Спектральная последовательность

редактировать

Инструмент в гомологической алгебре

В гомологической алгебре и алгебраической топологии, спектральная последовательность является средством вычисления групп гомологии путем принятия последовательных приближений. Спектральные последовательности представляют собой обобщение точных последовательностей, и с момента их введения Жаном Лере (1946) они стали важными вычислительными инструментами, особенно в алгебраическая топология, алгебраическая геометрия и гомологическая алгебра.

Содержание

1 Открытие и мотивация
2 Формальное определение
- 2.1 Определение
- 2.2 Спектральная последовательность из цепной комплекс
- 2.3 Типы спектральных последовательностей
- 2.4 Категориальные свойства
- 2.5 Интерпретация как фильтрация циклов и границ
3 Визуализация
4 Проработанные примеры
- 4.1 2 ненулевые смежные столбцы
- 4.2 Последовательность Ванга
- 4.3 Термы низкой степени
5 Карты краев и трансгрессии
- 5.1 Гомологические спектральные последовательности
- 5.2 Когомологические спектральные последовательности
- 5.3 Применение
6 Мультипликативная структура
7 Построение спектральных последовательностей
- 7.1 Точные пары
  - 7.1.1 Спектральные последовательности, построенные этим методом
- 7.2 Спектральная последовательность ce отфильтрованного комплекса
  - 7.2.1 Применения
  - 7.2.2 Спектральные последовательности, построенные с фильтрованными комплексами
- 7.3 Спектральная последовательность двойного комплекса
8 Сходимость, вырождение и примыкание
9 Примеры дегенерации
- 9.1 Спектральная последовательность фильтрованного комплекса, продолжение
  - 9.1.1 Длинные точные последовательности
- 9.2 Спектральная последовательность двойного комплекса, продолжение
  - 9.2.1 Коммутативность Tor
10 Дополнительные примеры
- 10.1 Топология и геометрия
- 10.2 Теория гомотопий
- 10.3 Алгебра
- 10.4 Сложная и алгебраическая геометрия
11 Примечания
12 Ссылки
- 12.1 Вводные
- 12.2 Ссылки
13 Дополнительная литература
14 Внешние ссылки

Открытие и мотивация

Мотивированный проблемами в алгебраической топологии, Жан Лере ввел понятие связки и столкнулся с проблемой вычисления когомологий пучка. Для вычисления когомологий пучка Лерэ представил вычислительную технику, которая теперь известна как спектральная последовательность Лере. Это дало связь между группами когомологий пучка и группами когомологий прямой передачи пучка. Отношения включали бесконечный процесс. Лерэ обнаружил, что группы когомологий прямого форварда образуют естественный цепной комплекс , так что он мог взять когомологии когомологий. Это все еще не было когомологией исходного пучка, но в определенном смысле это было на шаг ближе. Когомологии когомологий снова образуют цепной комплекс, а его когомологии образуют цепной комплекс и т. Д. Предел этого бесконечного процесса был по существу таким же, как и у групп когомологий исходного пучка.

Вскоре стало понятно, что вычислительная техника Лере является примером более общего явления. Спектральные последовательности были обнаружены в различных ситуациях, и они давали сложные отношения между группами гомологий и когомологий, происходящими из геометрических ситуаций, таких как расслоения, и из алгебраических ситуаций, включающих производные функторы. Хотя их теоретическая важность снизилась с момента введения производных категорий , они по-прежнему являются наиболее эффективным доступным вычислительным инструментом. Это верно даже тогда, когда многие члены спектральной последовательности не поддаются расчету.

К сожалению, из-за большого количества информации, передаваемой в спектральных последовательностях, их трудно понять. Эта информация обычно содержится в решетке третьего ранга из абелевых групп или модулей. Проще всего иметь дело со случаями, когда спектральная последовательность в конечном итоге схлопывается, а это означает, что дальнейшее продвижение по последовательности не дает новой информации. Даже когда этого не происходит, часто можно получить полезную информацию из спектральной последовательности с помощью различных уловок.

Формальное определение

Определение

Зафиксируйте абелеву категорию, например категорию модулей в кольце . когомологическаяспектральная последовательность - это выбор из неотрицательного целого числа $r 0 {\ displaystyle r_ {0}}$ $r_ {0}$ и совокупности трех последовательностей:

Для всех целых чисел $r ≥ r 0 {\ displaystyle r \ geq r_ {0}}$ ${\ displaystyle r \ geq r_ {0}}$ , объект $E r {\ displaystyle E_ {r}}$ $E_{r}$ , называемый листом (например, листом бумаги ), или иногда страницей или термином;
Эндоморфизмы $dr: E r → E r {\ displaystyle d_ { r} \ двоеточие E_ {r} \ to E_ {r}}$ $d_{r}\colon E_{r}\to E_{r}$ удовлетворяет $dr ∘ dr = 0 {\ displaystyle d_ {r} \ circ d_ {r} = 0}$ $d_{r}\circ d_{r}=0$ , называемые граничными картами или дифференциалами;
Изоморфизмы $E r + 1 {\ displaystyle E_ {r + 1}}$ $E _ {{r + 1}}$ с $H (E r) { \ displaystyle H (E_ {r})}$ $H(E_{r})$ , гомология $E r {\ displaystyle E_ {r}}$ $E_{r}$ по отношению к $dr {\ displaystyle d_ {r}}$ $d_r$ .

Обычно изоморфизмы между $E r + 1 {\ displaystyle E_ {r + 1}}$ $E _ {{r + 1}}$ и $H (E r) {\ displaystyle H (E_ { r})}$ $H(E_{r})$ подавляются, и мы пишем equalitie s вместо этого. Иногда $E r + 1 {\ displaystyle E_ {r + 1}}$ $E _ {{r + 1}}$ называется производным объектом из $E r {\ displaystyle E_ {r}}$ $E_{r}$ .

Спектральная последовательность из цепного комплекса

Самым элементарным примером является цепной комплекс C•. Объект C • в абелевой категории цепных комплексов имеет дифференциал d. Пусть r 0 = 0, и пусть E 0 будет C •. Это заставляет E 1 быть комплексом H (C •): в i-м месте это i-я группа гомологии C •. Единственным естественным дифференциалом в этом новом комплексе является карта нуля, поэтому мы полагаем d 1 = 0. Это заставляет $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ $E_{2}$ равняться $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ , и снова наш единственный естественный дифференциал - это нулевое отображение. Помещение нулевого дифференциала на все остальные наши листы дает спектральную последовательность, члены которой:

E0= C •
Er= H (C •) для всех r ≥ 1.

этой спектральной последовательности стабилизируются на первом листе, потому что ее единственный нетривиальный дифференциал находится на нулевом листе. Следовательно, мы не сможем получить больше информации на более поздних этапах. Обычно, чтобы получить полезную информацию из последующих листов, нам нужна дополнительная структура $E r {\ displaystyle E_ {r}}$ $E_{r}$ .

Типы спектральных последовательностей

В ситуации без оценки, описанной выше, r 0 не имеет значения, но на практике большинство спектральных последовательностей встречается в категории двухуровневых модулей над кольцом R (или дважды градуированных пучков модулей над пучком колец). В этом случае каждый лист представляет собой дважды градуированный модуль, поэтому он распадается как прямая сумма членов с одним членом для каждой возможной бистепени. Граничная карта определяется как прямая сумма граничных карт на каждом из элементов листа. Их степень зависит от r и фиксируется условно. Для гомологической спектральной последовательности термины записываются как $E p, qr {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}}$ $E ^ r_ {p, q}$ , а дифференциалы имеют бистепень (- r, r - 1). Для когомологической спектральной последовательности члены записываются как $E rp, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E^{p,q}_r$ , а дифференциалы имеют бистепень (r, 1 - р). (Такой выбор бистепени происходит на практике; см. Пример двойного комплекса ниже.) В зависимости от спектральной последовательности граничная карта на первом листе может иметь степень, соответствующую r = 0, r = 1 или r = 2. Например, для спектральной последовательности отфильтрованного комплекса, описанной ниже, r 0 = 0, но для спектральной последовательности Гротендика, r 0 = 2. Обычно r 0 равно нулю, единице или двум.

Категориальные свойства

Морфизм спектральных последовательностей E → E 'по определению является набором отображений f r : E r → E' r, которые совместимы с дифференциалами и с данными изоморфизмами между когомологиями r-го шага и (r + 1) -го листов E и E ', соответственно.

Интерпретация как фильтрация циклов и границ

Пусть E r будет спектральной последовательностью, начиная, скажем, с r = 1. Тогда существует последовательность подобъектов

0 = B 0 ⊂ B 1 ⊂ B 2 ⊂ ⋯ ⊂ B r ⊂ ⋯ ⊂ Z r ⊂ ⋯ ⊂ Z 2 ⊂ Z 1 ⊂ Z 0 = E 1 {\ displaystyle 0 = B_ {0} \ subset B_ {1} \ subset B_ {2} \ subset \ dots \ subset B_ {r} \ subset \ dots \ subset Z_ {r} \ subset \ dots \ subset Z_ {2} \ subset Z_ {1} \ subset Z_ {0} = E_ {1}}

0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}

такой, что $E r ≃ Z r - 1 / B r - 1 {\ displaystyle E_ {r} \ simeq Z_ {r-1} / B_ {r-1}}$ $E_ {r} \ simeq Z _ {{r-1}} / B _ {{r-1}}$ ; действительно, рекурсивно мы позволяем $Z 0 = E 1, B 0 = 0 {\ displaystyle Z_ {0} = E_ {1}, B_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle Z_ {0} = E_ {1}, B_ {0} = 0}$ и пусть $Z р, B r {\ displaystyle Z_ {r}, B_ {r}}$ $Z_{r},B_{r}$ так, чтобы $Z r / B r - 1, B r / B r - 1 {\ displaystyle Z_ {r } / B_ {r-1}, B_ {r} / B_ {r-1}}$ $Z_{r}/B_{{r-1}},B_{r}/B_{{r-1}}$ - это ядро и образ $E r → dr E r. {\ displaystyle E_ {r} {\ overset {d_ {r}} {\ to}} E_ {r}.}$ $E_{r}{\overset {d_{r}}\to }E_{r}.$

Затем пусть $Z ∞ = ∩ r Z r, B ∞ = ∪ r B r {\ displaystyle Z _ {\ infty} = \ cap _ {r} Z_ {r}, B _ {\ infty} = \ cup _ {r} B_ {r}}$ $Z _ {{\ infty} } = \ cap _ {r} Z_ {r}, B _ {{\ infty}} = \ cup _ {r} B_ {r}$ и

E ∞ = Z ∞ / B ∞ {\ displaystyle E _ {\ infty} = Z _ {\ infty} / B _ {\ infty}}

E _ {{\ infty} } = Z _ {{\ infty}} / B _ {{\ infty}}

;

это называется ограничивающим членом. (Конечно, такие $E ∞ {\ displaystyle E _ {\ infty}}$ $E _ {{\ infty}}$ не обязательно должны существовать в категории, но обычно это не проблема, поскольку, например, в категории модулей такие ограничения существуют, или поскольку на практике спектральная последовательность, с которой мы работаем, имеет тенденцию к вырождению; в приведенной выше последовательности есть только конечное число включений.)

Визуализация

E 2 лист когомологического спектральная последовательность

Спектральная последовательность с двойным градиентом содержит огромное количество данных, которые необходимо отслеживать, но существует общий метод визуализации, который делает структуру спектральной последовательности более ясной. У нас есть три индекса: r, p и q. Для каждого r представьте, что у нас есть лист миллиметровой бумаги. На этом листе мы примем p за горизонтальное направление, а q за вертикальное направление. В каждой точке решетки у нас есть объект $E rp, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_r ^ {p, q}$ .

Очень часто n = p + q является еще одним естественным индексом в спектральном последовательность. n проходит по диагонали, с северо-запада на юго-восток, через каждый лист. В гомологическом случае дифференциалы имеют бистепень (−r, r - 1), поэтому они уменьшают n на единицу. В когомологическом случае n увеличивается на единицу. Когда r равно нулю, дифференциал перемещает объекты на одну позицию вниз или вверх. Это похоже на дифференциал на цепном комплексе. Когда r равно единице, дифференциал перемещает объекты на одно деление влево или вправо. Когда r равно двум, дифференциал перемещает объекты так же, как ход коня в chess. Для более высоких r дифференциал действует как обобщенный ход коня.

Проработанные примеры

При первом изучении спектральных последовательностей часто бывает полезно работать с простыми вычислительными примерами. Для более формального и полного обсуждения см. Разделы ниже. Для примеров в этом разделе достаточно использовать это определение: говорят, что спектральная последовательность сходится к H с возрастающей фильтрацией F, если $E p, q ∞ = F p H p + q / F p - 1 H p + q {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {\ infty} = F_ {p} H_ {p + q} / F_ {p-1} H_ {p + q}}$ $E_{{p,q}}^{{\infty }}=F_{p}H_{{p+q}}/F_{{p-1}}H_{{p+q}}$ . Приведенные ниже примеры иллюстрируют, как можно связать такие фильтрации с $E 2 {\ displaystyle E ^ {2}}$ $E ^ {2}$ -термом в виде точных последовательностей; многие точные последовательности в приложениях (например, последовательность Гизина ) возникают таким образом.

2 ненулевых соседних столбца

Пусть $E p, qr {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}}$ $E _ {{p, q}} ^ {r}$ будет гомологическим спектральным последовательность такая, что $E p, q 2 = 0 {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {2} = 0}$ $E_{{p,q}}^{2}=0$ для всех p, кроме 0, 1. Визуально это спектральный последовательность с $E 2 {\ displaystyle E ^ {2}}$ $E ^ {2}$ -page

$⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 E 0, 2 2 E 1, 2 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0, 1 2 E 1, 1 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0, 0 2 E 1, 0 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0, - 1 2 E 1, - 1 2 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\ displaystyle {\ begin { матрица} \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\\ cdots 0 E_ {0,2} ^ {2} E_ {1,2} ^ {2} 0 \ cdots \\\ cdots 0 E_ {0, 1} ^ {2} E_ {1,1} ^ {2} 0 \ cdots \\\ cdots 0 E_ {0,0} ^ {2} E_ {1,0} ^ {2} 0 \ cdots \\\ cdots 0 E_ {0, -1} ^ {2} E_ {1, -1} ^ {2} 0 \ cdots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\\ cdots 0 E_ {0,2} ^ {2} E_ {1,2} ^ {2} 0 \ cdots \\\ cdots 0 E_ {0,1} ^ {2 } E_ {1,1} ^ {2} 0 \ cdots \\\ cdots 0 E_ {0,0} ^ {2} E_ {1,0} ^ {2} 0 \ cdots \\\ cdots 0 E_ {0, - 1} ^ {2} E_ {1, -1} ^ {2} 0 \ cdots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ end {matrix}}}$

Дифференциалы на второй странице имеют степень (-2, 1), поэтому они имеют вид

$dp, q 2: E p, q 2 → E p - 2, q + 1 2 {\ displaystyle d_ {p, q} ^ {2}: E_ {p, q} ^ {2} \ to E_ {p-2, q + 1} ^ {2}}$ $d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}$

Все эти карты равны нулю, так как они

$d 0, q 2: E 0, q 2 → 0 {\ displaystyle d_ {0, q} ^ {2}: E_ {0, q} ^ {2} \ to 0}$ $d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0$ , $d 1, q 2: E 1, q 2 → 0 {\ displaystyle d_ {1, q} ^ {2}: E_ {1, q} ^ {2} \ to 0}$ ${\ displaystyle d_ {1, q} ^ {2}: E_ {1, q} ^ {2 } \ to 0}$

, следовательно, спектральная последовательность вырождается: $E ∞ = E 2 {\ displaystyle E ^ {\ infty} = E ^ {2}}$ $E ^ {{\ infty}} = E ^ {2}$ . Скажем, он сходится к $H ∗ {\ displaystyle H _ {*}}$ $H_ { *}$ с фильтрацией

$0 = F - 1 H n ⊂ F 0 H n ⊂ ⋯ ⊂ F n H n = H n {\ displaystyle 0 = F _ {- 1} H_ {n} \ subset F_ {0} H_ {n} \ subset \ dots \ subset F_ {n} H_ {n} = H_ {n}}$ $0 = F _ {{- 1}} H_ {n} \ subset F_ {0} H_ { n} \ subset \ dots \ subset F_ {n} H_ {n} = H_ {n}$

такой $E p, q ∞ = F p H p + q / F p - 1 H p + q {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {\ infty} = F_ {p} H_ {p + q} / F_ {p-1} H_ {p + q}}$ $E_{{p,q}}^{{\infty }}=F_{p}H_{{p+q}}/F_{{p-1}}H_{{p+q}}$ . Тогда $F 0 H n = E 0, n 2 {\ displaystyle F_ {0} H_ {n} = E_ {0, n} ^ {2}}$ $F_ {0} H_ {n} = E _ {{0, n}} ^ {2}$ , $F 1 H n / F 0 H n = E 1, n - 1 2 {\ displaystyle F_ {1} H_ {n} / F_ {0} H_ {n} = E_ {1, n-1} ^ {2}}$ $F_ {1} H_ {n} / F_ {0} H_ {n} = E _ {{1, n-1}} ^ {2}$ , $F 2 H n / F 1 ЧАС N = 0 {\ Displaystyle F_ {2} H_ {n} / F_ {1} H_ {n} = 0}$ $F_ {2} H_ {n} / F_ {1} H_ {n} = 0$ , $F 3 H n / F 2 H n = 0 {\ Displaystyle F_ {3} H_ {n} / F_ {2} H_ {n} = 0}$ $F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0$ и т. д. Таким образом, существует точная последовательность:

$0 → E 0, n 2 → H n → E 1, n - 1 2 → 0 {\ displaystyle 0 \ to E_ {0, n} ^ {2} \ to H_ {n} \ to E_ {1, n-1} ^ {2} \ to 0}$ $0\to E_{{0,n}}^{2}\to H_{n}\to E_{{1,n-1}}^ {2}\to 0$ .

Далее, пусть $E p, qr {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}}$ $E _ {{p, q}} ^ {r}$ будет спектральной последовательностью, вторая страница которой состоит только из двух строк q = 0, 1. Она не должна вырождаться на второй странице, но он все еще вырождается на третьей странице, поскольку там дифференциалы имеют степень (-3, 2). Примечание $E p, 0 3 = ker ⁡ (d: E p, 0 2 → E p - 2, 1 2) {\ displaystyle E_ {p, 0} ^ {3} = \ operatorname {ker} (d : E_ {p, 0} ^ {2} \ to E_ {p-2,1} ^ {2})}$ $E _ {{p, 0}} ^ {3} = \ operatorname {ker} (d: E_ { {p, 0}} ^ {2} \ to E _ {{p-2,1}} ^ {2})$ , поскольку знаменатель равен нулю. Точно так же $E p, 1 3 = коксователь ⁡ (d: E p + 2, 0 2 → E p, 1 2) {\ displaystyle E_ {p, 1} ^ {3} = \ operatorname {coker} ( d: E_ {p + 2,0} ^ {2} \ to E_ {p, 1} ^ {2})}$ $E _ {{p, 1}} ^ {3} = \ operatorname {coker} (d: E _ {{p + 2,0}} ^ {2} \ to E _ {{p, 1}} ^ {2})$ . Таким образом,

$0 → E p, 0 ∞ → E p, 0 2 → d E p - 2, 1 2 → E p - 2, 1 ∞ → 0 {\ displaystyle 0 \ to E_ {p, 0} ^ {\ infty} \ to E_ {p, 0} ^ {2} {\ overset {d} {\ to}} E_ {p-2,1} ^ {2} \ to E_ {p-2,1} ^ {\ infty} \ to 0}$ $0\to E_{{p,0}}^{{\infty }}\to E_{{p,0}}^{2}{\overset {d}\to }E_{{p-2,1}}^{2}\to E_{{p-2,1}}^{{\infty }}\to 0$ .

Теперь, скажем, спектральная последовательность сходится к H с фильтрацией F, как в предыдущем примере. Поскольку $F p - 2 H p / F p - 3 H p = E p - 2, 2 ∞ = 0 {\ displaystyle F_ {p-2} H_ {p} / F_ {p-3} H_ {p } = E_ {p-2,2} ^ {\ infty} = 0}$ $F_{{p-2}}H_{{p}}/F_{{p-3}}H_{{p}}=E_{{p-2,2}}^{{\infty }}=0$ , $F p - 3 H p / F p - 4 H p = 0 {\ displaystyle F_ {p-3} H_ {p} / F_ {p-4} H_ {p} = 0}$ $F _ {{p- 3}} H_ {p} / F _ {{p-4}} H_ {p} = 0$ и т.д., имеем: $0 → E p - 1, 1 ∞ → H p → E p, 0 ∞ → 0 { \ displaystyle 0 \ to E_ {p-1,1} ^ {\ infty} \ to H_ {p} \ to E_ {p, 0} ^ {\ infty} \ to 0}$ $0\to E_{{p-1,1}}^{{\infty }}\to H_{p}\to E_{{p,0}}^{{\infty }}\to 0$ . Собирая все вместе, получаем:

$⋯ → H p + 1 → E p + 1, 0 2 → d E p - 1, 1 2 → H p → E p, 0 2 → d E p - 2, 1 2 → H p - 1 →…. {\ displaystyle \ cdots \ to H_ {p + 1} \ to E_ {p + 1,0} ^ {2} {\ overset {d} {\ to}} E_ {p-1,1} ^ {2} \ to H_ {p} \ to E_ {p, 0} ^ {2} {\ overset {d} {\ to}} E_ {p-2,1} ^ {2} \ to H_ {p-1} \ to \ dots.}$ $\ cdots \ to H _ {{p + 1}} \ to E _ {{p + 1,0}}^{2}{\overset {d}\to }E_{{p-1,1}}^{2}\to H_{p}\to E_{{p,0}}^ {2}{\overset {d}\to }E_{{p-2,1}}^{2}\to H_{{p-1}}\to \dots.$

Последовательность Ванга

Вычисление в предыдущем разделе является простым обобщением. Рассмотрим расслоение над сферой:

$F → i E → p S n {\ displaystyle F {\ overset {i} {\ to}} E {\ overset {p} {\ to} } S ^ {n}}$ $F {\ overset {i} \ to} E {\ overset {p} \ to} S ^ {n}$

с n не меньше 2. Имеется спектральная последовательность Серра :

$E p, q 2 = H p (S n; H q (F)) ⇒ H p + q (E) {\ Displaystyle E_ {p, q} ^ {2} = H_ {p} (S ^ {n}; H_ {q} (F)) \ Rightarrow H_ {p + q} (E)}$ $E_{{p,q}}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{{p+q}}(E)$ ;

то есть $E p, q ∞ = F p H p + q (E) / F p - 1 H p + q (E) {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {\ infty } = F_ {p} H_ {p + q} (E) / F_ {p-1} H_ {p + q} (E)}$ $E _ {{p, q}} ^ {{\ infty }} = F_ {p} H _ {{p + q}} (E) / F _ {{p-1}} H _ {{p + q}} (E)$ с некоторой фильтрацией $F ∙ {\ displaystyle F_ {\ bullet}}$ $F_{\bullet }$ . Поскольку $H p (S n) {\ displaystyle H_ {p} (S ^ {n})}$ $H_{p}(S^{n})$ отлично от нуля, только когда p равно нулю или n и равно Z в этом случае мы видим, что $E p, q 2 {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {2}}$ $E_{{p,q}}^{2}$ состоит всего из двух строк $p = 0, n {\ displaystyle p = 0, n}$ $p=0,n$ , следовательно, $E 2 {\ displaystyle E ^ {2}}$ $E ^ {2}$ -страница задается как

$⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 E 0, 2 2 0 ⋯ 0 E n, 2 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0, 1 2 0 ⋯ 0 E n, 1 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0, 0 2 0 ⋯ 0 E n, 0 2 0 ⋯ {\ displaystyle {\ begin {matrix} \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\\ cdots 0 E_ {0,2} ^ {2} 0 \ cdots 0 E_ {n, 2 } ^ {2} 0 \ cdots \\\ cdots 0 E_ {0,1} ^ {2} 0 \ cdots 0 E_ {n, 1} ^ {2} 0 \ cdots \\\ cdots 0 E_ {0,0} ^ { 2} 0 \ cdots 0 E_ {n, 0} ^ {2} 0 \ cdots \\\ end {matrix}}}$ ${\begin{matrix}\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \\\cdots 0E_{0,2}^{2}0\cdots 0E_{n,2}^{2}0\cdots \\\cdots 0E_{0,1}^{2}0\cdots 0E_{n,1}^{2}0\cdots \\\cdots 0E_{0,0}^{2}0\cdots 0E_{n,0}^{2}0\cdots \\\end{matrix}}$

Кроме того, поскольку

$E p, q 2 = H p (S n; H q (F)) = ЧАС Q (F) {\ Displaystyle E_ {p, q} ^ {2} = H_ {p} (S ^ {n}; H_ {q} (F)) = H_ {q} (F)}$ ${\ displaystyle E_ {p, q} ^ {2 } = H_ {p} (S ^ {n}; H_ {q} (F)) = H_ {q} (F)}$

для $p = 0, n {\ displaystyle p = 0, n}$ $p=0,n$ по теореме об универсальном коэффициенте, $E 2 {\ displaystyle E ^ {2}}$ $E ^ {2}$ страница выглядит как

$⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 H 2 (F) 0 ⋯ 0 H 2 (F) 0 ⋯ ⋯ 0 H 1 (F) 0 ⋯ 0 H 1 (F) 0 ⋯ ⋯ 0 час 0 (F) 0 ⋯ 0 час 0 (F) 0 ⋯ {\ displaystyle {\ begin {matrix} \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\\ cdots 0 H_ {2} (F) 0 \ cdots 0 H_ {2} (F) 0 \ cdots \\\ cdots 0 H_ {1} (F) 0 \ cdots 0 H_ {1} (F) 0 \ cdots \\\ cdots 0 H_ { 0} (F) 0 \ cdots 0 H_ {0} (F) 0 \ cdots \\\ end {matrix}}}$ ${\begin{matrix}\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \\\cdots 0H_{2}(F)0\cdots 0H_{2}(F)0\cdots \\\cdots 0H_{1}(F)0\cdots 0H_{1}(F)0\cdots \\\cdots 0H_{0}(F)0\cdots 0H_{0}(F)0\cdots \\\end{matrix}}$

Так как только ненулевые дифференциалы находятся на $E n {\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ -страница, заданная как

$dn, qn: E n, qn → E 0, q + n - 1 n {\ displaystyle d_ {n, q} ^ {n}: E_ {n, q} ^ {n} \ к E_ {0, q + n-1} ^ {n}}$ ${\ displaystyle d_ {n, q} ^ {n}: E_ {n, q} ^ {n} \ to E_ {0, q + n-1} ^ {n}}$

, который равен

$dn, qn: H q (F) → H q + n - 1 (F) {\ displaystyle d_ {n, q} ^ {n}: H_ {q} (F) \ to H_ {q + n-1} (F)}$ ${\ displaystyle d_ {n, q} ^ {n}: H_ {q} ( F) \ к H_ {q + n-1} (F)}$

спектральная последовательность сходится на $E n + 1 знак равно E ∞ {\ displaystyle E ^ {n + 1} = E ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle E ^ {n +1} = E ^ {\ infty}}$ . Вычисляя $E n + 1 {\ displaystyle E ^ {n + 1}}$ $E^{{n+1}}$ , мы получаем точную последовательность

$0 → E n, q - n ∞ → E n, q - nn → d E 0, q - 1 n → E 0, q - 1 ∞ → 0. {\ displaystyle 0 \ к E_ {n, qn} ^ {\ infty} \ к E_ {n, qn} ^ {n} { \ overset {d} {\ to}} E_ {0, q-1} ^ {n} \ to E_ {0, q-1} ^ {\ infty} \ to 0.}$ $0\to E_{{n,q-n}}^{{\infty }}\to E_{{n,q-n}}^{n}{\overset {d}\to }E_{{0,q-1}}^{n}\to E_{{0,q-1}}^{{\i nfty }}\to 0.$

и записывается с использованием группы гомологий, это

$0 → E n, q - n ∞ → H q - n (F) → d H q - 1 (F) → E 0, q - 1 ∞ → 0. {\ displaystyle 0 \ к E_ {n, qn} ^ {\ infty} \ к H_ {qn} (F) {\ overset {d} {\ to}} H_ {q-1} (F) \ к E_ {0, q-1 } ^ {\ infty} \ to 0.}$ $0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.$

Чтобы установить, что такое два $E ∞ {\ displaystyle E ^ {\ infty}}$ $E ^ {\ infty }$ -термина, напишите $H = H (E) {\ displaystyle H = H (E)}$ $H = H (E)$ , а поскольку $F 1 H q / F 0 H q = E 1, q - 1 ∞ = 0 {\ displaystyle F_ { 1} H_ {q} / F_ {0} H_ {q} = E_ {1, q-1} ^ {\ infty} = 0}$ $F_ {1} H_ {q} / F_ {0} H_ {q } = E _ {{1, q-1}} ^ {{\ infty}} = 0$ и т.д., имеем: $E n, д - N ∞ знак равно F N ЧАС Q / F 0 ЧАС Q {\ Displaystyle E_ {n, qn} ^ {\ infty} = F_ {n} H_ {q} / F_ {0} H_ {q}}$ $E_{{n,q-n}}^{{\infty }}=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}$ и, следовательно, поскольку $F n H q = H q {\ displaystyle F_ {n} H_ {q} = H_ {q}}$ $F_{n}H_{q}=H_{q}$ ,

$0 → E 0, q ∞ → H q → E n, q - n ∞ → 0. {\ displaystyle 0 \ к E_ {0, q} ^ {\ infty} \ к H_ {q} \ к E_ {n, qn} ^ {\ infty} \ к 0.}$ $0 \ к E _ {{0, q}} ^ {{\ infty}} \ к H_ {q} \ к E _ {{n, qn}} ^ {{\ infty}} \ до 0.$

Это точная последовательность

$0 → H q (F) → H q (E) → H q - n (F) → 0. {\ displaystyle 0 \ to H_ {q} (F) \ to H_ {q} (E) \ to H_ {qn} (F) \ to 0.}$ ${\ displaystyle 0 \ to H_ {q} (F) \ to H_ {q} (E) \ к H_ {qn} (F) \ к 0.}$

Собирая все вычисления вместе, получаем:

$⋯ → H q ( F) → i ∗ H q (E) → H q - n (F) → d H q - 1 (F) → i ∗ H q - 1 (E) → H q - n - 1 (F) →… { \ displaystyle \ dots \ to H_ {q} (F) {\ overset {i _ {*}} {\ to}} H_ {q} (E) \ to H_ {qn} (F) {\ overset {d} { \ to}} H_ {q-1} (F) {\ overset {i _ {*}} {\ to}} H_ {q-1} (E) \ to H_ {qn-1} (F) \ to \ точек}$ $\dots \to H_{q}(F){\ov erset {i_{*}}\to }H_{q}(E)\to H_{{q-n}}(F){\overset {d}\to }H_{{q-1}}(F){\overset {i_{*}}\to }H_{{q-1}}(E)\to H_{{q-n-1}}(F)\to \dots$

(Последовательность Гизина получается аналогичным образом.)

Термы низкой степени

С очевидным изменением обозначений тип вычислений в предыдущих примерах можно также провести для когомологической спектральной последовательности. Пусть $E rp, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_{r}^{{p,q}}$ будет спектральной последовательностью первого квадранта, сходящейся к H с убывающей фильтрацией

0 = F n + 1 H n ⊂ F N H n ⊂ ⋯ ⊂ F 0 H n = H n {\ displaystyle 0 = F ^ {n + 1} H ^ {n} \ subset F ^ {n} H ^ {n} \ subset \ точки \ subset F ^ {0} H ^ {n} = H ^ {n}}

0 = F ^ {{n + 1}} H ^ {n} \ subset F ^ {n} H ^ {n} \ subset \ dots \ subset F ^ {0} H ^ {n} = H ^ {n}

, так что $E ∞ p, q = F p H p + q / F p + 1 H p + q. {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {p, q} = F ^ {p} H ^ {p + q} / F ^ {p + 1} H ^ {p + q}.}$ $E _ {{\ infty}} ^ {{p, q}} = F ^ {p} H ^ {{p + q}} / F ^ {{p + 1}} H ^ {{p + q}}.$ Поскольку $E 2 p, q {\ displaystyle E_ {2} ^ {p, q}}$ ${\ displaystyle E_ {2} ^ {p, q}}$ равно нулю, если p или q отрицательны, мы имеем:

0 → E ∞ 0, 1 → E 2 0, 1 → d E 2 2, 0 → E ∞ 2, 0 → 0. {\ displaystyle 0 \ to E _ {\ infty} ^ {0,1} \ to E_ {2} ^ {0, 1} {\ overset {d} {\ to}} E_ {2} ^ {2,0} \ to E _ {\ infty} ^ {2,0} \ to 0.}

0 \ to E _ {{\ infty}} ^ {{0,1}} \ to E_ {2} ^ {{0,1}} {\ overset {d} \ to} E_ {2} ^ {{2,0}} \ to E _ {{\ infty} } ^ {{2,0}} \ до 0.

Поскольку $E ∞ 1, 0 = E 2 1, 0 {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {1,0} = E_ {2} ^ {1,0}}$ $E _{{\infty }}^{{1,0}}=E_{2}^{{1,0}}$ по той же причине и поскольку $F 2 ЧАС 1 знак равно 0, {\ Displaystyle F ^ {2} H ^ {1} = 0,}$ $F^{2}H^{1}=0,$

0 → E 2 1, 0 → H 1 → E ∞ 0, 1 → 0 {\ displaystyle 0 \ в E_ {2} ^ {1,0} \ в H ^ {1} \ в E _ {\ infty} ^ {0,1} \ в 0}

0\to E_{2}^{{1,0}}\to H^{1}\to E_{{\infty }}^{{0,1}}\to 0

Поскольку $F 3 H 2 = 0 {\ displaystyle F ^ {3} H ^ {2} = 0}$ $F ^ {3 } H ^ {2} = 0$ , $E ∞ 2, 0 ⊂ H 2 {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {2,0} \ subset H ^ {2}}$ $E_{{\infty }}^{{2,0}}\subset H^{2}$ . Складывая последовательности вместе, мы получаем так называемую точную пятичленную последовательность :

0 → E 2 1, 0 → H 1 → E 2 0, 1 → d E 2 2, 0 → H 2. {\ displaystyle 0 \ to E_ {2} ^ {1,0} \ to H ^ {1} \ to E_ {2} ^ {0,1} {\ overset {d} {\ to}} E_ {2} ^ {2,0} \ to H ^ {2}.}

0\to E_{2}^{{1,0}}\to H^{1}\to E_{2}^{{0,1}}{\overset {d}\to }E_{2}^{{2,0}}\to H^{2}.

Карты краев и трансгрессии

Гомологические спектральные последовательности

Пусть $E p, qr {\ displaystyle E_ { p, q} ^ {r}}$ $E _ {{p, q}} ^ {r}$ - спектральная последовательность. Если $E p, qr = 0 {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {r} = 0}$ $E _ {{p, q}} ^ {r} = 0$ для каждого q < 0, then it must be that: for r ≥ 2,

E p, 0 r + 1 = ker ⁡ (d : E p, 0 r → E p - r, r - 1 r) {\ displaystyle E_ {p, 0} ^ {r + 1} = \ operatorname {ker} (d: E_ {p, 0} ^ {r } \ to E_ {pr, r-1} ^ {r})}

E _ {{p, 0}} ^ {{r + 1}} = \ operatorname {ker} (d: E _ {{ p, 0}} ^ {r} \ to E _ {{pr, r-1}} ^ {r})

, поскольку знаменатель равен нулю. Следовательно, существует последовательность мономорфизмов:

E p, 0 r → E p, 0 r - 1 → ⋯ → E p, 0 3 → E p, 0 2 {\ displaystyle E_ {p, 0} ^ { r} \ to E_ {p, 0} ^ {r-1} \ to \ dots \ to E_ {p, 0} ^ {3} \ to E_ {p, 0} ^ {2}}

E_{{p,0}}^{{r}}\to E_{{p,0}}^{{r-1}}\to \dots \to E_{{p,0}}^{3}\to E_{{p,0}}^{2}

Они называется краевыми картами. Аналогично, если $E p, qr = 0 {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {r} = 0}$ $E _ {{p, q}} ^ {r} = 0$ для каждого p < 0, then there is a sequence of epimorphisms (also called the edge maps):

E 0, q 2 → E 0, q 3 → ⋯ → E 0, qr - 1 → E 0, qr {\ displaystyle E_ {0, q} ^ {2} \ to E_ {0, q} ^ {3} \ to \ dots \ to E_ {0, q} ^ {r-1} \ to E_ {0, q} ^ {r}}

E_{{0,q}}^{2}\to E_{{0,q}}^{3}\to \dots \to E_{{0,q}}^{{r-1}}\to E_{{0,q}}^{r}

Преступление - это частично определенная карта (точнее, карта из подобъекта к частному )

τ: E p, 0 2 → E 0, p - 1 2 {\ displaystyle \ tau: E_ {p, 0} ^ {2} \ to E_ {0, p-1} ^ {2 }}

\tau :E_{{p,0}}^{2}\to E_{{0,p-1}}^{2}

задано как композиция $E p, 0 2 → E p, 0 p → d E 0, p - 1 p → E 0, p - 1 2 {\ displaystyle E_ {p, 0} ^ {2} \ to E_ {p, 0} ^ {p} {\ overset {d} {\ to}} E_ {0, p-1} ^ {p} \ to E_ {0, p-1} ^ { 2}}$ $E _ {{p, 0}} ^ {2} \ to E _ {{p, 0}} ^ {p} {\ overset {d} \ to} E_ { {0, p-1}} ^ {p} \ to E _ {{0, p-1}} ^ {2}$ , первая и последняя карты являются инверсиями краевых карт.

Когомологические спектральные последовательности

Для спектральной последовательности $E rp, q { \ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_{r}^{{p,q}}$ когомологического типа, аналогичные утверждения верны. Если $E rp, q = 0 {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q } = 0}$ ${\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} = 0}$ для каждого q < 0, then there is a sequence of epimorphisms

E 2 p, 0 → E 3 p, 0 → ⋯ → E r - 1 p, 0 → E rp, 0 {\ displaystyle E_ {2} ^ {p, 0} \ to E_ {3} ^ {p, 0} \ to \ dots \ to E_ {r-1} ^ {p, 0} \ to E_ {r} ^ {p, 0}}

E _ {2} } ^ {{p, 0}} \ to E _ {{3}} ^ {{p, 0}} \ to \ dots \ to E _ {{r-1}} ^ {{p, 0}} \ to E_ {r} ^ {{p, 0}}

И если $E rp, q = 0 {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} = 0}$ ${\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} = 0}$ для каждого p < 0, then there is a sequence of monomorphisms:

E р 0, q → E r - 1 0, q → ⋯ → E 3 0, q → E 2 0, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {0, q} \ к E_ {r-1} ^ {0, q} \ to \ dots \ to E_ {3} ^ {0, q} \ to E_ {2} ^ {0, q}}

E_{{r}}^{{0,q}}\to E_{{r-1}}^{{0,q}}\to \dots \to E_{{3}}^{{0,q}}\to E_{2}^{{0,q}}

Нарушение не обязательно является четко определенной картой:

τ : E 2 0, q - 1 → E 2 q, 0 {\ displaystyle \ tau: E_ {2} ^ {0, q-1} \ to E_ {2} ^ {q, 0}}

\ tau: E_ {2} ^ {{0, q-1}} \ to E_ {2} ^ { {q, 0}}

вызвано $d: E q 0, q - 1 → E qq, 0 {\ displaystyle d: E_ {q} ^ {0, q-1} \ to E_ {q} ^ {q, 0}}$ $d: E_ {q} ^ {{0, q-1}} \ to E_ {q} ^ {{q, 0}}$ .

Приложение

Определение этих карт является фундаментальным для вычисления многих дифференциалов в спектральной последовательности Серра. Например, карта трансгрессии определяет дифференциал

$dn: E n, 0 n → E 0, n - 1 n {\ displaystyle d_ {n}: E_ {n, 0} ^ {n} \ to E_ {0, n-1} ^ {n}}$ ${\ displaystyle d_ {n}: E_ {n, 0} ^ {n} \ to E_ {0, n-1} ^ {n}}$

для гомологической спектральной спектральной последовательности, следовательно, на спектральной последовательности Серра для расслоения $F → E → B {\ displaystyle F \ to E \ to B}$ $F\to E\to B$ дает карту

$dn: H n (B) → H n - 1 (F) {\ displaystyle d_ {n}: H_ {n} (B) \ to H_ {n-1} (F) }$ ${\ displaystyle d_ {n}: H_ {n} (B) \ to H_ {n-1} (F)}$

Мультипликативная структура

A чашечное произведение дает кольцевую структуру группе когомологий, превращая ее в кольцо когомологий. Таким образом, естественно рассматривать спектральную последовательность также с кольцевой структурой. Пусть $E r p, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_{r}^{{p,q}}$ - спектральная последовательность когомологического типа. Мы говорим, что он имеет мультипликативную структуру, если (i) $E r {\ displaystyle E_ {r}}$ $E_{r}$ являются (дважды градуированными) дифференциальными градуированными алгебрами и (ii) умножением на $E r + 1 {\ displaystyle E_ {r + 1}}$ $E _ {{r + 1}}$ индуцируется тем, что на $E r {\ displaystyle E_ {r}}$ $E_{r}$ через переход к когомологии.

Типичным примером является когомологическая спектральная последовательность Серра для расслоения $F → E → B {\ displaystyle F \ to E \ to B}$ $F\to E\to B$ , когда группа коэффициентов является кольцом R. Она имеет мультипликативную структуру, индуцированную чашечными продуктами волокна и основания на $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ $E_{2}$ -странице. Однако в целом ограничивающий член $E ∞ {\ displaystyle E _ {\ infty}}$ $E _ {{\ infty}}$ не изоморфен H (E; R) как градуированная алгебра. Мультипликативная структура может быть очень полезной для вычисления дифференциалов в последовательности.

Конструкции спектральных последовательностей

Спектральные последовательности могут быть построены различными способами. В алгебраической топологии точная пара, пожалуй, самый распространенный инструмент для построения. В алгебраической геометрии спектральные последовательности обычно строятся из фильтрации коцепных комплексов.

Точные пары

Самым мощным методом построения спектральных последовательностей является метод точных пар Уильяма Мэсси. Точные пары особенно распространены в алгебраической топологии, где существует множество спектральных последовательностей, для которых не известно никакой другой конструкции. Фактически, все известные спектральные последовательности могут быть построены с использованием точных пар. Несмотря на это, они непопулярны в абстрактной алгебре, где большинство спектральных последовательностей происходит от фильтрованных комплексов. Чтобы определить точные пары, мы снова начнем с абелевой категории. Как и раньше, на практике это обычно категория дважды градуированных модулей над кольцом. точная пара - это пара объектов A и C вместе с тремя гомоморфизмами между этими объектами: f: A → A, g: A → C и h: C → A при определенных условиях точности:

Изображение f = Ядро g
Изображение g = Ядро h
Изображение h = Ядро f

Мы будем сокращать эти данные до (A, C, f, g, h). Точные пары обычно изображают в виде треугольников. Мы увидим, что C соответствует члену E 0 спектральной последовательности и что A является некоторыми вспомогательными данными.

Чтобы перейти к следующему листу спектральной последовательности, мы сформируем производную пару . Мы устанавливаем:

d = g oh
A '= f (A)
C' = Ker d / Im d
f '= f | A', ограничение f на A '
h': C '→ A' индуцируется h. Несложно увидеть, что h индуцирует такое отображение.
g ': A' → C 'определяется на элементах следующим образом: для каждого a в A' запишите a как f (b) для некоторого b в A. g '(a) определяется как образ g (b) в C'. Вообще говоря, g 'можно построить с помощью одной из теорем вложения для абелевых категорий.

Отсюда легко проверить, что (A', C ', f', g ', h') - точная пара. C 'соответствует члену E 1 спектральной последовательности. Мы можем повторить эту процедуру, чтобы получить точные пары (A, C, f, g, h). Мы позволяем E n быть C, а d n быть g o h. Это дает спектральную последовательность.

Спектральные последовательности, построенные с помощью этого метода

Спектральная последовательность Серра - используется для вычисления (со) гомологии расслоения
Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха - используется для вычисления (со) гомология экстраординарных теорий когомологий, таких как К-теория
Спектральная последовательность Бокштейна.
Спектральная последовательность фильтрованных комплексов

Спектральная последовательность фильтрованного комплекса

Очень распространенный тип спектральных последовательность происходит от отфильтрованного коцепного комплекса. Это коцепной комплекс C вместе с набором подкомплексов FC, где p изменяется по всем целым числам. (На практике p обычно ограничено с одной стороны.) Мы требуем, чтобы граничное отображение было согласовано с фильтрацией; это означает, что d (FC) ⊆ FC. Считаем, что фильтрация убывающая, т.е. FC ⊇ FC. Пронумеруем члены коцепного комплекса n. Позже мы также будем предполагать, что фильтрация хаусдорфова или разделенная, то есть пересечение множества всех FC равно нулю, и что фильтрация является исчерпывающей, то есть объединение множества всех FC составляет всю цепочку комплекс C.

Фильтрация полезна, потому что она дает меру близости к нулю: по мере увеличения p FC становится все ближе и ближе к нулю. Мы построим спектральную последовательность из этой фильтрации, в которой кограницы и коциклы на более поздних листах становятся все ближе и ближе к кограницам и коциклам в исходном комплексе. Эта спектральная последовательность дважды градуирована степенью фильтрации p и дополнительной степенью q = n - p. (Дополнительная степень часто является более удобным показателем, чем общая степень n. Например, это верно для спектральной последовательности двойного комплекса, объясненной ниже.)

Мы построим эту спектральную последовательность вручную. C имеет только одну оценку и фильтрацию, поэтому сначала мы создаем объект с двойной оценкой из C. Чтобы получить вторую оценку, мы возьмем связанный оцениваемый объект в отношении фильтрации. Запишем его необычным способом, который будет оправдан на шаге E 1 :

Z - 1 p, q = Z 0 p, q = F p C p + q {\ displaystyle Z_ {-1} ^ {p, q} = Z_ {0} ^ {p, q} = F ^ {p} C ^ {p + q}}

Z _ {- 1} ^ {p, q} = Z_0 ^ {p, q} = F ^ p C ^ {p + q}

B 0 p, q = 0 {\ displaystyle B_ { 0} ^ {p, q} = 0}

B_0^{p,q} = 0

E 0 p, q = Z 0 p, q B 0 p, q + Z - 1 p + 1, q - 1 = F p C p + q F p + 1 С п + q {\ displaystyle E_ {0} ^ {p, q} = {\ frac {Z_ {0} ^ {p, q}} {B_ {0} ^ {p, q} + Z _ {- 1} ^ {p + 1, q-1}}} = {\ frac {F ^ {p} C ^ {p + q}} {F ^ {p + 1} C ^ {p + q}}}}

E_0 ^ {p, q} = \ frac {Z_0 ^ {p, q}} {B_0 ^ {p, q} + Z _ {- 1} ^ {p + 1, q-1}} = \ frac {F ^ p C ^ {p + q}} {F ^ {p + 1} C ^ {p + q}}

E 0 знак равно ⨁ p, q ∈ ZE 0 p, q {\ displaystyle E_ {0} = \ bigoplus _ {p, q \ in \ mathbf {Z}} E_ {0} ^ {p, q}}

{\ displaystyle E_ {0} = \ bigoplus _ {p, q \ in \ mathbf {Z}} E_ {0} ^ {p, q} }

Поскольку мы предположили, что граничная карта была совместима с фильтрацией, E 0 является двояковыпуклым объектом, и существует естественная двояковыпуклая граничная карта d 0 на E 0. Чтобы получить E 1, возьмем гомологии E 0.

Z ¯ 1 p, q = ker ⁡ d 0 p, q: E 0 p, q → E 0 p, q + 1 = ker ⁡ d 0 п, q: F п C п + q / F p + 1 C p + q → F p C p + q + 1 / F p + 1 C p + q + 1 {\ displaystyle {\ bar {Z) }} _ {1} ^ {p, q} = \ ker d_ {0} ^ {p, q}: E_ {0} ^ {p, q} \ rightarrow E_ {0} ^ {p, q + 1} = \ ker d_ {0} ^ {p, q}: F ^ {p} C ^ {p + q} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q} \ rightarrow F ^ {p} C ^ {p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}

\bar{Z}_1^{p,q} = \ker d_0^{p,q} : E_0^{p,q} \rightarrow E_0^{p,q+1} = \ker d_0^{p,q} : F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q} \rightarrow F^p C^{p+q+1}/F^{p+1} C^{p+q+1}

B ¯ 1 p, q = im d 0 p, q − 1 : E 0 p, q − 1 → E 0 p, q = im d 0 p, q − 1 : F p C p + q − 1 / F p + 1 C p + q − 1 → F p C p + q / F p + 1 C p + q {\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\t_dv{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\t_dv{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q- 1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}

\ bar {B} _1 ^ {p, q} = \ t_dv {im} d_0 ^ {p, q-1}: E_0 ^ {p, q-1} \ rightarrow E_0 ^ {p, q} = \ t_dv {im} d_0 ^ {p, q-1}: F ^ p C ^ {p + q-1} / F ^ {p +1} C ^ {p + q-1} \ rightarrow F ^ p C ^ {p + q} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q}

E 1 p, q = Z ¯ 1 p, q B ¯ 1 p, q = ker ⁡ d 0 p, q : E 0 p, q → E 0 p, q + 1 im d 0 p, q − 1 : E 0 p, q − 1 → E 0 p, q {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}} {{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q +1}}{{\t_dv{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}}

E_1 ^ {p, q} = \ frac {\ bar {Z} _1 ^ {p, q}} {\ bar {B} _1 ^ {p, q}} = \ frac {\ ker d_0 ^ {p, q}: E_0 ^ {p, q} \ rightarrow E_0 ^ {p, q +1}} {\ t_dv {im} d_0 ^ {p, q-1}: E_0 ^ {p, q-1} \ rightarrow E_0 ^ {p, q}}

E 1 = ⨁ p, q ∈ Z E 1 p, q = ⨁ p, q ∈ Z Z ¯ 1 p, q B ¯ 1 p, q {\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}}

{\ displaystyle E_ {1} = \ bigoplus _ {p, q \ in \ mathbf {Z}} E_ {1} ^ {p, q} = \ bigoplus _ {p, q \ in \ mathbf {Z}} {\ frac {{\ bar {Z}} _ {1} ^ {p, q}} {{ \ bar {B}} _ {1} ^ {p, q}}}}

Notice that $Z ¯ 1 p, q {\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}}$ $\ bar {Z} _1 ^ {p, q}$ and $B ¯ 1 p, q {\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}}$ $\ bar {B} _1 ^ {p, q}$ can be written as the images in $E 0 p, q {\displaystyle E_{0}^{p,q}}$ $E_0 ^ {p, q}$ of

Z 1 p, q = ker ⁡ d 0 p, q : F p C p + q → C p + q + 1 / F p + 1 C p + q + 1 {\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\kerd_ {0} ^ {p, q}: F ^ {p} C ^ {p + q} \ rightarrow C ^ {p + q + 1} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q + 1 }}

Z_1 ^ {p, q} = \ ker d_0 ^ {p, q}: F ^ p C ^ {p + q} \ rightarrow C ^ {p + q + 1} / F ^ {p + 1} C ^ {p + q + 1}

B 1 p, q = (im d 0 p, q - 1: F p C p + q - 1 → C p + q) ∩ F p C p + q {\ displaystyle B_ {1} ^ {p, q} = ({\ t_dv {im}} d_ {0} ^ {p, q-1}: F ^ {p} C ^ {p + q-1} \ rightarrow C ^ {p + q})) \ cap F ^ {p} C ^ {p + q}}

B_1 ^ {p, q} = (\ t_dv {im} d_0 ^ {p, q-1}: F ^ p C ^ {p + q-1} \ rightarrow C ^ {p + q}) \ cap F ^ p C ^ {p + q}

и что тогда мы имеем

E 1 p, q = Z 1 p, q B 1 p, q + Z 0 p + 1, д - 1. {\ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = {\ frac {Z_ {1} ^ {p, q}} {B_ {1} ^ {p, q} + Z_ {0} ^ {p + 1, q-1}}}.}

E_1^{p,q} = \frac{Z_1^{p,q}}{B_1^{p,q} + Z_0^{p+1,q-1}}.

$Z 1 p, q {\ displaystyle Z_ {1} ^ {p, q}}$ $Z_1 ^ {p, q}$ - именно то, что дифференциал поднимает на один уровень вверх в фильтрация, а $B 1 p, q {\ displaystyle B_ {1} ^ {p, q}}$ $B_1 ^ {p, q}$ - это в точности изображение материала, который дифференциал поднимает на нулевые уровни фильтрации. Это говорит о том, что мы должны выбрать $Z rp, q {\ displaystyle Z_ {r} ^ {p, q}}$ $Z_r^{p,q}$ в качестве материала, который разность увеличивает r уровней фильтрации и $B rp, q {\ displaystyle B_ {r} ^ {p, q}}$ $B_r ^ {p, q}$ , чтобы быть изображением того материала, который дифференциал поднимает уровень r-1 при фильтрации. Другими словами, спектральная последовательность должна удовлетворять

Z rp, q = ker ⁡ d 0 p, q: F p C p + q → C p + q + 1 / F p + r C p + q + 1 { \ displaystyle Z_ {r} ^ {p, q} = \ ker d_ {0} ^ {p, q}: F ^ {p} C ^ {p + q} \ rightarrow C ^ {p + q + 1} / F ^ {p + r} C ^ {p + q + 1}}

Z_r^{p,q} = \ker d_0^{p,q} : F^p C^{p+q} \rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r} C^{p+q+1}

B rp, q = (im d 0 p - r + 1, q + r - 2: F p - r + 1 C p + q - 1 → С п + q) ∩ F п С п + q {\ Displaystyle B_ {r} ^ {p, q} = ({\ t_dv {im}} d_ {0} ^ {p-r + 1, q + r-2}: F ^ {p-r + 1} C ^ {p + q-1} \ rightarrow C ^ {p + q}) \ cap F ^ {p} C ^ {p + q}}

B_r ^ {p, q} = (\ t_dv {im} d_0 ^ {p-r + 1, q + r -2}: F ^ {p-r + 1} C ^ {p + q-1} \ rightarrow C ^ {p + q}) \ cap F ^ p C ^ {p + q}

E rp, q = Z rp, q B rp, q + Z r - 1 p + 1, q - 1 {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} = {\ frac {Z_ {r}) ^ {p, q}} {B_ {r} ^ {p, q} + Z_ {r-1} ^ {p + 1, q-1}}}}

E_r ^ {p, q} = \ frac {Z_r ^ {p, q}} {B_r ^ {p, q } + Z_ {r-1} ^ {p + 1, q-1}}

и у нас должно получиться соотношение

B rp, q = d 0 p, q (Z r - 1 p - r + 1, q + r - 2). {\ displaystyle B_ {r} ^ {p, q} = d_ {0} ^ {p, q} (Z_ {r-1} ^ {p-r + 1, q + r-2}).}

B_r ^ {p, q} = d_0 ^ {p, q} (Z_ {r-1} ^ {p-r + 1, q + r-2}).

Чтобы это имело смысл, мы должны найти дифференциал d r на каждом E r и убедиться, что он приводит к гомологии, изоморфной E r + 1. Дифференциал

drp, q: E rp, q → E rp + r, q - r + 1 {\ displaystyle d_ {r} ^ {p, q}: E_ {r} ^ {p, q} \ rightarrow E_ {r} ^ {p + r, q-r + 1}}

d_r ^ {p, q}: E_r ^ {p, q} \ rightarrow E_r ^ {p + r, q-r + 1}

определяется путем ограничения исходного дифференциала d, определенного на $C p + q {\ displaystyle C ^ {p + q}}$ $C ^ {p + q}$ подобъекту $Z rp, q {\ displaystyle Z_ {r} ^ {p, q}}$ $Z_r^{p,q}$ .

Несложно проверить, что гомология E r относительно к этому дифференциалу E r + 1, так что это дает спектральную последовательность. К сожалению, разница не очень четкая. Определение дифференциалов или поиск способов их обхода - одна из основных задач успешного применения спектральной последовательности.

Приложения

Могут быть использованы для построения смешанных структур Ходжа

Спектральные последовательности, построенные с фильтрованными комплексами

Спектральная последовательность Ходжа – де Рама
Спектральная последовательность двойного комплекса

Спектральная последовательность двойного комплекса

Другой распространенной спектральной последовательностью является спектральная последовательность двойного комплекса. Двойной комплекс - это совокупность объектов C i, j для всех целых чисел i и j вместе с двумя дифференциалами, d и d. Предполагается, что d уменьшает i, а d - уменьшает j. Кроме того, мы предполагаем, что дифференциалы антикоммутируют, так что dd + dd = 0. Наша цель - сравнить повторяющиеся гомологии $H i I (H j II (C ∙, ∙)) {\ displaystyle H_ {i} ^ {I} (H_ {j} ^ {II} (C _ {\ bullet, \ bullet}))}$ $H ^ I_i (H ^ {II} _j (C _ {\ bullet, \ bullet}))$ и $H j II (H i I (C ∙, ∙)) {\ displaystyle H_ {j} ^ {II} (H_ {i} ^ {I} (C _ {\ bullet, \ bullet}))}$ $H ^ {II} _j (H ^ I_i (C _ {\ bullet, \ bullet}))$ . Мы сделаем это, отфильтровав наш двойной комплекс двумя способами. Вот наша фильтрация:

(C i, j I) p = {0 if i < p C i, j if i ≥ p {\displaystyle (C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0{\text{if }}i

(C_ {i, j} ^ I) _p = \ begin {cases} 0 \ text {if} i <p \\ C_ {i, j} \ text {if} i \ ge p \ end {cases}

(C i, j II) p = {0 if j < p C i, j if j ≥ p {\displaystyle (C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0{\text{if }}j

(C_ {i, j} ^ {II}) _ p = \ begin { case} 0 \ text {if} j <p \\ C_ {i, j} \ text {if} j \ ge p \ end {cases}

Чтобы получить спектральную последовательность, мы сведем к предыдущий пример. Мы определяем полный комплекс T (C •, •) как комплекс, n-й член которого равен $⨁ i + j = n C i, j {\ displaystyle \ bigoplus _ {i + j = n} C_ {i, j}}$ $\bigoplus_{i+j=n} C_{i,j}$ и дифференциал которого равенство d + d. Это сложно, потому что d и d - антикоммутирующие дифференциалы. Две фильтрации по C i, j дают две фильтрации по всему комплексу:

T n (C ∙, ∙) p I = ⨁ i + j = ni>p - 1 C i, j {\ displaystyle T_ {n} (C _ {\ bullet, \ bullet}) _ {p} ^ {I} = \ bigoplus _ {я + j = n \ на вершине i>p-1} C_ {i, j}}

T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_p = \bigoplus_{i+j=n \atop i>p-1} C_ {i, j}

T n (C ∙, ∙) p II = ⨁ i + j = nj>p - 1 C i, j {\ displaystyle T_ {n} (C _ {\ bullet, \ bullet }) _ {p} ^ {II} = \ bigoplus _ {i + j = n \ atop j>p-1} C_ {i, j}}

T_n(C_{\bullet,\bullet})^{II}_p = \bigoplus_{i+j=n \atop j>p-1} C_ {i, j }

Чтобы показать, что эти спектральные Последовательности дают информацию о повторных гомологиях, мы разработали члены E, E и E фильтрации I на T (C •, •). Член E ясен:

IE p, q 0 = T n (C ∙, ∙) p I / T n (C ∙, ∙) p + 1 I = ⨁ i + j = ni>p - 1 C я, j / ⨁ я + ​​J знак равно Ni>п С я, j = С п, q, {\ displaystyle {} ^ {I} E_ {p, q} ^ {0} = T_ {n} (C _ {\ bullet, \ bullet}) _ {p} ^ {I} / T_ {n} (C _ {\ bullet, \ bullet}) _ {p + 1} ^ {I} = \ bigoplus _ {i + j = n \ на вершине i>p-1} C_ {i, j} {\ Big /} \ bigoplus _ {i + j = n \ atop i>p} C_ {i, j} = C_ {p, q},}

${}^IE^0_{p,q} = T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_p / T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_{p+1} = \bigoplus_{i+j=n \atop i>p-1} C_ {i, j} \ Big / \ bigoplus_ {i + j = n \ atop i>p} C_ {i, j} = C_ {p, q},$

где n = p + q.

482>Чтобы найти член E, нам нужно определить d + d на E. Обратите внимание, что дифференциал должен иметь степень -1 по n, поэтому мы получаем

dp, q I + dp, q II: T n (C ∙, ∙) p I / T n (C ∙, ∙) p + 1 I = C p, q → T n - 1 (C ∙, ∙) p I / T n - 1 (C ∙, ∙) п + 1 я знак равно С п, д - 1 {\ Displaystyle d_ {р, д} ^ {I} + d_ {p, q} ^ {II}: T_ {n} (C _ {\ bullet, \ bullet}) _ {p} ^ {I} / T_ {n} (C _ {\ bullet, \ b ullet }) _ {p + 1} ^ {I} = C_ {p, q} \ rightarrow T_ {n-1} (C _ {\ bullet, \ bullet}) _ {p} ^ {I} / T_ {n -1} (C _ {\ bullet, \ bullet}) _ {p + 1} ^ {I} = C_ {p, q-1}}

d ^ I_ {p, q} + d ^ {II} _ {p, q}: T_n (C _ {\ bullet, \ bullet}) ^ I_p / T_n (C_ { \ bullet, \ bullet}) ^ I_ {p + 1} = C_ {p, q} \ rightarrow T_ {n-1} (C _ {\ bullet, \ bullet}) ^ I_p / T_ {n-1} (C_ {\ bullet, \ bullet}) ^ I_ {p + 1} = C_ {p, q-1}

Следовательно, дифференциал на E - это отображение C p, q → C p, q - 1, индуцированное d + d. Но d имеет неправильную степень, чтобы вызвать такое отображение, поэтому d должно быть равен нулю на E. Это означает, что дифференциал равенство d, поэтому мы получаем

I E p, q 1 = H q I I (C p, ∙). {\ displaystyle {} ^ {I} E_ {p, q} ^ {1} = H_ {q} ^ {II} (C_ {p, \ bullet}).}

{} ^ IE ^ 1_ {p, q} = H ^ {II} _q (C_ {p, \ bullet}).

Чтобы найти E, нам нужно определить

dp, q I + dp, q II: H q II (C p, ∙) → H q II (C p + 1, ∙) {\ displaystyle d_ {p, q} ^ {I} + d_ {p, q} ^ {II}: H_ {q} ^ {II} (C_ {p, \ bullet}) \ rightarrow H_ {q} ^ {II} (C_ {p + 1, \ bullet})}

d^I_{p,q} + d^{II}_{p,q} : H^{II}_q(C_{p,\bullet}) \rightarrow H^{II}_q(C_{p+1,\bullet})

E было точностью в гомологией относительно d, d равно нулю на E. Следовательно, мы получаем

IE p, q 2 = H p I (H q II (C ∙, ∙)). {\ displaystyle {} ^ {I} E_ {p, q} ^ {2} = H_ {p} ^ {I} (H_ {q} ^ {II} (C _ {\ bullet, \ bullet})). }

{} ^ IE ^ 2_ {p, q} = H ^ I_p ( H ^ {II} _q (C _ {\ bullet, \ bullet})).

Использование другой фильтрации дает нам другую спектральную последовательность с аналогичным членом E:

IIE p, q 2 = H q II (H p I (C ∙, ∙)). {\ displaystyle {} ^ {II} E_ {p, q} ^ {2} = H_ {q} ^ {II} (H_ {p} ^ {I} (C _ {\ bullet, \ bullet})). }

{} ^ {II} E ^ 2_ {p, q} = H ^ {II} _q (H ^ {I} _p (C _ {\ bullet, \ bullet})).

Осталось найти связь между этими двумя спектральными последовательностями. Оказывается, что по мере увеличения r две монтажные системы достаточно похожими, чтобы было полезно использовать сравнение.

Конвергенция, вырождение и упор

В простейшем примере, с которого мы начали, листы взять спектральную последовательность были постоянными, если r было не менее 1. В этой настройке есть смысл ограничения листов: после нулевого листа ничего не происходит, ограничивающий лист E ∞ такой же, как E 1.

. В более общих ситуациях ограничивающие листы часто существуют и всегда интересны. Это один из самых мощных спектральных последовательностей. Мы говорим, что спектральная последовательность $E rp, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_r ^ {p, q}$ сходится к или упирается в $E ∞ p, q {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {p, q}}$ $E_\infty^{p,q}$ , если существует r (p, q) такое, что для всех r ≥ r (p, q) дифференциалы $drp - r, q + r - 1 {\ displaystyle d_ {r} ^ {pr, q + r-1}}$ $d_r ^ {pr, q + r-1}$ и $drp, q {\ displaystyle d_ {r} ^ {p, q}}$ $d_r ^ {p, q}$ равны нулю. Это заставляет $E rp, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_r ^ {p, q}$ быть изоморфным $E ∞ p, q {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ { p, q}}$ $E_\infty^{p,q}$ для большого р. В символах мы пишем:

E rp, q ⇒ p E ∞ p, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} \ Rightarrow _ {p} E _ {\ infty} ^ {p, q} }

E_r ^ {p, q} \ Rightarrow_p E_ \ infty ^ {p, q}

Буква p указывает индекс фильтрации. Очень часто термин $E 2 p, q {\ displaystyle E_ {2} ^ {p, q}}$ $E_2^{p,q}$ слева от абатмента, потому что это наиболее полезный термин для большинства спектральных последовательностей.

В большинстве спектральных последовательностей термин $E ∞ {\ displaystyle E _ {\ infty}}$ $E_\infty$ естественно не является объектом с двойной оценкой. Вместо этого обычно есть $E ∞ n {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {n}}$ $E_ \ infty ^ n$ термины с естественной фильтрацией $F ∙ E ∞ n {\ displaystyle F ^ {\ bullet } E _ {\ infty} ^ {n}}$ $F ^ \ bullet E_ \ infty ^ n$ . В этих случаях полагаем $E ∞ p, q = gr p E ∞ p + q = F p E ∞ p + q / F p + 1 E ∞ p + q {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ { p, q} = {\ t_dv {gr}} _ {p} E _ {\ infty} ^ {p + q} = F ^ {p} E _ {\ infty} ^ {p + q} / F ^ { p + 1} E _ {\ infty} ^ {p + q}}$ $E_ \ infty ^ {p, q} = \ t_dv {gr} _p E_ \ infty ^ {p + q} = F ^ pE_ \ infty ^ {p + q} / F ^ {p + 1} E_ \ infty ^ {p + q}$ . Мы определяем сходимость так же, как и раньше, но пишем

E rp, q ⇒ p E ∞ n {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} \ Rightarrow _ {p} E _ {\ infty} ^ {n}}

E_r ^ {p, q} \ Rightarrow_p E_ \ infty ^ n

означает, что всякий раз, когда p + q = n, $E rp, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_r ^ {p, q}$ сходится к $E ∞ p, q {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {p, q}}$ $E_\infty^{p,q}$ .

Простейшая ситуация, в которой мы можем определить сходимость, - это когда спектральные последовательности вырождаются. Мы говорим, что спектральная последовательность вырождается на листе r, если для любого s ≥ r дифференциал d s равен нулю. Это означает, что E r ≅ E r + 1 ≅ E r + 2 ≅... В частности, это означает, что E r изоморфно E ∞. Это то, что произошло в нашем тривиальном примере нефильтрованного цепного комплекса: спектральная последовательность выродилась на первом листе. В общем, если дважды градуированная спектральная последовательность равна нулю за пределами горизонтальной или вертикальной полосы, спектральная последовательность будет вырождаться, потому что более поздние дифференциалы всегда будут идти к или от объекта, не находящегося в полосе.

Спектральная последовательность также сходится, если $E rp, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_r ^ {p, q}$ обращается в нуль для всех p, меньших p 0 и для всех q меньше некоторого q 0. Если p 0 и q 0 могут быть выбраны равными нулю, это называется спектральной последовательностью первого квадранта. Эта последовательность сходится, потому что каждый объект находится на фиксированном расстоянии от края ненулевой области. Следовательно, для фиксированных p и q дифференциал на первых листах всегда отображает $E r p, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_r ^ {p, q}$ от или к нулевому объекту; более наглядно, дифференциал выходит из квадранта, члены которого не равны нулю. Однако спектральная последовательность не должна вырождаться, потому что не все трансляции могут быть одновременно нулевыми. Точно так же спектральная последовательность также сходится, если $E rp, q {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q}}$ $E_r ^ {p, q}$ обращается в нуль для всех p больше некоторого p 0 и для всех q больше некоторого q 0.

пятичленная точная последовательность спектральная последовательность обеспечивает соответствующие члены низкой степени и члены ∞.

См. Также Бордман, Условно включенные спектральные поставляемые.

Примеры вырождения

Спектральная последовательная последовательность фильтрованного комплекса, продолжение

Обратите внимание, что у нас есть цепочка:

Z 0 p, q ⊇ Z 1 п, q ⊇ Z 2 p, q ⊇ ⋯ ⊇ B 2 p, q ⊇ B 1 p, q ⊇ B 0 p, q {\ displaystyle Z_ {0} ^ {p, q} \ supseteq Z_ { 1} ^ {p, q} \ supseteq Z_ {2} ^ {p, q} \ supseteq \ cdots \ supseteq B_ {2} ^ {p, q} \ supseteq B_ {1} ^ {p, q} \ supseteq B_ {0} ^ {p, q}}

Z_0^{p,q} \supe Z_1^{p,q} \supe Z_2^{p,q}\supe\cdots\supe B_2^{p,q} \supe B_1^{p,q} \supe B_0^{p,q}

Мы можем спросить, что произойдет, если мы определим

Z ∞ p, q = ⋂ r = 0 ∞ Z rp, q, {\ displaystyle Z _ {\ infty} ^ {p, q} = \ bigcap _ {r = 0} ^ {\ infty} Z_ {r} ^ {p, q},}

Z_ \ infty ^ {p, q} = \ bigcap_ {r = 0 } ^ \ infty Z_r ^ {p, q},

B ∞ p, q = ⋃ р знак равно 0 ∞ В rp, q, {\ displaystyle B _ {\ infty} ^ {p, q} = \ bigcup _ {r = 0} ^ {\ infty} B_ {r} ^ {p, q},}

B_ \ infty ^ {p, q} = \ bigcup_ {r = 0} ^ \ infty B_r ^ {p, q},

E ∞ п, q знак равно Z ∞ п, q В ∞ п, q + Z ∞ п + 1, q - 1. {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {p, q} = {\ frac {Z _ {\ infty } ^ {p, q}} {B _ {\ infty} ^ {p, q} + Z _ {\ infty} ^ {p + 1, q-1}} }.}

E_ \ infty ^ {p, q} = \ frac {Z_ \ infty ^ {p, q}} {B_ \ infty ^ {p, q} + Z_ \ infty ^ {p + 1, q-1}}.

$E ∞ p, q {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {p, q}}$ $E_\infty^{p,q}$ - естественный кандидат на опору эта спектральная последовательность. Схождение не происходит автоматически, но происходит во многих случаях. В частности, если фильтрация конечна и состоит из ровно нетривиальных шагов, то спектральная последовательность вырождается после r-го листа. Сходимость также имеет место, если комплекс и фильтрация ограничены снизу или оба ограничены сверху.

Чтобы описать опору нашей спектральной системы более подробно, обратите внимание, что у нас есть формулы:

Z ∞ p, q = ⋂ r = 0 ∞ Z rp, q = ⋂ r = 0 ∞ ker ⁡ (F п С п + Q → С п + Q + 1 / F п + р С п + q + 1) {\ Displaystyle Z _ {\ infty} ^ {p, q} = \ bigcap _ {r = 0} ^ {\ infty} Z_ {r} ^ {p, q} = \ bigcap _ {r = 0} ^ {\ infty} \ ker (F ^ {p} C ^ {p + q} \ rightarrow C ^ {p + q + 1} / F ^ {p + r} C ^ {p + q + 1})}

Z_\infty^{p,q} = \bigcap_{r=0}^\infty Z_r^{p,q} = \bigcap_{r=0}^\infty \ker(F^p C^{p+q} \rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r} C^{p+q+1})

B ∞ p, q = ⋃ r = 0 ∞ B rp, q = ⋃ r = 0 ∞ (im dp, q - r: F п - р C p + q - 1 → C p + q) ∩ F p C p + q {\ displaystyle B _ {\ infty} ^ {p, q} = \ bigcup _ {r = 0} ^ {\ infty} B_ {r} ^ {p, q} = \ bigcup _ {r = 0} ^ {\ infty} ({\ t_dv {im}} d ^ {p, qr}: F ^ {pr} C ^ {p + q-1} \ rightarrow C ^ {p + q}) \ cap F ^ {p} C ^ {p + q}}

B_\infty^{p,q} = \bigcup_{r=0}^\infty B_r^{p,q} = \bigcup_{r=0}^\infty (\t_dv{im } d^{p,q-r} : F^{p-r} C^{p+q-1} \rightarrow C^{p+q}) \cap F^p C^{p+q}

Чтобы увидеть, что это означает для $Z ∞ p, q {\ displaystyle Z _ {\ infty} ^ {p, q}}$ $Z_ \ infty ^ {p, q}$ напомним, что мы предполагали, что фильтрация была разделена. Это означает, что по мере увеличения ядра сжимаются, пока не останется $Z ∞ p, q = ker ⁡ (F p C p + q → C p + q + 1) {\ displaystyle Z _ {\ infty} ^ {p, q} = \ ker (F ^ {p} C ^ {p + q} \ rightarrow C ^ {p + q + 1})}$ $Z_\infty^{p,q} = \ker(F^p C^{p+q} \rightarrow C^{p+q+1})$ . Для $B ∞ p, q {\ displaystyle B _ {\ infty} ^ {p, q}}$ $B_ \ infty ^ {p, q}$ напомним, что мы предполагали, что фильтрация была исчерпывающей. Это означает, что по мере увеличения r изображения растут, пока мы не достигли $B ∞ p, q = im (C p + q - 1 → C p + q) ∩ F p C p + q {\ displaystyle B _ {\ infty} ^ {p, q} = {\ text {im}} (C ^ {p + q-1} \ rightarrow C ^ {p + q}) \ cap F ^ {p} C ^ {p + q}}$ $B_ \ infty ^ {p, q} = \ text {im} (C ^ {p + q-1} \ rightarrow C ^ {p + q}) \ cap F ^ p C ^ {p + q}$ . Мы заключаем, что

E ∞ p, q = gr p H p + q (C ∙) {\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {p, q} = {\ t_dv {gr}} _ {p} H ^ {p + q} (C ^ {\ bullet})}

E_\infty^{p,q} = \m box{gr}_p H^{p+q}(C^\bull)

то есть опорой спектральной последовательности является p-я градуированная часть (p + q) -й гомологии C. Если наша спектральная последовательность сходится, то мы заключаем, что:

E rp, q ⇒ p H p + q (C ∙) {\ displaystyle E_ {r} ^ {p, q} \ Rightarrow _ {p} H ^ {p + q} (C ^ {\ bullet})}

E_r ^ {p, q} \ Rightarrow_p H ^ {p + q} (C ^ \ bull)

Длинные точные последовательности

Используя спектральную последовательность фильтрованного комплекса, мы можем вывести существование длинных точных последовательностей. Выберем короткую точную последовательность коцепных комплексов 0 → A → B → C → 0 и назовем первое отображение f: A → B. Мы получим естественные представления объектов гомологии H (A) → H (B) → H (C), и мы знаем, что это точно посередине. Мы будем использовать спектральную последовательность фильтрованного комплекса, чтобы найти связывающий гомоморфизм и доказать, что полученная последовательность точна. Для начала мы фильтруем B:

F 0 B n = B n {\ displaystyle F ^ {0} B ^ {n} = B ^ {n}}

F ^ 0 B ^ n = B ^ n

F 1 B n = A n {\ displaystyle F ^ {1} B ^ {n} = A ^ {n}}

F ^ 1 B ^ n = A ^ n

F 2 B n = 0 {\ displaystyle F ^ {2} B ^ {n} = 0}

F^2 B^n = 0

Это дает:

E 0 п, q знак равно F п В п + q F п + 1 В p + q = {0, если p < 0 or p>1 C q, если p = 0, A q + 1, если p = 1 {\ displaystyle E_ {0} ^ {p, q} = {\ frac {F ^ {p} B ^ {p + q}} {F ^ {p + 1} B ^ {p + q}}} = {\ begin {case} 0 {\ text {if}} p <0{\text{ or }}p>1 \\ C ^ {q} {\ text {if}} p = 0 \\ A ^ {q + 1} {\ text {if }} p = 1 \ end {case}}}

E_{0}^{{p,q}}={\frac {F^{p}B^{{p+q}}}{F^{{p+1}}B^{{p+q}}}}={\begin{cases}0{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1 \\ C ^ {q} {\ text {if}} p = 0 \\ A ^ {{q + 1}} {\ text { if}} p = 1 \ end {cases}}

E 1 p, q = {0, если p < 0 or p>1 H q (C ∙), если p = 0, H q + 1 (A ∙), если p = 1 {\ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = {\ begin {case} 0 {\ text {if}} p <0{\text{ or }}p>1 \\ H ^ {q} (C ^ {\ bullet}) {\ text { если} } p = 0 \\ H ^ {q + 1} (A ^ {\ bullet}) {\ text {if}} p = 1 \ end {cases}}}

$E^{p,q}_1 = \begin{cases} 0 \text{if } p < 0 \text{ or } p>1 \\ H ^ q (C ^ \ bull) \ text {if} p = 0 \\ H ^ {q + 1} (A ^ \ bull) \ text {if} p = 1 \ end {case}$

Дифференциал имеет ширину (1, 0), 0, q : H (C) → H (A). Это связывающие гомоморфизмы из леммы змейка, и вместе с отображаемыми A → B → C они дают последовательность:

⋯ → H q (B ∙) → H q (C ∙) → H q + 1 ( A ∙) → H q + 1 (B ∙) → ⋯ {\ displaystyle \ cdots \ rightarrow H ^ {q} (B ^ {\ bullet}) \ rightarrow H ^ {q} (C ^ {\ bullet}) \ rightarrow H ^ {q + 1} (A ^ {\ bullet}) \ rightarrow H ^ {q + 1} (B ^ {\ bullet}) \ rightarrow \ cdots}

\ cdots \ rightarrow H ^ q (B ^ \ bull) \ rightarrow H ^ q (C ^ \ bull) \ rightarrow H ^ {q + 1} (A ^ \ bull) \ rightarrow H ^ {q + 1} (B ^ \ bull) \ rightarrow \ cdots

Осталось покажите, что эта последовательность точна в точках A и C. Обратите внимание, что эта спектральная последовательность вырождается в член E 2, потому что эта спектральная последовательность имеет бистепень (2, −1). Следовательно, член E 2 такой же, как член E ∞ :

E 2 p, q ≅ gr p H p + q (B ∙) = {0, если p < 0 or p>1 H q (B ∙) / H q (A ∙), если p = 0 im H q + 1 f ∙: H q + 1 (A ∙) → H q + 1 (B ∙), если p = 1 {\ displaystyle E_ {2} ^ {p, q} \ cong {\ text {gr}} _ {p} H ^ {p + q} (B ^ {\ bullet}) = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} p <0{\text{ or }}p>1 \\ H ^ {q} (B ^ {\ bullet}) / H ^ {q} (A ^ {\ bullet}) {\ text {if} } p = 0 \\ {\ text {im}} H ^ {q + 1} f ^ {\ bullet}: H ^ {q + 1} (A ^ {\ bullet}) \ rightarrow H ^ {q + 1 } (B ^ {\ bullet}) {\ text {if}} p = 1 \ end {cases}}}

E^{p,q}_2 \cong \text{gr}_p H^{p+q}(B^\bull) = \begin{cases} 0 \text{if } p < 0 \text{ or } p>1 \\ H ^ q (B ^ \ bull) / H ^ q ( A ^ \ bull) \ text {if} p = 0 \\ \ text {im} H ^ {q + 1} f ^ \ bull: H ^ {q + 1} (A ^ \ bull) \ rightarrow H ^ {q +1} (B ^ \ bull) \ text {if} p = 1 \ end {cases}

Но у нас также есть прямое описание терминала E 2 как гомологии термина E 1. Эти два описания должны быть изоморфными:

H q (B ∙) / H q (A ∙) ≅ ker ⁡ d 0, q 1: ЧАС Q (С ∙) → ЧАС Q + 1 (A ∙) {\ Displaystyle H ^ {q} (B ^ {\ bullet}) / H ^ {q} (A ^ {\ bullet}) \ cong \ ker d_ {0, q} ^ {1}: H ^ {q} (C ^ {\ bullet}) \ rightarrow H ^ {q + 1} (A ^ {\ bullet})}

H ^ q (B ^ \ bull) / H ^ q (A ^ \ bull) \ cong \ ker d ^ 1_ {0, q}: H ^ q ( C ^ \ bull) \ rightarrow H ^ {q + 1} (A ^ \ bull)

im H q + 1 f ∙: H q + 1 (A ∙) → H q + 1 (B ∙) ≅ ЧАС q + 1 (A ∙) / (им d 0, q 1: H q (C ∙) → ЧАС Q + 1 (A ∙)) {\ displaystyle {\ text {im}} H ^ {q + 1} f ^ {\ bullet}: H ^ {q + 1} (A ^ {\ bullet}) \ стрелка вправо H ^ {q + 1} (B ^ {\ bullet}) \ cong H ^ {q + 1 } (A ^ {\ bullet}) / ({\ t_dv {im}} d_ {0, q} ^ {1}: H ^ {q} (C ^ {\ bullet}) \ rightarrow H ^ {q + 1 } (A ^ {\ bullet}))}

\ text {im} H ^ {q + 1} f ^ \ bull: H ^ {q + 1} (A ^ \ bull) \ ri ghtarrow H ^ {q + 1} (B ^ \ bull) \ cong H ^ {q + 1} (A ^ \ bull) / (\ t_dv {im} d ^ 1_ {0, q}: H ^ q (C ^ \ bull) \ rightarrow H ^ {q + 1} (A ^ \ bull))

Первое дает точность в точке C, а второе дает точность в точке А.

Спектральная последовательность двойного комплекса, продолжение

Используя опору для фильтрованного комплекса, мы находимся, что:

H p I (H q II (C ∙, ∙)) ⇒ п ЧАС п + q (T (C ∙, ∙)) {\ displaystyle H_ {p} ^ {I} (H_ {q} ^ {II} (C _ {\ bullet, \ bullet})) \ Rightarrow _ {p} H ^ {p + q} (T (C _ {\ bullet, \ bullet}))}

H^I_p(H^{II}_q(C_{\bull,\bull})) \Rightarrow_p H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))

H q II (H p I (C ∙, ∙)) ⇒ q H p + q (T (C ∙, ∙)) {\ displaystyle H_ {q} ^ {II} (H_ {p} ^ {I} (C _ {\ bullet, \ bullet})) \ Rightarrow _ {q} H ^ {p + q} (T (C _ {\ bullet, \ bullet}))}

H^{II}_q(H^I_p(C_{\bull,\bull})) \Rightarrow_q H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))

В общем, две оценки на H (T (C •, •)) различны. Несмотря на это, все еще можно получить полезную информацию из этих двух спектральных последовательностей.

Коммутативность Tor

Пусть R - кольцо, пусть M - правый R-модуль, а N - левый R-модуль. Напомним, что производные функторы тензорного произведения обозначаются Tor. Tor определяется с помощью проективного разрешения его первого аргумента. Однако оказывается, что $Tor i ⁡ (M, N) = Tor i ⁡ (N, M) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} (M, N) = \ operatorname {Tor} _ {i } (N, M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} (M, N) = \ operatorname {Tor} _ {i} (N, M)}$ . Хотя это можно проверить без спектральной последовательности, это очень просто со спектральными последовательностями.

Выберите проективное разрешение $P ∙ {\ displaystyle P _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle P _ {\ bullet}}$ и $Q ∙ {\ displaystyle Q _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle Q _ {\ bullet}}$ M и N соответственно. Считайте их комплексами, которые обращены в отрицательную степень с дифференциалами и е соответственно. Мы можем построить двойной комплекс, члены которого равны $C i, j = P i ⊗ Q j {\ displaystyle C_ {i, j} = P_ {i} \ otimes Q_ {j}}$ ${\ displaystyle C_ {i, j} = P_ {i} \ otimes Q_ {j}}$ и чьи дифференциалы равны $d ⊗ 1 {\ displaystyle d \ otimes 1}$ $d\otimes 1$ и $(- 1) i (1 ⊗ e) {\ displaystyle (-1) ^ {i} (1 \ otimes e)}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {i} (1 \ otimes e)}$ . (Фактор −1 таков, что дифференциалы антикоммутируют.) Временные проективные модули плоские, взятие тензорного произведения на проективный модуль коммутирует с взятием гомологий, поэтому мы получаем:

H p I (H q II (P ∙ ⊗ Q ∙)) знак равно ЧАС п I (P ∙ ⊗ H q II (Q ∙)) {\ displaystyle H_ {p} ^ {I} (H_ {q} ^ {II} (P _ {\ bullet} \ otimes Q_ {\ bullet}))) = H_ {p} ^ {I} (P _ {\ bullet} \ otimes H_ {q} ^ {II} (Q _ {\ bullet}))}

H ^ I_p (H ^ {II} _q (P_ \ bull \ otimes Q_ \ bull)) = H ^ I_p (P_ \ bull \ otimes H ^ {II} _q (Q_ \ bull))

H q II (H p I (P ∙ ⊗ Q ∙)) знак равно H q II (H p I (P ∙) ⊗ Q ∙) {\ displaystyle H_ {q} ^ {II} (H_ {p} ^ {I} (P _ {\ bullet}) \ otimes Q _ {\ bullet})) = H_ {q} ^ {II} (H_ {p} ^ {I} (P _ {\ bullet}) \ otimes Q _ {\ bullet})}

H ^ {II} _q (H ^ I_p (P_ \ bull \ otimes Q_ \ bull)) = H ^ {II} _q (H ^ I_p (P_ \ bull) \ otimes Q_ \ bull)

Буквально два комплекса резольвенты, их гомологии исчезают вне нулевой степени. В нулевой степени у нас остается

H p I (P ∙ ⊗ N) = Tor p ⁡ (M, N) {\ displaystyle H_ {p} ^ {I} (P _ {\ bullet} \ otimes N) = \ operatorname {Tor} _ {p} (M, N)}

H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)

H q II (M ⊗ Q ∙) = Tor q ⁡ (N, M) {\ displaystyle H_ {q} ^ {II} (M \ иногда Q _ {\ bullet}) = \ operatorname {Tor} _ {q} (N, M)}

{\ displaystyle H_ {q} ^ {II} ( M \ otimes Q _ {\ bullet}) = \ operatorname {Tor} _ {q} (N, M)}

В частности, $E p, q 2 {\ displaystyle E_ {p, q} ^ {2 }}$ $E^2_{p,q}$ члены исчезают за исключением линий q = 0 (для I спектральной последовательности) и p = 0 (для II спектральной последовательности). Благодаря этому члены E изоморфны с E:

Tor p ⁡ (M, N) ≅ E p ∞ = H p (T (C ∙, ∙)) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {p} (M, N) \ cong E_ {p} ^ {\ infty} = H_ {p} (T (C _ {\ bullet, \ bullet}))}

{\ displaystyle \ operatorname { Tor} _ {p} (M, N) \ cong E_ {p} ^ {\ infty} = H_ {p} (T (C _ {\ bullet, \ bullet}))}

Tor q ⁡ ( N, M) ≅ E q ∞ знак равно ЧАС Q (T (C ∙, ∙)) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {q} (N, M) \ cong E_ {q} ^ {\ infty} = H_ {q} (T (C _ {\ bullet, \ bullet}))}

\operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet,\bullet }))

Наконец, когда p и q равны, две правые части равны, и коммутативность Tor следует.

Дополнительные примеры

Вот некоторые известные спектральные последовательности:

Топология и геометрия

Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха из необычной теории когомологий
для гомологий классифицирующего пространства группы.
Спектральная последовательность Бокштейна, связывающая гомологию с коэффициентами mod p и гомологию редуцированного mod p.
, сходящуюся к гомологиям фактор-пространства.
Спектральная последовательность Эйленберга – Мура для сингулярной когомологии отката расслоения
Спектральная последовательность Серра расслоение

Гомотопическая теория

Спектральная последовательность Адамса в стабильной гомотопической теории
Спектральная последовательность Адамса – Новикова, обобщение необычных теорий когомологий.
, сходящееся к гомотопии исходного пространства кофибрации.
сходящееся к гомотопическому копределу функтора.
Хроматическая спектральная последовательность для вычисления начальных членов Адамса– Спектральная последовательность Новикова.
Спектральная последовательность EHP, сходящаяся к стабильным гомотопическим группам сфер
, сходящимся к гомотопическим группам функционального пространства.
для вычисления гомологии пространства по его гомотопии.
сходящаяся к стабильной гомологии пространства по модулю p.
- другое название для.
- другое название.
спектральной последовательности Квиллена для вычисления гомотопия симплициальной группы.
- это другое название.
для вычисления гомотопии клина пространств.

Алгебра

Спектральная последовательность функторов, производных от Чеха к производным от когомологий Чеха до пучковых когомологий.
для вычисления групп модулей Tor и Ext.
сходящихся к циклическим гомологиям алгебры.
для Когомология Кошуля
Спектральная последовательность Гротендика для составления производных функторов
Гипергомологическая спектральная последовательность для вычисления гипергомологии.
Спектральная последовательность Кюннета для вычисления гом логия тензорного произведения дифференциальных алгебр.
Спектральная последовательность Лере, сходящаяся к когомологиям пучка.
Локальная-глобальная Ext-спектральная последовательность
Спектральная последовательность Линдона – Хохшильда – Серра в групповой (со) гомологии
Спектральная последовательность для вычисления групп Tor или Ext алгебры.
Спектральная последовательность дифференциально отфильтрованной группы: описана в этой статье.
Спектральная последовательность двойного комплекса: описана в этой статье.
Спектральная последовательность точной пары: описана в этой статье.
сходящаяся к относительным когомологиям алгебры Ли.

Комплексная и алгебраическая геометрия

спектральная последовательность Арнольда в теории особенностей.
, сходящаяся к алгебраической K-теории поля.
Спектральная последовательность Фрелихера начиная с когомологии Дольбо и сходящаяся к алгебраическим когомологиям де Рама многообразия.
Спектральная последовательность Ходжа – де Рама сходящаяся к алгебраическим де Когомология Рама разнообразия.

Примечания

Ссылки

Введение

Фоменко, Анатолий; Фукс, Дмитрий, Гомотопическая топология
Хэтчер, Аллен, Спектральные последовательности в алгебраической топологии (PDF)

Ссылки

Лере, Жан (1946), "L ' anneau d'homologie d'une représentation ", Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 222 : 1366–1368
Leray, Jean (1946), "Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation", Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 222 : 1419–1422
Кошул, Жан-Луи (1947). "Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 225 : 217–219.
Мэсси, Уильям С. (1952). «Точные пары в алгебраической топологии. I, II». Анналы математики. Вторая серия. Анналы математики. 56 (2): 363–396. DOI : 10.2307 / 1969805. JSTOR 1969805.
Мэсси, Уильям С. (1953). «Точные пары в алгебраической топологии. III, IV, V». Анналы математики. Вторая серия. Анналы математики. 57 (2): 248–286. DOI : 10.2307 / 1969858. JSTOR 1969858.
Мэй, Дж. Питер. «Праймер по спектральным последовательностям» (PDF).
McCleary, John (2001). Руководство пользователя по спектральным последовательностям. Кембриджские исследования в области высшей математики. 58 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. doi : 10.2277 / 0521567599. ISBN 978-0-521-56759-6. MR 1793722.
Мошер, Роберт; Тангора, Мартин (1968), Когомологические операции и приложения в теории гомотопий, Харпер и Роу, ISBN 978-0-06-044627-7
Вейбель, Чарльз А. ( 1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.

Дополнительная литература

Chow, Timothy Y. (2006). «Вы могли изобрести спектральные последовательности» (PDF). Уведомления Американского математического общества. 53: 15–19.

Внешние ссылки