Когомология Александера – Спаниера

редактировать

В математике, особенно в алгебраической топологии, Когомоло Александра-Спаньера gy - это теория когомологий для топологических пространств.

Содержание

1 История
2 Определение
- 2.1 Варианты
3 Связь с другими когомологиями
4 Ссылки

История

Он был введен Джеймсом У. Александером (1935) для частного случая компактных метрических пространств, и Эдвином Х. Спаниером (1948) для всех топологических пространств на основе предложения Александра Д. Уоллеса.

Определение

Если X топологическое пространство и G абелева группа, то существует комплекс коцепей C, чей p-й член $C p {\ displaystyle C ^ {p}}$ ${\ displaystyle C ^ {p}}$ равен набор всех функций от $X p + 1 {\ displaystyle X ^ {p + 1}}$ ${\ displaystyle X ^ {p + 1}}$ до G с дифференциалом $d: C p → C p + 1 {\ displaystyle d \ двоеточие C ^ {p} \ to C ^ {p + 1}}$ ${\ displaystyle d \ двоеточие C ^ {p} \ to C ^ {p + 1}}$ задано как

df (x 0,…, xp) = ∑ i (- 1) if (x 0,…, xi - 1, xi + 1,…, xp). {\ displaystyle df (x_ {0}, \ ldots, x_ {p}) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} f (x_ {0}, \ ldots, x_ {i-1}, x_ {i + 1}, \ ldots, x_ {p}).}

df (x_ {0}, \ ldots, x_ {p}) = \ сумма _ {i} (- 1) ^ {i} f (x_ {0}, \ ldots, x _ {{i-1}}, x _ {{i + 1}}, \ ldots, x_ {p}).

Он имеет подкомплекс $C 0 {\ displaystyle C_ {0}}$ $C_ {0}$ функций, которые исчезают по соседству диагонали. Группы когомологий Александера – Спаниера $H p (X, G) {\ displaystyle H ^ {p} (X, G)}$ ${\ displaystyle H ^ {p} (X, G)}$ определяются как группы когомологий фактор-комплекса $C / C 0 {\ displaystyle C / C_ {0}}$ $C/C_0$ .

Варианты

Также можно определить гомологию Александера – Спаньера (Massey 1978). Ошибка: несколько целей ( 2 ×): CITEREFMassey1978 (help ) и когомологии Александера – Спаниера с компактными носителями (Bredon 1997).

Связь с другими когомологиями

Группы когомологий Александера – Спаниера совпадают с группами когомологий Чеха для компактных хаусдорфовых пространств и совпадают с группы сингулярных когомологий для локально конечных комплексов.

Ссылки

Александр, Джеймс У. (1935), «О цепях комплекса и их двойниках», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки., Национальная академия наук, 21 (8): 509–511, Bibcode : 1935PNAS... 21..509A, doi : 10.1073 / pnas.21.8.509, ISSN 0027-8424, JSTOR 86360, PMC 1076641, PMID 16577676
Бредон, Глен Э. (1997), Теория снопов, Тексты для выпускников по математике, 170 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0647-7, ISBN 978-0-387-94905-5, MR 1481706
Мэсси, Уильям С. (1978), «Как дать описание Теория гомологии типа Чеха-Александера-Спаниера », The American Mathematical Monthly, 85(2): 75–83, doi : 10.2307 / 2321782, ISSN 0002-9890, JSTOR 2321782, MR 0488017
Мэсси, Уильям С. (1978), Теория гомологий и когомологий. Подход, основанный на коцепях Александера-Спаниера., Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 46, New York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247 -6662-7, MR 0488016
Спаниер, Эдвин Х. (1948), «Теория когомологий для общих пространств», Annals of Mathematics, Second Series, 49 : 407–427, doi : 10.2307 / 1969289, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969289, MR 0024621