Теорема о представлении Мартингейла

В теории вероятностей теорема о мартингальном представлении утверждает, что случайная величина, которую можно измерить относительно фильтрации, порожденной броуновским движением, может быть записана в терминах интеграла Ито относительно этого броуновского движения.

Теорема только утверждает существование представления и не помогает найти его явно; во многих случаях можно определить форму представления, используя исчисление Маллявэна.

Аналогичные теоремы существуют и для мартингалов о фильтрации, индуцированной скачкообразными процессами, например цепями Маркова.

Позвольте быть броуновским движением на стандартном фильтрованном вероятностном пространстве и позвольте быть расширенной фильтрацией, порожденной. Если X - случайная величина, интегрируемая с квадратом, измеримая относительно, то существует предсказуемый процесс C, который адаптирован относительно, такой, что ${\ displaystyle B_ {t}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}} _ {t}, P)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {t}}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {t}}$

${\ displaystyle X = E (X) + \ int _ {0} ^ {\ infty} C_ {s} \, dB_ {s}.}$

Как следствие,

${\ displaystyle E (X | {\ mathcal {G}} _ {t}) = E (X) + \ int _ {0} ^ {t} C_ {s} \, dB_ {s}.}$

Теорема о мартингальном представлении может использоваться для установления существования стратегии хеджирования. Предположим, что это Q-мартингальный процесс, волатильность которого всегда отлична от нуля. Тогда, если это любой другой Q-мартингал, существует -предвидимый процесс, уникальный до множеств меры 0, такой, что с вероятностью единица, и N может быть записано как: ${\ displaystyle \ left (M_ {t} \ right) _ {0 \ leq t lt;\ infty}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$${\ displaystyle \ left (N_ {t} \ right) _ {0 \ leq t lt;\ infty}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ varphi _ {t} ^ {2} \ sigma _ {t} ^ {2} \, dt lt;\ infty}$

${\ displaystyle N_ {t} = N_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ varphi _ {s} \, dM_ {s}.}$

Стратегия репликации определяется следующим образом:

• удерживать единицы запаса в момент времени t, и${\ displaystyle \ varphi _ {t}}$
• держать паи облигации.${\ displaystyle \ psi _ {t} B_ {t} = C_ {t} - \ varphi _ {t} Z_ {t}}$
• Тактика Мартингейла основана на простой концепции: вы можете удваивать свою ставку каждый раз, когда выигрываете ставку. Основная идея состоит в том, что вы можете отыграть проигрышную ставку ровно настолько, чтобы ваша ставка покрывала предыдущие раунды.

где - цена акции, дисконтированная на цену облигации во времени, и - ожидаемая выплата по опциону в данный момент. ${\ displaystyle Z_ {t}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle C_ {t}}$${\ displaystyle t}$

В день истечения T стоимость портфеля составляет:

${\ Displaystyle V_ {T} = \ varphi _ {T} S_ {T} + \ psi _ {T} B_ {T} = C_ {T} = X}$

и легко проверить, что эта стратегия является самофинансируемой: изменение стоимости портфеля зависит только от изменения цен на активы. ${\ displaystyle \ left (dV_ {t} = \ varphi _ {t} \, dS_ {t} + \ psi _ {t} \, dB_ {t} \ right)}$

• Монтин, Бенуа. (2002) «Случайные процессы, применяемые в финансах»
• Эллиотт, Роберт (1976) "Стохастические интегралы для мартингалов процесса перехода с частично доступными временами перехода ", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 36, 213–226