Спектральная последовательность Лере

В математике спектральная последовательность Лере была новаторским примером в гомологическая алгебра, введенная в 1946 г. Жаном Лере. В настоящее время это обычно рассматривается как частный случай спектральной последовательности Гротендика.

• 1 Определение
  • 1.1 Обобщение на другие пучки и комплексы пучков
  • 1.2 Конструкция
• 2 Классическое определение
• 3 Примеры
• 4 Теорема вырождения
  • 4.1 Пример с монодромией
• 5 История и связь с другими спектральными последовательностями
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Пусть $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; Y\}$будет непрерывной картой топологических пространств, которая, в частности, дает функтор $f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\}$от пучков абелевых групп на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$до пучков абелевых групп группы на $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Составление этого с помощью функтора $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$взятия разделов на $Sh\; Ab\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\; \}\; (Y)\}$аналогично взятию разделов на $Sh\; Ab\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\}\; (X)\}$, по определению функтора прямого изображения $f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\}$:

$Sh\; Ab\; (X)\; \to \; f\; \ast \; Sh\; Ab\; (Y)\; \to \; \Gamma \; Ab\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ce\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\}\; (X)\; \backslash \; \{\backslash \; ce\; \{->[f\_\; *]\; Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\}\; (Y)\; \backslash \; \{\backslash \; ce\; \{->[\backslash \; Гамма]\; Ab\}\}\}$.

Таким образом, производные от <24270>функторы из $\Gamma \; \circ \; f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; circ\; f\; \_\; \{*\}\}$вычислить когомологию пучка для $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$:

$R\; i\; (\Gamma \; \cdot \; f\; \ast )\; (F)\; знак\; равно\; ЧАС\; я\; (Икс,\; F)\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; ^\; \{я\}\; (\backslash \; Гамма\; \backslash \; CDOT\; F\; \_\; \{*\})\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; =\; Н\; ^\; \{я\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$.

Но потому что $f\; *\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\}$и $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$отправить инъективные объекты в $Sh\; Ab\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\}\; (X)\}$в $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$-ацильные объекты в $Sh\; Ab\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\}\; (Y)\}$, существует спектральная последовательность, вторая страница которой

$E\; 2\; pq\; знак\; равно\; (р\; п\; \Gamma \; \cdot \; р\; qf\; *)\; (F)\; знак\; равно\; H\; p\; (Y,\; R\; qf\; *\; (F))\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\_\; \{2\}\; ^\; \{pq\}\; =\; (R\; ^\; \{p\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; cdot\; R\; ^\; \{q\}\; f\; \_\; \{*\})\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; =\; H\; ^\; \{p\}\; (Y,\; R\; ^\; \{q\}\; f\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}))\}$,

и который сходится к

$E\; \infty \; pq\; =\; R\; p\; +\; q\; (\Gamma \; \circ \; f\; \ast )\; (F)\; =\; H\; p\; +\; q\; (X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; ^\; \{pq\}\; =\; R\; ^\; \{\; p\; +\; q\}\; (\backslash \; Gamma\; \backslash \; circ\; f\; \_\; \{*\})\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; =\; H\; ^\; \{p\; +\; q\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$.

Это называется Спектральная последовательность Лере .

Обобщение на другие пучки и комплексы пучков

Обратите внимание, что этот результат можно обобщить, вместо этого рассматривая пучки модулей над локально постоянным пучком колец $A\; \_\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; \{\backslash \; underline\; \{A\}\}\}$для фиксированного коммутативного кольца $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Тогда связки будут связками $A\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{A\}\}\}$-модулей, где для открытого набора $U\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; X\}$, такая связка $F\; \in \; Sh\; A\; \_\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; underline\; \{A\}\}\; (X)\}$- это $A\; \_\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{A\}\}\; (U)\}$-модуль для $F\; (U)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (U)\}$. Кроме того, вместо пучков можно было бы рассматривать комплексы пучков, ограниченных снизу $F\; \bullet \; \in \; DA\; \_\; +\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; \backslash \; in\; D\; \_\; \{\backslash \; underline\; \{A\; \}\}\; ^\; \{+\}\; (X)\}$для производной категории из $Sh\; A\; \_\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; underline\; \{A\}\}\; (X)\}$. Затем заменяют когомологии пучков на гиперкогомологии пучков.

Конструкция

. Существование спектральной последовательности Лерэ является прямым применением спектральной последовательности Гротендика. Это означает, что для данных аддитивных функторов

$A\; \to \; GB\; \to \; FC\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; xrightarrow\; \{G\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; \backslash \; xrightarrow\; \{F\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$

между абелевыми категориями, имеющими достаточно инъективных, $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$a точным влево функтором и $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \}$отправка инъективных объектов в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$-циклические объекты, тогда существует изоморфизм производных функторов

$R\; +\; (F\; \circ \; G)\; =\; R\; +\; F\; \circ \; F\; +\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{+\}\; (F\; \backslash \; circ\; G)\; =\; R\; ^\; \{+\}\; F\; \backslash \; circ\; F\; ^\; \{+\}\; G\}$

для производных категорий $D\; +\; (A),\; D\; +\; (B),\; D\; +\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{+\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}),\; D\; ^\; \{+\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}),\; D\; ^\; \{+\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{C\}\})\}$. В приведенном выше примере у нас есть композиция производных функторов

$D\; +\; (Sh\; Ab\; (X))\; \to \; R\; f\; \ast \; D\; +\; (Sh\; Ab\; (Y))\; \to \; \Gamma \; D\; +\; (Ab)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{\; +\}\; (\{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\}\; (X))\; \backslash \; xrightarrow\; \{Rf\; \_\; \{*\}\}\; D\; ^\; \{+\}\; (\{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{Ab\}\; \}\; (Y))\; \backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; Gamma\}\; D\; ^\; \{+\}\; (\{\backslash \; text\; \{Ab\}\})\}$.

Пусть $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; Colon\; X\; \backslash \; to\; Y\}$- непрерывное отображение гладких многообразий. Если $U\; =\; \{U\; i\}\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\; =\; \backslash \; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \}\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$- открытая крышка из $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, образуют комплекс Чеха связки $F\; \in \; Sh\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; в\; \{\backslash \; text\; \{Sh\}\}\; (X)\}$относительно покрытия $f\; -\; 1\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (U)\}$из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$:

$C\; p\; (f\; -\; 1\; U,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{C\}\}\; ^\; \{p\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\})\; \},\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$

Границы отображаются $dp:\; C\; p\; \to \; C\; p\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{p\}\; \backslash \; двоеточие\; C\; ^\; \{p\}\; \backslash \; в\; C\; ^\; \{p\; +1\}\}$и отображает $\delta \; q:\; \Omega \; X\; q\; \to \; \Omega \; X\; q\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; ^\; \{q\}\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{q\}\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{q\; +\; 1\}\}$пучков на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$вместе дают карту границ на двойном комплексе $C\; п\; (е\; -\; 1\; U,\; Ом\; Икс\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{C\}\}\; ^\; \{p\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\},\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{q\})\}$

$D\; =\; d\; +\; \delta :\; C\; \bullet \; (f\; -\; 1\; U,\; \Omega \; X\; \bullet )\; ⟶\; C\; \bullet \; (f\; -\; 1\; U,\; \Omega \; X\; \bullet )\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; d\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; двоеточие\; C\; ^\; \{\backslash \; пуля\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; ma\; thcal\; \{U\}\},\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\})\; \backslash \; longrightarrow\; C\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\},\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\})\}$.

Этот двойной комплекс также является одиночным комплексом, оцененным по $n\; =\; p\; +\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; p\; +\; q\}$, по отношению к которому $D\; \{\; \backslash \; displaystyle\; D\}$- это карта границ. Если каждое конечное пересечение $U\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\}$диффеоморфно $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, можно показать, что когомология

$HD\; n\; (C\; \bullet \; (f\; -\; 1\; U,\; \Omega \; X\; \bullet ))\; =\; H\; dR\; n\; (X,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{D\}\; ^\; \{n\}\; (C\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\},\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\}))\; =\; H\; \_\; \{\backslash \; text\; \{dR\}\}\; ^\; \{n\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$

этого комплекса является когомологией де Рама из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Более того, любой двойной комплекс имеет спектральную последовательность E с

$E\; \infty \; n\; -\; p,\; p\; =\; p-я\; градуированная\; часть\; H\; d\; R\; n\; (C\; \bullet \; (f\; -\; 1\; U,\; \Omega \; X\; \bullet ))\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{\backslash \; infty\}\; ^\; \{np,\; p\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{the\}\}\; p\; \{\backslash \; text\; \{th\; оцениваемая\; часть\}\}\; H\_\; \{dR\}\; ^\; \{n\}\; (C\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\; \}\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\},\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{\backslash \; bullet\}))\}$

(так что их сумма составляет $H\; d\; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{dR\}\; ^\; \{\; n\}\}$) и

$E\; 2\; p,\; q\; =\; H\; p\; (f\; -\; 1\; U,\; H\; q),\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\; ^\; \{p,\; q\}\; =\; H\; ^\; \{\; p\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; ^\; \{q\}),\}$

где $H\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; ^\; \{q\}\}$- это предварительный пучок на X, отправляющий $U\; \mapsto \; H\; q\; (f\; -\; 1\; (U),\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; mapsto\; H\; ^\; \{q\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (U),\; F)\}$. В этом контексте это называется спектральной последовательностью Лере.

Современное определение включает это, потому что более высокий функтор прямого изображения $R\; pf\; \ast \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{p\}\; f\; \_\; \{*\}\; (F)\}$является связка предварительного пучка $U\; \mapsto \; H\; q\; (f\; -\; 1\; (U),\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; mapsto\; H\; ^\; \{q\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (U),\; F)\}$.

• Пусть $X,\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; X,\; F\}$будут гладкими многообразиями и $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$быть односвязным, поэтому $\pi \; 1\; (X)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; (X)\; =\; 0\}$. Мы вычисляем спектральную последовательность Лере проекции $f:\; X\; \times \; F\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; times\; F\; \backslash \; to\; X\}$. Если обложка $U\; =\; \{U\; i\}\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\; =\; \backslash \; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \}\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$хороша (конечные пересечения равны $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$), тогда

$H\; p\; (f\; -\; 1\; U\; i)\; \simeq \; H\; q\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; ^\; \{p\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; U\_\; \{i\})\; \backslash \; simeq\; H\; ^\; \{q\}\; (F)\}$

Поскольку $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является односвязным, любой локально постоянный предпучок постоянен, поэтому это постоянный предпучок $H\; q\; (F)\; =\; R\; \_\; nq\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{q\}\; (F)\; =\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}\; ^\; \{n\_\; \{q\}\}\}$. Таким образом, вторая страница спектральной последовательности Лере:

$E\; 2\; p,\; q\; =\; H\; p\; (f\; -\; 1\; U,\; H\; q\; (F))\; =\; H\; p\; (f\; -\; 1\; U,\; R)\; \otimes \; H\; q\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\; ^\; \{p,\; q\}\; =\; H\; ^\; \{p\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\},\; H\; ^\; \{q\}\; (F))\; =\; H\; ^\; \{p\}\; (\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\},\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; otimes\; H\; ^\; \{q\}\; (F)\}$

В качестве обложки $\{f\; -\; 1\; (U\; i)\}\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\; ^\; \{-\; 1\}\; (U\_\; \{i\})\; \backslash \}\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$из $X\; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; F\}$тоже хорошо, $H\; p\; (f\; -\; 1\; (U\; i);\; R)\; \cong \; H\; p\; (f;\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{p\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (\; U\_\; \{i\});\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{p\}\; (f;\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$. Итак,

$E\; 2\; p,\; q\; =\; H\; p\; (X)\; \otimes \; H\; q\; (F)\; ⟹\; H\; p\; +\; q\; (X\; \times \; F,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\; ^\; \{p,\; q\}\; =\; H\; ^\; \{\; p\}\; (X)\; \backslash \; otimes\; H\; ^\; \{q\}\; (F)\; \backslash \; \backslash \; Longrightarrow\; \backslash \; H\; ^\; \{p\; +\; q\}\; (X\; \backslash \; times\; F,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$

Вот первое место, где мы используем, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- это проекция, а не просто пучок волокон: каждый элемент $E\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\}$является фактическим замкнутая дифференциальная форма для всех $X\; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; F\}$, поэтому применение к ним как d, так и $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$дает ноль. Таким образом, $E\; \infty \; =\; E\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; E\_\; \{2\}\}$. Это доказывает теорему Кюннета для $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$односвязного:

$H\; \bullet \; (X\; \times \; Y,\; R)\; \simeq \; H\; \bullet \; (X)\; \otimes \; H\; \bullet \; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; (X\; \backslash \; times\; Y,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; \backslash \; simeq\; H\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; (X)\; \backslash \; otimes\; H\; ^\; \{\backslash \; bullet\}\; (Y)\}$

• Если $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$- это общий пучок волокон с волокном $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$применяется вышеизложенное, за исключением того, что $V\; p\; \to \; H\; p\; (f\; -\; 1\; V,\; H\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{p\}\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{p\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\; \}\; V,\; H\; ^\; \{q\})\}$- это только локально постоянный предварительный пучок, а не константа.

• Все примеры вычислений со спектральной последовательностью Серра являются последовательностью Лере для константы пучок.

В категории квазипроективных многообразий над $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$существует теорема вырождения, доказанная Пьер Делинь и Бланшар для спектральной последовательности Лере, которая утверждает, что гладкий проективный морфизм многообразий $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$дает нам, что $E\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\}$-страница спектральной последовательности для $Q\; \_\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{X\}\}$вырождается, следовательно,

$H\; k\; (X;\; Q)\; \cong \; ⨁\; p\; +\; q\; =\; k\; H\; p\; (Y;\; R\; q\; f\; \ast \; (Q\; \_\; X)).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{k\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Q\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{p\; +\; q\; =\; k\}\; H\; ^\; \{p\}\; (Y;\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{q\}\; f\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{X\})).\}$

Простые примеры могут быть вычислены, если Y односвязен; например, полное пересечение измерения $\ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; geq\; 2\}$(это из-за гомоморфизма Гуревича и теоремы Лефшеца о гиперплоскости ). В этом случае локальные системы $R\; qf\; \ast \; (Q\; \_\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{q\}\; f\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{X\})\; \}$будет иметь тривиальную монодромию, поэтому $R\; qf\; \ast \; (Q\; \_\; X)\; \cong \; Q\; \_\; Y\; \oplus \; lq\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{q\}\; f\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{X\})\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\; l\_\; \{q\}\}\}$. Например, рассмотрим гладкое семейство $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$кривых рода 3 на гладкой поверхности K3. Тогда имеем

$R\; 0\; f\; \ast \; (Q\; \_\; Y)\; \cong \; Q\; \_\; YR\; 1\; f\; \ast \; (Q\; \_\; Y)\; \cong \; Q\; \_\; Y\; \oplus \; 6\; R\; 2\; f\; \ast \; (Q\; \_\; Y)\; \cong \; Q\; \_\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{0\}\; f\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\})\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; \}\; \_\; \{Y\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{1\}\; f\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\})\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; \}\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\; 6\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; f\; \_\; \{*\}\; (\{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\})\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; underline\; \{\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

дает нам $E\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\}$-page

$E\; 2\; =\; E\; \infty \; =\; [H\; 0\; (Y;\; Q\; \_\; Y)\; 0\; H\; 2\; (Y;\; Q\; \_\; Y)\; 0\; H\; 4\; (Y;\; Q\; \_\; Y)\; H\; 0\; (Y;\; Q\; \_\; Y\; \oplus \; 6)\; 0\; H\; 2\; (Y\; ;\; Q\; \_\; Y\; \oplus \; 6)\; 0\; H\; 4\; (Y;\; Q\; \_\; Y\; \oplus \; 6)\; H\; 0\; (Y;\; Q\; \_\; Y)\; 0\; H\; 2\; (Y;\; Q\; \_\; Y)\; 0\; H\; 4\; (Y;\; Q\; \_\; Y)]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\; =\; E\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; H\; ^\; \{0\}\; (Y;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\})\; 0\; H\; ^\; \{2\}\; (Y\; ;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\})\; 0\; H\; ^\; \{4\}\; (Y;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\})\; \backslash \backslash \; H\; ^\; \{0\}\; (Y\; ;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\; 6\})\; 0\; H\; ^\; \{2\}\; (Y;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\; 6\})\; 0\; H\; ^\; \{4\}\; (Y;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{\backslash \; oplus\; 6\})\; \backslash \backslash \; H\; ^\; \{0\}\; (Y;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; \}\; \_\; \{Y\})\; 0\; H\; ^\; \{2\}\; (Y;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\})\; 0\; H\; ^\; \{4\}\; (Y;\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; \_\; \{Y\})\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Пример с монодромией

Другим важным примером гладкого проективного семейства является семейство, связанное с эллиптическими кривыми

$y\; 2\; =\; x\; (x\; -\; 1)\; (Икс\; -\; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; ^\; \{2\}\; =\; х\; (х-1)\; (xt)\}$

более $P\; 1\; \setminus \; \{0,\; 1,\; \infty \}\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0,1,\; \backslash \; infty\; \backslash \}\}$. Здесь монодромия вокруг 0 ​​и 1 может быть вычислена с использованием теории Пикара – Лефшеца, давая монодромию около $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$путем составления локальных монодромий.

Во время работы Лере ни одна из двух задействованных концепций (спектральная последовательность, когомология пучка) не достигла чего-либо подобного окончательному состоянию. Поэтому результат Лере редко цитируется в его первоначальном виде. После долгой работы, в частности на семинаре Анри Картана, была получена современная формулировка, но не общая спектральная последовательность Гротендика.

Ранее (1948/9) последствия для пучков волокон были извлечены в форме, формально идентичной форме спектральной последовательности Серра, которая не использует пучки. Однако эта трактовка применялась к когомологиям Александера – Спаниера с компактными носителями применительно к правильным отображениям локально компактных хаусдорфовых пространств в качестве вывода спектрального Последовательность требовала тонкого пучка реальных дифференциальных градуированных алгебр на всем пространстве, который был получен путем вытягивания комплекса де Рама вдоль вложения в сферу. Жан-Пьер Серр, которому нужна была спектральная последовательность в гомологии, которая применялась к расслоениям пространства путей, чьи полные пространства почти никогда не бывают локально компактными, поэтому не смог использовать исходную спектральную последовательность Лере и таким образом вывели связанную спектральную последовательность, когомологический вариант которой согласуется, для компактного пучка волокон на пространстве с хорошим поведением с последовательностью выше.

В формулировке, достигнутой Александром Гротендиком примерно к 1957 году, спектральная последовательность Лере представляет собой спектральную последовательность Гротендика для композиции двух производных от функторов.

• Спектральная последовательность Серра - дополнительные примеры
• Спектральная последовательность Гротендика - абстрактная теория, включающая конструкцию спектральной последовательности Лерэ
• Смешанный модуль Ходжа

1. ^Лере, Жан (1946). "L'anneau d'homologie d'une représentation". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 222 : 1366–1368.
2. ^Миллер, Хейнс (2000). «Лере в Офлаге XVIIA: истоки теории пучков, когомологий пучков и спектральных последовательностей, Жан Лере (1906–1998)» (PDF). Газ. Математика. 84 : 17–34.
3. ^ Димка, Александру (2004). Пучки в топологии. Берлин, Гейдельберг: Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-18868-8. ISBN 978-3-642-18868-8. OCLC 851731478.
4. ^ Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Тексты для выпускников по математике. 82. Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-3951-0. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC 7597142.
5. ^Гриффитс, Филип ; Харрис, Джо (1978). Принципы алгебраической геометрии. Нью-Йорк: Wiley. п. 443. ISBN 0-471-32792-1. OCLC 3843444.

• Спектральная последовательность Лере Статья в Математической энциклопедии
• Спектральная последовательность Лере для кольцевых пространств Статья в Проект Stacks