Формула Фаа ди Бруно

редактировать

Формула Фаа ди Бруно - это тождество в математике, обобщающее цепное правило на высшие производные. Он назван в честь Франческо Фаа ди Бруно  ( 1855, 1857), хотя он не был первым, кто сформулировал или доказал эту формулу. В 1800 году, более чем за 50 лет до Фа ди Бруно, французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст сформулировал формулу в учебнике по математическому анализу, который считается первым опубликованным справочником по этому вопросу.

Возможно, самая известная форма формулы Фаа ди Бруно гласит:

d п d Икс п ж ( грамм ( Икс ) ) знак равно п ! м 1 ! 1 ! м 1 м 2 ! 2 ! м 2 м п ! п ! м п ж ( м 1 + + м п ) ( грамм ( Икс ) ) j знак равно 1 п ( грамм ( j ) ( Икс ) ) м j , {\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum {\ frac {n!} {m_ {1}! \, 1! ^ {m_ {1} } \, m_ {2}! \, 2! ^ {m_ {2}} \, \ cdots \, m_ {n}! \, n! ^ {m_ {n}}}} \ cdot f ^ {(m_ {1} + \ cdots + m_ {n})} (g (x)) \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left (g ^ {(j)} (x) \ right) ^ {m_ {j}},}

где сумма ведется по всем n - наборам неотрицательных целых чисел ( m 1,..., m n), удовлетворяющих ограничению

1 м 1 + 2 м 2 + 3 м 3 + + п м п знак равно п . {\ displaystyle 1 \ cdot m_ {1} +2 \ cdot m_ {2} +3 \ cdot m_ {3} + \ cdots + n \ cdot m_ {n} = n.}

Иногда, чтобы придать ему запоминающийся узор, он написан таким образом, что коэффициенты, которые имеют комбинаторную интерпретацию, обсуждаемую ниже, менее явны:

d п d Икс п ж ( грамм ( Икс ) ) знак равно п ! м 1 ! м 2 ! м п ! ж ( м 1 + + м п ) ( грамм ( Икс ) ) j знак равно 1 п ( грамм ( j ) ( Икс ) j ! ) м j . {\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \, m_ {n}!}} \ cdot f ^ {(m_ {1} + \ cdots + m_ {n})} (g (x)) \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {g ^ {(j)} (x)} {j!}} \ right) ^ {m_ {j}}.}

Комбинируя члены с одинаковым значением m 1  +  m 2  +... +  m n  =  k и замечая, что m j должен быть равен нулю для j  gt;  n  -  k  + 1, мы получаем несколько более простую формулу, выражаемую в терминах Белла многочлены B n, k ( x 1,..., x n - k +1):

d п d Икс п ж ( грамм ( Икс ) ) знак равно k знак равно 1 п ж ( k ) ( грамм ( Икс ) ) B п , k ( грамм ( Икс ) , грамм ( Икс ) , , грамм ( п - k + 1 ) ( Икс ) ) . {\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) \ cdot B_ {n, k} \ left (g '(x), g' '(x), \ dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) \ right).}

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Комбинаторная форма
  • 2 Пример
  • 3 Комбинаторика коэффициентов Фаа ди Бруно
  • 4 вариации
    • 4.1 Многовариантная версия
    • 4.2 Формальная версия серии power
    • 4.3 Особый случай
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
    • 6.1 Исторические обзоры и очерки
    • 6.2 Научно-исследовательские работы
  • 7 Внешние ссылки

Комбинаторная форма

Формула имеет «комбинаторный» вид:

d п d Икс п ж ( грамм ( Икс ) ) знак равно ( ж грамм ) ( п ) ( Икс ) знак равно π Π ж ( | π | ) ( грамм ( Икс ) ) B π грамм ( | B | ) ( Икс ) {\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = (f \ circ g) ^ {(n)} (x) = \ sum _ {\ pi \ in \ Pi} f ^ {(\ left | \ pi \ right |)} (g (x)) \ cdot \ prod _ {B \ in \ pi} g ^ {(\ left | B \ right |)} (x) }

куда

  • π пробегает множество Π всех разбиений множества {1,..., n },
  • « B ∈ π » означает, что переменная B пробегает список всех «блоков» разбиения π, и
  • | А | обозначает мощность множества A (так что | π | - количество блоков в разбиении π, а | B | - размер блока B).

Пример

Ниже приводится конкретное объяснение комбинаторной формы для случая n = 4.

( ж грамм ) ( Икс ) знак равно ж ( грамм ( Икс ) ) грамм ( Икс ) 4 + 6 ж ( грамм ( Икс ) ) грамм ( Икс ) грамм ( Икс ) 2 + 3 ж ( грамм ( Икс ) ) грамм ( Икс ) 2 + 4 ж ( грамм ( Икс ) ) грамм ( Икс ) грамм ( Икс ) + ж ( грамм ( Икс ) ) грамм ( Икс ) . {\ displaystyle {\ begin {align} (f \ circ g) '' '' (x) = {} amp; f '' '' (g (x)) g '(x) ^ {4} + 6f' '' (g (x)) g '' (x) g '(x) ^ {2} \\ [8pt] amp; {} + \; 3f' '(g (x)) g' '(x) ^ {2 } + 4f '' (g (x)) g '' '(x) g' (x) \\ [8pt] amp; {} + \; f '(g (x)) g' '' '(x). \ end {выровнено}}}

Шаблон такой:

грамм ( Икс ) 4 1 + 1 + 1 + 1 ж ( грамм ( Икс ) ) 1 грамм ( Икс ) грамм ( Икс ) 2 2 + 1 + 1 ж ( грамм ( Икс ) ) 6 грамм ( Икс ) 2 2 + 2 ж ( грамм ( Икс ) ) 3 грамм ( Икс ) грамм ( Икс ) 3 + 1 ж ( грамм ( Икс ) ) 4 грамм ( Икс ) 4 ж ( грамм ( Икс ) ) 1 {\ displaystyle {\ begin {array} {cccccc} g '(x) ^ {4} amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 1 + 1 + 1 + 1 amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; f' '' '(g (x)) amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 1 \\ [12pt] g '' (x) g '(x) ^ {2} amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 2 + 1 + 1 amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; f' '' (g (x)) amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 6 \\ [12pt] g '' (x) ^ {2} amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 2 + 2 amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; f '' (g (x)) amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 3 \\ [12pt] g '' '(x) g' (x) amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 3 + 1 amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; f '' (g (x)) amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 4 \\ [12pt] g '' '' (x) amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 4 amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; f '(g (x)) amp;amp; \ leftrightarrow amp;amp; 1 \ end { множество}}}

Фактор очевидным образом соответствует разделению 2 + 1 + 1 целого числа 4. Фактор, который связан с ним, соответствует тому факту, что в этом разбиении есть три слагаемых. Коэффициент 6, связанный с этими факторами, соответствует тому факту, что есть ровно шесть разделов набора из четырех элементов, которые разбивают его на одну часть размера 2 и две части размера 1. грамм ( Икс ) грамм ( Икс ) 2 {\ Displaystyle г '' (х) г '(х) ^ {2}} ж ( грамм ( Икс ) ) {\ Displaystyle f '' '(г (х))}

Точно так же множитель в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 целого числа 4 (4, потому что мы находим четвертую производную), а соответствует тому факту, что в этом разбиении есть два слагаемых (2 + 2). Коэффициент 3 соответствует тому факту, что есть способы разбить 4 объекта на группы по 2. То же самое относится и к остальным. грамм ( Икс ) 2 {\ displaystyle g '' (х) ^ {2}} ж ( грамм ( Икс ) ) {\ Displaystyle F '' (г (х))} 1 2 ( 4 2 ) знак равно 3 {\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ tbinom {4} {2}} = 3}

Запоминающаяся схема выглядит следующим образом:

D 1 ( ж грамм ) 1 ! знак равно ( ж ( 1 ) грамм ) грамм ( 1 ) 1 ! 1 ! D 2 ( ж грамм ) 2 ! знак равно ( ж ( 1 ) грамм ) грамм ( 2 ) 2 ! 1 ! + ( ж ( 2 ) грамм ) грамм ( 1 ) 1 ! грамм ( 1 ) 1 ! 2 ! D 3 ( ж грамм ) 3 ! знак равно ( ж ( 1 ) грамм ) грамм ( 3 ) 3 ! 1 ! + ( ж ( 2 ) грамм ) грамм ( 1 ) 1 ! 1 ! грамм ( 2 ) 2 ! 1 ! + ( ж ( 3 ) грамм ) грамм ( 1 ) 1 ! грамм ( 1 ) 1 ! грамм ( 1 ) 1 ! 3 ! D 4 ( ж грамм ) 4 ! знак равно ( ж ( 1 ) грамм ) грамм ( 4 ) 4 ! 1 ! + ( ж ( 2 ) грамм ) ( грамм ( 1 ) 1 ! 1 ! грамм ( 3 ) 3 ! 1 ! + грамм ( 2 ) 2 ! грамм ( 2 ) 2 ! 2 ! ) + ( ж ( 3 ) грамм ) грамм ( 1 ) 1 ! грамм ( 1 ) 1 ! 2 ! грамм ( 2 ) 2 ! 1 ! + ( ж ( 4 ) грамм ) грамм ( 1 ) 1 ! грамм ( 1 ) 1 ! грамм ( 1 ) 1 ! грамм ( 1 ) 1 ! 4 ! {\ displaystyle {\ begin {align} amp; {\ frac {D ^ {1} (f \ circ {} g)} {1!}} amp; = \ left (f ^ {(1)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {1!}} \\ [8pt] amp; {\ frac {D ^ {2} (f \ circ g)} {2!}} amp; = \ Left (f ^ {(1)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} amp; {} + \ left (f ^ {(2)} \ circ {} g \ right) {\ frac {{\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ frac {g ^ { (1)}} {1!}}} {2!}} \\ [8pt] amp; {\ frac {D ^ {3} (f \ circ g)} {3!}} amp; = \ Left (f ^ {(1)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ {(3)}} {3!}} {1!}} amp; {} + \ Left (f ^ {(2)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {1!}} {\ frac {\ frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} amp; {} + \ Left (f ^ {(3)} \ circ {} g \ right) {\ frac {{\ frac {g ^ {(1)}} {1 !}} {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}}} {3!}} \\ [8pt] amp; { \ frac {D ^ {4} (f \ circ g)} {4!}} amp; = \ left (f ^ {(1)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ { (4)}} {4!}} {1!}} amp; {} + \ Left (f ^ {(2)} \ circ {} g \ right) \ left ({\ frac {\ frac {g ^ { (1)}} {1!}} {1!}} {\ Frac {\ frac {g ^ {(3)}} {3!}} {1!}} + {\ Frac {{\ frac {g ^ {(2)}} {2!}} {\ Frac {g ^ {(2)}} {2!}}} {2!}} \ Right) amp; {} + \ left (f ^ {(3)} \ circ {} g \ right) {\ frac {{\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}}} { 2!}} {\ Frac {\ frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} amp; {} + \ left (f ^ {(4)} \ circ {} g \ right) {\ frac {{\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ Frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ Frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ Frac { g ^ {(1)}} {1!}}} {4!}} \ end {выровнено}}}

Комбинаторика коэффициентов Фаа ди Бруно

Эти подсчитывающие разбиения коэффициенты Фаа ди Бруно имеют выражение в "замкнутой форме". Количество разделов набора размера n, соответствующих целочисленному разделу

п знак равно 1 + + 1 м 1 + 2 + + 2 м 2 + 3 + + 3 м 3 + {\ displaystyle \ displaystyle n = \ underbrace {1+ \ cdots +1} _ {m_ {1}} \, + \, \ underbrace {2+ \ cdots +2} _ {m_ {2}} \, + \, \ underbrace {3+ \ cdots +3} _ {m_ {3}} + \ cdots}

целого числа n равно

п ! м 1 ! м 2 ! м 3 ! 1 ! м 1 2 ! м 2 3 ! м 3 . {\ displaystyle {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, m_ {3}! \, \ cdots 1! ^ {m_ {1}} \, 2! ^ {m_ {2}} \, 3! ^ {M_ {3}} \, \ cdots}}.}

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла, которые имеют отношение к изучению кумулянтов.

Вариации

Многовариантная версия

Пусть y = g ( x 1,..., x n). Тогда следующая идентичность сохраняется независимо от того, являются ли все n переменных различными, или все идентичны, или разделены на несколько различимых классов неотличимых переменных (если это кажется непрозрачным, см. Очень конкретный пример ниже):

п Икс 1 Икс п ж ( у ) знак равно π Π ж ( | π | ) ( у ) B π | B | у j B Икс j {\ displaystyle {\ partial ^ {n} \ over \ partial x_ {1} \ cdots \ partial x_ {n}} f (y) = \ sum _ {\ pi \ in \ Pi} f ^ {(\ left | \ pi \ right |)} (y) \ cdot \ prod _ {B \ in \ pi} {\ partial ^ {\ left | B \ right |} y \ over \ prod _ {j \ in B} \ partial x_ {j}}}

где (как указано выше)

  • π пробегает множество Π всех разбиений множества {1,..., n },
  • « B ∈ π » означает, что переменная B пробегает список всех «блоков» разбиения π, и
  • | А | обозначает мощность множества A (так что | π | - количество блоков в разбиении π, а | B | - размер блока B).

Более общие версии верны для случаев, когда все функции векторны и даже банаховозначны. В этом случае необходимо рассматривать производную Фреше или производную Гато.

Пример

Пять членов в следующем выражении очевидным образом соответствуют пяти разбиениям множества {1, 2, 3}, и в каждом случае порядок производной f - это количество частей в разбиении:

3 Икс 1 Икс 2 Икс 3 ж ( у ) знак равно ж ( у ) 3 у Икс 1 Икс 2 Икс 3 + ж ( у ) ( у Икс 1 2 у Икс 2 Икс 3 + у Икс 2 2 у Икс 1 Икс 3 + у Икс 3 2 у Икс 1 Икс 2 ) + ж ( у ) у Икс 1 у Икс 2 у Икс 3 . {\ displaystyle {\ begin {align} {\ partial ^ {3} \ over \ partial x_ {1} \, \ partial x_ {2} \, \ partial x_ {3}} f (y) = {} amp; f ' (y) {\ partial ^ {3} y \ over \ partial x_ {1} \, \ partial x_ {2} \, \ partial x_ {3}} \\ [10pt] amp; {} + f '' (y) \ left ({\ partial y \ over \ partial x_ {1}} \ cdot {\ partial ^ {2} y \ over \ partial x_ {2} \, \ partial x_ {3}} + {\ partial y \ over \ partial x_ {2}} \ cdot {\ partial ^ {2} y \ over \ partial x_ {1} \, \ partial x_ {3}} + {\ partial y \ over \ partial x_ {3}} \ cdot {\ partial ^ {2} y \ over \ partial x_ {1} \, \ partial x_ {2}} \ right) \\ [10pt] amp; {} + f '' '(y) {\ partial y \ over \ partial x_ {1}} \ cdot {\ partial y \ over \ partial x_ {2}} \ cdot {\ partial y \ over \ partial x_ {3}}. \ end {align}}}

Если три переменные неотличимы друг от друга, то три из пяти указанных выше терминов также неотличимы друг от друга, и тогда у нас есть классическая формула с одной переменной.

Формальная версия серии power

Предположим, что и являются формальными степенными рядами и. ж ( Икс ) знак равно п знак равно 0 а п Икс п {\ Displaystyle е (х) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} {а_ {п}} х ^ {п}} грамм ( Икс ) знак равно п знак равно 0 б п Икс п {\ displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {b_ {n}} x ^ {n}} б 0 знак равно 0 {\ displaystyle b_ {0} = 0}

Тогда композиция снова является формальным степенным рядом, ж грамм {\ displaystyle f \ circ g}

ж ( грамм ( Икс ) ) знак равно п знак равно 0 c п Икс п , {\ Displaystyle е (г (х)) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} {с_ {п}} х ^ {п},}

где C 0 = 0, а другой коэффициент с п для п ≥ 1 может быть выражен в виде суммы по композициям из п или в виде эквивалентной суммы по разделам из п:

c п знак равно я C п а k б я 1 б я 2 б я k , {\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {\ mathbf {i} \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{n}} a_ {k} b_ {i_ {1}} b_ {i_ {2}} \ cdots b_ {i_ {k}},}

куда

C п знак равно { ( я 1 , я 2 , , я k ) :   1 k п ,   я 1 + я 2 + + я k знак равно п } {\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{n} = \ {(i_ {1}, i_ {2}, \ dots, i_ {k}) \,: \ 1 \ leq k \ leq n, \ i_ {1} + i_ {2} + \ cdots + i_ {k} = n \}}

набор композиций из n, где k обозначает количество частей,

или

c п знак равно k знак равно 1 п а k π п п , k ( k π 1 , π 2 , . . . , π п ) б 1 π 1 б 2 π 2 б п π п , {\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ sum _ {\ mathbf {\ pi} \ in {\ mathcal {P}} _ {n, k}} {\ binom {k} {\ pi _ {1}, \ pi _ {2},..., \ pi _ {n}}} b_ {1} ^ {\ pi _ {1}} b_ {2} ^ {\ pi _ {2}} \ cdots b_ {n} ^ {\ pi _ {n}},}

куда

п п , k знак равно { ( π 1 , π 2 , , π п ) :   π 1 + π 2 + + π п знак равно k ,   π 1 1 + π 2 2 + + π п п знак равно п } {\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {n, k} = \ {(\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ dots, \ pi _ {n}) \,: \ \ pi _ {1} + \ pi _ {2} + \ cdots + \ pi _ {n} = k, \ \ pi _ {1} \ cdot 1+ \ pi _ {2} \ cdot 2+ \ cdots + \ pi _ {n} \ cdot n = n \}}

представляет собой набор разбиений n на k частей в форме частоты частей.

Первая форма получаются, выбирая коэффициент х п в «осмотр», а вторая форма затем получаются путем сбора подобных терминов, или в качестве альтернативы, пути применения полиномиальной теоремы. ( б 1 Икс + б 2 Икс 2 + ) k {\ displaystyle (b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + \ cdots) ^ {k}}

Частный случай f ( x) = e x, g ( x) = Σ n ≥ 1 a n / n ! x n дает экспоненциальную формулу. Частный случай f ( x) = 1 / (1 -  x), g ( x) = Σ n ≥ 1 (- a n) x n дает выражение для обратной величины формального степенного ряда Σ n ≥ 0 a n x n в случае a 0 = 1.

Стэнли дает версию экспоненциального степенного ряда. В формальном степенном ряду

ж ( Икс ) знак равно п а п п ! Икс п , {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n} {\ frac {a_ {n}} {n!}} x ^ {n},}

у нас есть n- я производная в 0:

ж ( п ) ( 0 ) знак равно а п . {\ displaystyle f ^ {(n)} (0) = a_ {n}.}

Это не следует рассматривать как значение функции, поскольку эти ряды являются чисто формальными; в этом контексте нет таких понятий, как конвергенция или расхождение.

Если

грамм ( Икс ) знак равно п знак равно 0 б п п ! Икс п {\ displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {b_ {n}} {n!}} x ^ {n}}

а также

ж ( Икс ) знак равно п знак равно 1 а п п ! Икс п {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n!}} x ^ {n}}

а также

грамм ( ж ( Икс ) ) знак равно час ( Икс ) знак равно п знак равно 0 c п п ! Икс п , {\ Displaystyle г (е (х)) = час (х) = \ сумма _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {n}} {n!}} x ^ {n},}

тогда коэффициент c n (который был бы n- й производной h, оцененной как 0, если бы мы имели дело со сходящимися рядами, а не с формальными степенными рядами) определяется как

c п знак равно π знак равно { B 1 , , B k } а | B 1 | а | B k | б k {\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {\ pi = \ left \ {B_ {1}, \ ldots, B_ {k} \ right \}} a _ {\ left | B_ {1} \ right |} \ cdots a _ {\ left | B_ {k} \ right |} b_ {k}}

где π пробегает множество всех разбиений множества {1,..., n }, а B 1,...,  B k - блоки разбиения π, а | B j  | - количество членов j- го блока для  j  = 1,...,  k.

Эта версия формулы особенно хорошо подходит для целей комбинаторики.

Мы также можем написать с учетом обозначений выше

грамм ( ж ( Икс ) ) знак равно б 0 + п знак равно 1 k знак равно 1 п б k B п , k ( а 1 , , а п - k + 1 ) п ! Икс п , {\ Displaystyle г (е (х)) = b_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} B_ {n, k} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n-k + 1})} {n!}} x ^ {n},}

где B n, k ( a 1,..., a n - k +1) - полиномы Белла.

Особый случай

Если f ( x) = e x, то все производные f одинаковы и являются множителем, общим для каждого члена. В случае, если g ( x) является кумулянт-производящей функцией, тогда f ( g ( x)) является генерирующей функцией момента, а многочлен от различных производных g является многочленом, который выражает моменты как функции кумулянтов.

Примечания

использованная литература

Исторические обзоры и очерки

Исследовательские работы

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2024-01-06 11:49:06
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте