shown by the map T : [1, ∞) → [1, ∞), T(x) = x + 1/x, which lacks a fixed point. However, if X is compact, то из этого более слабого предположения действительно следует существование и единственность неподвижной точки, которую можно легко найти как минимизатор d (x, T (x)), действительно, минимизатор существует благодаря компактности, и должна быть фиксированной точкой T. Из этого легко следует, что фиксированная точка является пределом любой последовательности итераций T.

Замечание 3. При использовании теоремы на практике наиболее трудная часть обычно правильно определить X так, чтобы T (X) ⊆ X.

Доказательство

Пусть x 0 ∈ X произвольно и определяет последовательность {x n }, задав x n = T (x n-1). Прежде всего отметим, что для всех n ∈ N выполняется неравенство

d (x n + 1, x n) ≤ q n d (x 1, x 0). {\ displaystyle d (x_ {n + 1}, x_ {n}) \ leq q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}).}{\ displaystyle d ( x_ {n + 1}, x_ {n}) \ leq q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}).}

Далее следует индукция на n, используя тот факт, что T - сжимающее отображение. Затем мы можем показать, что {x n } является последовательностью Коши. В частности, пусть m, n ∈ N такие, что m>n:

d (xm, xn) ≤ d (xm, xm - 1) + d (xm - 1, xm - 2) + ⋯ + d (xn + 1, xn) ≤ qm - 1 d (x 1, x 0) + qm - 2 d (x 1, x 0) + ⋯ + qnd (x 1, x 0) = qnd (x 1, x 0) k = 0 m - n - 1 qk ≤ qnd (x 1, x 0) ∑ k = 0 ∞ qk = qnd (x 1, x 0) (1 1 - q). {\ displaystyle {\ begin {align} d (x_ {m}, x_ {n}) \ leq d (x_ {m}, x_ {m-1}) + d (x_ {m-1}, x_ { m-2}) + \ cdots + d (x_ {n + 1}, x_ {n}) \\ \ leq q ^ {m-1} d (x_ {1}, x_ {0}) + q ^ {m-2} d (x_ {1}, x_ {0}) + \ cdots + q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \\ = q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ sum _ {k = 0} ^ {mn-1} q ^ {k} \\ \ leq q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} q ^ {k} \\ = q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ left ({\ frac {1} {1 -q}} \ right). \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} d (x_ {m}, x_ {n}) \ leq d (x_ {m}, x_ {m-1}) + d (x_ {m-1}, x_ {m-2}) + \ cdots + d (x_ {n + 1}, x_ {n}) \ \ \ leq q ^ {m-1} d (x_ {1}, x_ {0}) + q ^ {m-2} d (x_ {1}, x_ {0}) + \ cdots + q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \\ = q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ sum _ { k = 0} ^ {mn-1} q ^ {k} \\ \ leq q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} q ^ {k} \\ = q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ left ({\ frac {1} {1-q}} \ right). \ end {выравнивается} }}

Пусть ε>0 произвольно, так как q ∈ [0, 1), мы можем найти большое N ∈ N, так что

q N < ε ( 1 − q) d ( x 1, x 0). {\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}q ^ {N} <{\ frac {\ varepsilon (1-q)} {d (x_ {1}, x_ {0})}}.

Следовательно, выбирая m и n больше N, мы можем написать:

d (xm, xn) ≤ qnd (x 1, x 0) (1 1 - q) < ( ε ( 1 − q) d ( x 1, x 0)) d ( x 1, x 0) ( 1 1 − q) = ε. {\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon.}d (x_ {m}, x_ {n})) \ leq q ^ {n} d (x_ {1}, x_ {0}) \ left ({\ frac {1} {1-q}} \ right) <\ left ({\ frac {\ varepsilon (1 -q)} {d (x_ {1}, x_ {0})}} \ right) d (x_ {1}, x_ {0}) \ left ({\ frac {1} {1-q}} \ справа) = \ varepsilon.

Это доказывает, что последовательность {x n } является Коши. В силу полноты (X, d) последовательность имеет предел x * ∈ X. Кроме того, x * должна быть неподвижной точкой на T:

x ∗ = lim n → ∞ xn = lim n → ∞ T (xn - 1) = T (lim n → ∞ xn - 1) = T (x ∗). {\ displaystyle x ^ {*} = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} T (x_ {n-1}) = T \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n-1} \ right) = T (x ^ {*}).}{\ displaystyle x ^ {*} = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} T (x_ {n-1}) = T \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n-1} \ right) = T ( x ^ {*}).}

В качестве сжимающего отображения T является непрерывным, поэтому введение предела внутри T было оправдано. Наконец, T не может иметь более одной фиксированной точки в (X, d), поскольку любая пара различных фиксированных точек p 1 и p 2 будет противоречить сокращению T:

d (T (p 1), T (p 2)) = d (p 1, p 2)>​​qd (p 1, p 2). {\ displaystyle d (T (p_ {1}), T (p_ {2})) = d (p_ {1}, p_ {2})>qd (p_ {1}, p_ {2}).}{\displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd (p_ {1}, p_ {2}).}

Приложения

  • Стандартное приложение - это доказательство теоремы Пикара – Линделёфа о существовании и единственности решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомое решение дифференциального уравнения выражается в виде неподвижной точки подходящего интегрального оператора, который преобразует непрерывные функции в непрерывные функции. Затем используется теорема Банаха о неподвижной точке, чтобы показать, что этот интегральный оператор имеет единственную неподвижную точку.
  • Одним из следствий теоремы Банаха о неподвижной точке является то, что малые липшицевы возмущения тождества являются бипшицевыми гомеоморфизмами. Пусть Ω - открытое множество банахова пространства E; пусть I : Ω → E - тождественное отображение (включение), а g: Ω → E - липшицево отображение. p константы k < 1. Then
  1. Ω ′: = (I + g) (Ω) - открытое подмножество E: в точности, для любого x из Ω такого, что B (x, r) ⊂ Ω, B ((I + g) (x), r (1 − k)) ⊂ Ω ′;
  2. I + g: Ω → Ω ′ является бипшицевым гомеоморфизмом;
именно, (I + g) все еще остается вида I + h: Ω → Ω ′ с h-липшицевым отображением константы k / (1 − k). Прямым следствием этого результата является доказательство теоремы об обратной функции.
  • . Его можно использовать для получения достаточных условий, при которых метод последовательных приближений Ньютона гарантированно работает, и аналогично для метода третьего порядка Чебышева.
  • Его можно использовать для доказательства существования и единственности решений интегральных уравнений.
  • Его можно использовать для доказательства теоремы вложения Нэша.
  • Его можно использовать для доказательства существование и уникальность решений для оценки итераций, итераций политики и оценки политики обучения с подкреплением.
  • Его можно использовать для доказательства существования и уникальности равновесия в конкуренции Курно и других динамических экономических модели.

Конвертирует

Существует несколько обращений принципа сжатия Банаха. Следующее связано с 1959:

Пусть f: X → X будет отображением абстрактного множества, так что каждая итерация f имеет уникальную фиксированную точку. Пусть q ∈ (0, 1), тогда существует полная метрика на X такая, что f сжимающая, а q - сжимающая константа.

Действительно, очень слабых предположений достаточно, чтобы получить такое обратное. Например, если f: X → X - это отображение на T1топологическом пространстве с единственной фиксированной точкой a, такое, что для каждого x в X мы имеем f (x) → a, то на X уже существует метрика, относительно которой f удовлетворяет условиям банахова принципа сжатия с константой сжатия 1/2. В этом случае метрика на самом деле является ультраметрикой.

Обобщения

Существует ряд обобщений (некоторые из которых являются непосредственными следствиями ).

Пусть T: X → X - отображение на полное непустое метрическое пространство. Тогда, например, некоторые обобщения теоремы Банаха о неподвижной точке:

  • Предположим, что некоторая итерация T из T является сжатием. Тогда T имеет единственную неподвижную точку.
  • Предположим, что для каждого n существует c n такое, что d (T (x), T (y)) ≤ c n d (x, y) для все x и y, и что
∑ ncn < ∞. {\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty.}{\ displaystyle \ sum \ nolimits _ {n} c_ {n} <\ infty.}
Тогда T имеет единственную неподвижную точку.

В приложениях существование и единственность неподвижной точки часто можно показать непосредственно с помощью стандартной теоремы Банаха о неподвижной точке, подходящим выбором метрики, которая делает отображение T сжатием. Действительно, приведенный выше результат Бессага настоятельно рекомендует искать такую ​​метрику. См. также статью о теоремах о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах для обобщений.

Другой класс g Обобщения возникают из подходящих обобщений понятия метрического пространства, например ослабляя определяющие аксиомы для понятия метрики. Некоторые из них имеют приложения, например, в теории семантики программирования в теоретической информатике.

См. Также

Примечания

  1. ^Киндерлерер, Дэвид ; Stampacchia, Guido (1980). «Вариационные неравенства в R". Введение в вариационные неравенства и их приложения. Нью-Йорк: Academic Press. Стр. 7–22. ISBN 0-12-407350-6.
  2. ^Banach, Stefan (1922). «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales» (PDF). Fundamenta Mathematicae. 3: 133–181. doi : 10.4064 / fm-3-1-133-181.
  3. ^Цесельски, Кшиштоф (2007). «О Стефане Банахе и некоторых его результатах» (PDF). Banach J. Math. Anal. 1 (1): 1–10. doi : 10.15352 / bjma / 1240321550.
  4. ^"Renato Caccioppoli Bibliografy". Проверено 23 мая 2020 г.
  5. ^Günther, Matthias (1989). "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [О теореме вложения Дж. Нэша]. Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 144 : 165–187. doi : 10.1002 / mana.19891440113. MR 1037168.
  6. ^Льюис, Франк Л.; Враби, Драгуна; Сирмос, Василис Л. ( 2012). «Обучение с подкреплением и оптимальное адаптивное управление». Оптимальный контроль. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 461–517 [p. 474]. ISBN 978-1-118-12272-3.
  7. ^Лонг, Нго Ван; Субейран, Антуан (2000). «Существование и уникальность равновесия Курно: подход сопоставления сжатия» (PDF). Economics Letters. 67(3): 345–348. doi : 10.1016 / S0165-1765 (00) 00211-1.
  8. ^Stokey, Nancy L.; Лукас, Роберт Э. мл. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 508–516. ISBN 0-674-75096-9.
  9. ^Хитцлер, Паскаль ; Седа, Энтони К. (2001). "Обратное" теоремы Банаха о сжатии отображений ". Журнал электротехники. 52 (10 / с): 3–6.
  10. ^Латиф, Абдул (2014). «Принцип банахового сжатия и его обобщения». Темы теории неподвижной точки. Springer. С. 33–64. DOI : 10.1007 / 978-3-319-01586-6_2. ISBN 978-3-319-01585-9.
  11. ^Хитцлер, Паскаль ; Седа, Энтони (2010). Математические аспекты семантики логического программирования. Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1-4398-2961-5.
  12. ^Seda, Anthony K.; Хитцлер, Паскаль (2010). «Обобщенные функции расстояния в теории вычислений». Компьютерный журнал. 53 (4): 443–464. doi : 10.1093 / comjnl / bxm108.

Ссылки

  • Agarwal, Praveen; Джлели, Мохамед; Самет, Бессем (2018). «Принцип банахового сжатия и его приложения». Теория неподвижной точки в метрических пространствах. Сингапур: Спрингер. С. 1–23. DOI : 10.1007 / 978-981-13-2913-5_1. ISBN 978-981-13-2912-8.
  • Чикон, Кармен (2006). «Сокращение». Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 121–135. ISBN 0-387-30769-9.
  • Гранас, Анджей; Дугунджи, Джеймс (2003). Теория неподвижной точки. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
  • Истрэшеску, Василий И. (1981). Теория неподвижной точки: введение. Нидерланды: Д. Рейдел. ISBN 90-277-1224-7.См. Главу 7.
  • Кирк, Уильям А.; Хамси, Мохамед А. (2001). Введение в метрические пространства и теорию неподвижной точки. Нью-Йорк: Джон Вили. ISBN 0-471-41825-0.

Эта статья включает материал из теоремы Банаха о фиксированной точке из PlanetMath, который распространяется под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

Последняя правка сделана 2021-05-11 09:05:57
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте