Стохастическое дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / неоднородный Функции Приказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность   ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вронски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

Стохастическое дифференциальное уравнение ( СДУ ) представляет собой дифференциальное уравнение, в котором один или более из условий является случайным процессом, в результате чего в растворе, который также является случайным процессом. SDE используются для моделирования различных явлений, таких как нестабильные цены на акции или физические системы, подверженные тепловым колебаниям. Обычно SDE содержат переменную, представляющую случайный белый шум, вычисляемый как производную броуновского движения или винеровского процесса. Однако возможны и другие типы случайного поведения, например, скачкообразные процессы. Случайные дифференциальные уравнения сопряжены со стохастическими дифференциальными уравнениями.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Предпосылки
  • 1.1 Терминология
  • 1.2 Стохастическое исчисление
  • 1.3 Численные решения
• 2 Использование в физике
• 3 Использование в теории вероятностей и математических финансах
• 4 Существование и единственность решений
• 5 Некоторые явно решаемые СДУ ^[4]
  • 5.1 Линейное СДУ: общий случай
  • 5.2 Редуцируемые SDE: случай 1
  • 5.3 Редуцируемые SDE: случай 2
• 6 СДУ и суперсимметрия
• 7 См. Также
• 8 ссылки
• 9 Дальнейшее чтение

Фон

Стохастические дифференциальные уравнения возникли в теории броуновского движения в работах Альберта Эйнштейна и Смолуховского. Эти ранние примеры были линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, также называемыми «уравнениями Ланжевена» в честь французского физика Ланжевена, описывающими движение гармонического осциллятора под действием случайной силы. Математическая теория стохастических дифференциальных уравнений была разработана в 1940-х годах благодаря новаторской работе японского математика Киёси Ито, который ввел понятие стохастического интеграла и положил начало изучению нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Другой подход был позже предложен русским физиком Стратоновичем, что привело к исчислению, аналогичному обычному исчислению.

Терминология

Наиболее распространенная форма SDE в литературе - это обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, возмущенной членом, зависящим от переменной белого шума. В большинстве случаев СДУ понимаются как непрерывный временной предел соответствующих стохастических разностных уравнений. Такое понимание СДУ неоднозначно и должно быть дополнено правильным математическим определением соответствующего интеграла. Такое математическое определение было впервые предложено Киёси Ито в 1940-х годах, что привело к тому, что сегодня известно как исчисление Ито. Позже русский физик Стратонович предложил другую конструкцию, которая привела к так называемому интегралу Стратоновича. Интеграл Ито и интеграл Стратоновича связаны между собой, но разные, объекты и выбор между ними зависит от применения рассмотренного. Ито Исчисление основано на концепции не-anticipativeness или причинности, что естественно в приложениях, где переменное время. Исчисление Стратоновича, с другой стороны, имеет правила, которые напоминают обычное исчисление, и имеет внутренние геометрические свойства, которые делают его более естественным при решении геометрических задач, таких как случайное движение на многообразиях.

Альтернативный взгляд на СДУ - стохастический поток диффеоморфизмов. Это понимание однозначно и соответствует версии Стратоновича о непрерывном временном пределе стохастических разностных уравнений. С SDE связано уравнение Смолуховского или уравнение Фоккера – Планка, уравнение, описывающее временную эволюцию функций распределения вероятностей. Обобщение эволюции Фоккера – Планка на временную эволюцию дифференциальных форм обеспечивается концепцией оператора стохастической эволюции.

В физической науке употребление термина «СДУ Ланжевена» неоднозначно. Хотя SDE Ланжевена могут иметь более общую форму, этот термин обычно относится к узкому классу SDE с векторными полями градиентного потока. Этот класс СДУ особенно популярен, потому что он является отправной точкой процедуры стохастического квантования Паризи – Сурласа, ведущей к суперсимметричной модели N = 2, тесно связанной с суперсимметричной квантовой механикой. Однако с физической точки зрения этот класс СДУ не очень интересен, потому что он никогда не демонстрирует спонтанного нарушения топологической суперсимметрии, т. Е. (Сверхзатухающие) СДУ Ланжевена никогда не бывают хаотическими.

Стохастическое исчисление

Было обнаружено, что броуновское движение или винеровский процесс является исключительно сложным математически. Процесс Wiener почти наверняка нигде не дифференцируемы; таким образом, для этого требуются свои собственные правила исчисления. Есть две доминирующие версии стохастического исчисления, в стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. У каждого из них есть свои преимущества и недостатки, и новички часто не понимают, подходит ли один из них в той или иной ситуации. Существуют руководящие принципы (например, Øksendal, 2003), и для удобства можно легко преобразовать SDE Ито в эквивалентную SDE Стратоновича и обратно. Тем не менее, нужно быть осторожным, какое исчисление использовать при первоначальной записи SDE.

Численные решения

Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений включают метод Эйлера-Maruyama, метод Milstein и метод Рунге-Кутта (SDE).

Использование в физике

Смотрите также: уравнение Ланжевена

В физике СДУ имеют самое широкое применение - от молекулярной динамики до нейродинамики и динамики астрофизических объектов. Более конкретно, СДУ описывают все динамические системы, в которых квантовые эффекты либо не важны, либо могут учитываться как возмущения. СДУ можно рассматривать как обобщение теории динамических систем на модели с шумом. Это важное обобщение, потому что реальные системы не могут быть полностью изолированы от окружающей среды и по этой причине всегда испытывают внешнее стохастическое влияние.

Существуют стандартные методы преобразования уравнений высшего порядка в несколько связанных уравнений первого порядка путем введения новых неизвестных. Таким образом, наиболее общий класс SDE:

${\ displaystyle {\ frac {dx (t)} {dt}} = F (x (t)) + \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {n} g _ {\ alpha} (x (t)) \ xi ^ {\ alpha} (t), \,}$

где - позиция в системе в ее фазовом пространстве (или пространстве состояний), которое, как предполагается, является дифференцируемым многообразием, - векторное поле потока, представляющее детерминированный закон эволюции, и - набор векторных полей, которые определяют связь системы для гауссовского белого шума,. Если это линейное пространство и являются константами, говорят, что система подвержена аддитивному шуму, в противном случае говорят, что она подвержена мультипликативному шуму. Этот термин несколько вводит в заблуждение, поскольку он стал означать общий случай, хотя он, кажется, подразумевает ограниченный случай, в котором. ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F \ in TX}$${\ displaystyle g _ {\ alpha} \ in TX}$${\ displaystyle \ xi ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle г (х) \ propto х}$

Для фиксированной конфигурации шума SDE имеет уникальное решение, дифференцируемое по начальному условию. Нетривиальность стохастического случая проявляется, когда кто-то пытается усреднить различные интересующие объекты по шумовым конфигурациям. В этом смысле SDE не является однозначно определенным объектом, когда шум является мультипликативным и когда SDE понимается как непрерывный временной предел стохастического разностного уравнения. В этом случае SDE должно быть дополнено так называемыми «интерпретациями SDE», такими как интерпретации SDE Ито или Стратоновича. Тем не менее, когда СДУ рассматривается как стохастический поток диффеоморфизмов с непрерывным временем, это однозначно определенный математический объект, который соответствует подходу Стратоновича к непрерывному временному пределу стохастического разностного уравнения.

В физике основным методом решения является нахождение функции распределения вероятностей как функции времени с использованием эквивалентного уравнения Фоккера – Планка (FPE). Уравнение Фоккера – Планка является детерминированным уравнением в частных производных. Он сообщает, как функция распределения вероятностей изменяется во времени, подобно тому, как уравнение Шредингера дает временную эволюцию квантовой волновой функции или уравнение диффузии дает временную эволюцию химической концентрации. В качестве альтернативы численные решения могут быть получены с помощью моделирования Монте-Карло. Другие методы включают интегрирование по траекториям, основанное на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка может быть преобразовано в уравнение Шредингера путем изменения масштаба нескольких переменных) или путем записи обычных дифференциальных уравнений для статистических моментов. функции распределения вероятностей.

Использование в теории вероятностей и математических финансах

Обозначения, используемые в теории вероятностей (и во многих приложениях теории вероятностей, например, в финансовой математике ), немного отличаются. Это также обозначение, используемое в публикациях по численным методам решения стохастических дифференциальных уравнений. Это обозначение делает более явным экзотический характер случайной функции времени в формулировке физики. В строгих математических терминах не может быть выбрана как обычная функция, а только как обобщенная функция. Математическая формулировка трактует это усложнение с меньшей двусмысленностью, чем формулировка физики. ${\ displaystyle \ eta _ {m}}$${\ displaystyle \ eta _ {m}}$

Типичное уравнение имеет вид

${\ Displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = \ mu (X_ {t}, t) \, \ mathrm {d} t + \ sigma (X_ {t}, t) \, \ mathrm {d} B_ { t},}$

где обозначает винеровский процесс (стандартное броуновское движение). Это уравнение следует интерпретировать как неформальный способ выражения соответствующего интегрального уравнения ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle X_ {t + s} -X_ {t} = \ int _ {t} ^ {t + s} \ mu (X_ {u}, u) \ mathrm {d} u + \ int _ {t} ^ {t + s} \ sigma (X_ {u}, u) \, \ mathrm {d} B_ {u}.}$

Выше уравнение характеризует поведение непрерывного времени случайного процесса X т в виде суммы обычного интеграла Лебега и интеграла Ито. Эвристическое (но очень полезно) интерпретация стохастического дифференциального уравнения является то, что в небольшом временном интервале длины б стохастического процесса X т изменяет свое значение на величину, которая обычно распространяется с ожиданием ц ( X т,  т )  б и дисперсии σ ( X t,  t ) ²  δ и не зависит от поведения процесса в прошлом. Это так, потому что приращения винеровского процесса независимы и нормально распределены. Функция μ называется коэффициентом сноса, а σ - коэффициентом диффузии. Случайный процесс X t называется диффузионным и удовлетворяет марковскому свойству.

Формальная интерпретация SDE дается с точки зрения того, что составляет решение SDE. Существует два основных определения решения SDE: сильное решение и слабое решение. Оба требуют существования процесса X t, который решает версию интегрального уравнения SDE. Разница между ними заключается в лежащем в основе вероятностном пространстве (). Слабое решение состоит из вероятностного пространства и процесса, удовлетворяющего интегральному уравнению, а сильное решение - это процесс, который удовлетворяет уравнению и определен в данном вероятностном пространстве. ${\ Displaystyle \ Omega, \, {\ mathcal {F}}, \, P}$

Важным примером является уравнение геометрического броуновского движения

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = \ mu X_ {t} \, \ mathrm {d} t + \ sigma X_ {t} \, \ mathrm {d} B_ {t}.}$

которое является уравнением динамики цены акции в модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза в финансовой математике.

Существуют также более общие стохастические дифференциальные уравнения, в которых коэффициенты μ и σ зависят не только от текущего значения процесса X t, но также от предыдущих значений процесса и, возможно, от текущих или предыдущих значений других процессов. В этом случае процесс решения X не является марковским и называется процессом Ито, а не диффузионным процессом. Когда коэффициенты зависят только от настоящих и прошлых значений X, определяющее уравнение называется стохастическим дифференциальным уравнением с запаздыванием.

Существование и уникальность решений

Как и в случае с детерминированными обыкновенными уравнениями и уравнениями в частных производных, важно знать, имеет ли данное СДУ решение и является ли оно уникальным. Ниже приводится типичная теорема существования и единственности для СДУ Ито, принимающих значения в n - мерном евклидовом пространстве R ⁿ и приводимых m - мерным броуновским движением B ; доказательство можно найти в Øksendal (2003, §5.2).

Пусть T  gt; 0, и пусть

${\ displaystyle \ mu: \ mathbb {R} ^ {n} \ times [0, T] \ to \ mathbb {R} ^ {n};}$

${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {R} ^ {n} \ times [0, T] \ to \ mathbb {R} ^ {n \ times m};}$

- измеримые функции, для которых существуют такие константы C и D, что

${\ displaystyle {\ big |} \ mu (x, t) {\ big |} + {\ big |} \ sigma (x, t) {\ big |} \ leq C {\ big (} 1+ | x | {\ big)};}$

${\ displaystyle {\ big |} \ mu (x, t) - \ mu (y, t) {\ big |} + {\ big |} \ sigma (x, t) - \ sigma (y, t) { \ big |} \ leq D | xy |;}$

для всех t  ∈ [0,  T ] и всех x и y  ∈  R ⁿ, где

${\ displaystyle | \ sigma | ^ {2} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} | \ sigma _ {ij} | ^ {2}.}$

Пусть Z - случайная величина, не зависящая от σ- алгебры, порожденной B s, s  ≥ 0, и с конечным вторым моментом :

${\ displaystyle \ mathbb {E} {\ big [} | Z | ^ {2} {\ big]} lt;+ \ infty.}$

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение / начальная задача

${\ Displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = \ mu (X_ {t}, t) \, \ mathrm {d} t + \ sigma (X_ {t}, t) \, \ mathrm {d} B_ { t} {\ t_dv {for}} t \ in [0, T];}$

${\ Displaystyle X_ {0} = Z;}$

имеет P- почти наверное уникальный т -непрерывное решения ( т,  ω ) ↦  Х т ( ω ) такое, что Х является адаптирован к фильтрации F т ^Z, порожденной Z и B s, s  ≤  т и

${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ int _ {0} ^ {T} | X_ {t} | ^ {2} \, \ mathrm {d} t \ right] lt;+ \ infty.}$

Некоторые явно решаемые СДУ

Линейный СДУ: общий случай

${\ Displaystyle dX_ {t} = (a (t) X_ {t} + c (t)) dt + (b (t) X_ {t} + d (t)) dW_ {t}}$

${\ Displaystyle X_ {t} = \ Phi _ {t, t_ {0}} \ left (X_ {t_ {0}} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ Phi _ {s, t_ {0}} ^ {- 1} (c (s) -b (s) d (s)) ds + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ Phi _ {s, t_ {0}} ^ {-1} d (s) dW_ {s} \ right)}$

где

${\ displaystyle \ Phi _ {t, t_ {0}} = \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left (a (s) - {\ frac {b ^ {2}) (s)} {2}} \ right) ds + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} b (s) dW_ {s} \ right)}$

Редуцируемые SDE: случай 1

${\ displaystyle dX_ {t} = {\ frac {1} {2}} f (X_ {t}) f '(X_ {t}) dt + f (X_ {t}) dW_ {t}}$

для данной дифференцируемой функции эквивалентно СДУ Стратоновича ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle dX_ {t} = f (X_ {t}) \ circ W_ {t}}$

который имеет общее решение

${\ displaystyle X_ {t} = h ^ {- 1} (W_ {t} + h (X_ {0}))}$

где

${\ displaystyle h (x) = \ int ^ {x} {\ frac {ds} {f (s)}}}$

Редуцируемые SDE: случай 2

${\ displaystyle dX_ {t} = \ left (\ alpha f (X_ {t}) + {\ frac {1} {2}} f (X_ {t}) f '(X_ {t}) \ right) dt + f (X_ {t}) dW_ {t}}$

для данной дифференцируемой функции эквивалентно СДУ Стратоновича ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle dX_ {t} = \ альфа е (X_ {t}) dt + f (X_ {t}) \ circ W_ {t}}$

который сводится к

${\ displaystyle dY_ {t} = \ alpha dt + dW_ {t}}$

где где определено, как и раньше. Его общее решение ${\ Displaystyle Y_ {t} = час (X_ {t})}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle X_ {t} = h ^ {- 1} (\ alpha t + W_ {t} + h (X_ {0}))}$

СДУ и суперсимметрия

Основная статья: Суперсимметричная теория стохастической динамики

В суперсимметричной теории СДУ стохастическая динамика определяется через оператор стохастической эволюции, действующий на дифференциальные формы на фазовом пространстве модели. В этой точной формулировке стохастической динамики все СДУ обладают топологической суперсимметрией, которая представляет сохранение непрерывности фазового пространства посредством непрерывного потока времени. Спонтанное нарушение этой суперсимметрии является математической сущностью вездесущего динамического явления, известного во всех дисциплинах как хаос, турбулентность, самоорганизованная критичность и т. Д., И теорема Голдстоуна объясняет связанное с ним динамическое поведение на больших расстояниях, т. Е. Эффект бабочки, 1 / е и хрустящие шумы, и безмасштабное статистика землетрясений, neuroavalanches, солнечных вспышек и т.д. теория также предлагает разрешение дилеммы Ито-Стратоновича в пользу Стратоновича подхода.

Смотрите также

• Динамика Ланжевена
• Местная волатильность
• Стохастический процесс
• Стохастическая волатильность
• Стохастические уравнения в частных производных
• Процесс диффузии
• Стохастическое разностное уравнение

использованная литература

дальнейшее чтение

• Адомян, Джордж (1983). Стохастические системы. Математика в науке и технике (169). Орландо, Флорида: Academic Press Inc.
• Адомян, Джордж (1986). Нелинейные стохастические операторные уравнения. Орландо, Флорида: Academic Press Inc.
• Адомян, Джордж (1989). Нелинейная теория стохастических систем и приложения к физике. Математика и ее приложения (46). Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group.
• Калин, Овидиу (2015). Неформальное введение в стохастическое исчисление с приложениями. Сингапур: World Scientific Publishing. п. 315. ISBN   978-981-4678-93-3.
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Берлин: Springer. ISBN   3-540-04758-1.
• Teugels, J. и Sund B. (ред.) (2004). Энциклопедия актуарной науки. Чичестер: Вайли. С. 523–527. CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
• CW Гардинер (2004). Справочник по стохастическим методам: для физики, химии и естествознания. Springer. п. 415.
• Томас Микош (1998). Элементарное стохастическое исчисление: с финансовой точки зрения. Сингапур: World Scientific Publishing. п. 212. ISBN.   981-02-3543-7.
• Сейфедин Кадры (2007). «Решение линейного стохастического дифференциального уравнения». Всемирные труды по математике. США: ОПЕРАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ, апрель 2007 г.: 618. ISSN   1109-2769.
• ЧП Клоеден и Э. Платен (1995). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Springer. ISBN   0-387-54062-8.
• Хайэм., Десмонд Дж. (Январь 2001 г.). «Алгоритмическое введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений». SIAM Обзор. 43 (3): 525–546. Bibcode : 2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX   10.1.1.137.6375. DOI : 10.1137 / S0036144500378302.
• Десмонд Хайэм и Питер Клоден: «Введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений», SIAM, ISBN   978-1-611976-42-7 (2021).