Поверхность K3

редактировать

Тип гладкой комплексной поверхности размерности 0 кодайра

Гладкая поверхность четвертого порядка в 3-м пространстве. На рисунке показана часть реальных точек (реальной размерности 2) на некоторой сложной поверхности K3 (комплексной размерности 2, следовательно, реальной размерности 4). Dans la second partie de mon rapport, il s'agit des разновидности kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire... Во второй части моего отчета мы имеем дело с разновидностями Kähler известный как K3, названный в честь Куммера, Келера, Кодаира и прекрасной горы K2 в Кашмире.

Андре Вейль (1958, стр. 546), описывающий причину названия «поверхность K3»

В математике комплексная аналитическая поверхность K3 является компактным связным комплексным многообразием размерности 2 с тривиальным каноническим расслоением и неправильностью ноль. (Алгебраическая) поверхность K3 над любым полем означает гладкую собственно геометрически связную алгебраическую поверхность, которая удовлетворяет тем же условиям. В классификации Энриквеса – Кодаиры поверхностей, поверхности K3 образуют один из четырех классов минимальных поверхностей размерности нулевого размера Кодаира. Простым примером является поверхность Ферма четвертой степени

x 4 + y 4 + z 4 + w 4 = 0 {\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w ^ {4} = 0}

x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0

в комплексном проективном 3-пространстве.

Вместе с двумерными компактными комплексными торами поверхности K3 являются многообразиями Калаби – Яу (а также гиперкэлеровы многообразия ) размерности два. Как таковые, они находятся в центре классификации алгебраических поверхностей между положительно изогнутыми поверхностями дель Пеццо (которые легко классифицируются) и отрицательно изогнутыми поверхностями общего типа ( которые по существу не поддаются классификации). Поверхности K3 можно рассматривать как простейшие алгебраические многообразия, структура которых не сводится к кривым или абелевым многообразиям, но в которых возможно существенное понимание. Комплексная поверхность K3 имеет вещественную размерность 4 и играет важную роль при изучении гладких 4-многообразий. Поверхности K3 были применены к алгебрам Каца – Муди, зеркальной симметрии и теории струн.

. Может быть полезно рассматривать сложные алгебраические поверхности K3 как часть более широкого семейство комплексных аналитических K3-поверхностей. Многие другие типы алгебраических многообразий не имеют таких неалгебраических деформаций.

Содержание

1 Определение
2 Расчет чисел Бетти
3 Свойства
4 Примеры
5 Решетка Пикара
6 Эллиптические поверхности K3
7 Рациональные кривые на K3 поверхности
8 Отображение периодов
9 Пространства модулей проективных K3 поверхностей
10 Обильный конус и конус кривых
11 Группа автоморфизмов
12 Связь со струнной двойственностью
13 История
14 См. Также
15 Примечания
16 Ссылки
17 Внешние ссылки

Определение

Существует несколько эквивалентных способов определения поверхностей K3. Единственные компактные комплексные поверхности с тривиальным каноническим расслоением - это K3-поверхности и компактные комплексные торы, поэтому можно добавить любое условие, исключающее последнее, для определения K3-поверхностей. Например, это эквивалентно определению комплексной аналитической K3-поверхности как односвязного компактного комплексного многообразия размерности 2 с голоморфной 2-формой, которая никуда не исчезает. (Последнее условие в точности говорит о тривиальности канонического расслоения.)

Есть также несколько вариантов определения. Над комплексными числами некоторые авторы рассматривают только алгебраические поверхности K3. (Алгебраическая поверхность K3 автоматически проективна.) Или можно допустить, чтобы поверхности K3 имели сингулярности Дю Вала (канонические особенности размерности 2), а не быть гладким.

Вычисление чисел Бетти

Числа Бетти комплексной аналитической поверхности K3 вычисляются следующим образом. (Аналогичное рассуждение дает тот же ответ для чисел Бетти алгебраической поверхности K3 над любым полем, определенных с помощью l-адических когомологий.) По определению каноническое расслоение $KX = Ω X 2 { \ displaystyle K_ {X} = \ Omega _ {X} ^ {2}}$ $K_{X}=\Omega _{X}^{2}$ тривиально, а неравномерность q (X) (размер $h 1 (X, OX) {\ displaystyle h ^ {1} (X, O_ {X})}$ $h^{1}(X,O_{X})$ из когерентной группы когомологий пучка $H 1 (X, OX) {\ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X})}$ $H^{1}(X,O_{X})$ ) равно нулю. По двойственности Серра,

h 2 (X, OX) = h 0 (X, KX) = 1. {\ displaystyle h ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = h ^ {0} (X, K_ {X}) = 1.}

h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.

В результате арифметический род (или голоморфная эйлерова характеристика ) X равен:

χ (X, OX): знак равно ∑ я (- 1) ihi (X, OX) = 1 - 0 + 1 = 2. {\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}): = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = 1-0 + 1 = 2.}

\chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.

С другой стороны, теорема Римана – Роха (формула Нётер) гласит:

χ (X, OX) = 1 12 (c 1 (X) 2 + c 2 (X)) {\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = {\ frac {1} {12}} (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X))}

\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))

где $ci (X) {\ displaystyle c_ {i} (X)}$ $c_{i}(X)$ - это i-й класс Черна из касательного пучка. Поскольку $KX {\ displaystyle K_ {X}}$ $K_{X}$ является тривиальным, его первый класс Черна $c 1 (KX) = - c 1 (X) {\ displaystyle c_ {1} (K_ {X}) = - c_ {1} (X)}$ $c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)$ равно нулю, поэтому $c 2 (X) = 24 {\ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$ $c_{2}(X)=24$ .

Затем экспоненциальная последовательность $0 → ZX → OX → OX ∗ → 0 {\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {X} \ to O_ {X} \ to O_ { X} ^ {*} \ to 0}$ $0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0$ дает точную последовательность групп когомологий $0 → H 1 (X, Z) → H 1 (X, OX) { \ displaystyle 0 \ к H ^ {1} (X, \ mathbb {Z}) \ to H ^ {1} (X, O_ {X})}$ $0\to H^{1}(X,\mathbb {Z})\to H^{1}(X,O_{X})$ , и поэтому $H 1 ( Икс, Z) знак равно 0 {\ Displaystyle H ^ {1} (X, \ mathbb {Z}) = 0}$ $H^{1}(X,\mathbb {Z})=0$ . Таким образом, число Бетти $b 1 (X) {\ displaystyle b_ {1} (X)}$ $b_{1}(X)$ равно нулю, и по двойственности Пуанкаре, $b 3 (X) {\ displaystyle b_ {3} (X)}$ $b_{3}(X)$ также равно нулю. Наконец, $c 2 (X) = 24 {\ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$ $c_{2}(X)=24$ равно топологической эйлеровой характеристике

χ (X) = ∑ я (- 1) ibi (X). {\ displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} b_ {i} (X).}

\chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).

Поскольку $b 0 (X) = b 4 (X) Знак равно 1 {\ displaystyle b_ {0} (X) = b_ {4} (X) = 1}$ $b_{0}(X)=b_{4}(X)=1$ и $b 1 (X) = b 3 (X) = 0 {\ displaystyle b_ {1} (X) = b_ {3} (X) = 0}$ $b_{1}(X)=b_{3}(X)=0$ , следует, что $b 2 (X) = 22 {\ displaystyle b_ {2} (X) = 22}$ $b_{2}(X)=22$ .

Свойства

Любые две комплексные аналитические поверхности K3 диффеоморфны как гладкие 4-многообразия, по Кунихико Кодаира.

Каждая комплексная аналитическая поверхность K3 имеет кэлерову метрику, автор Юм-Тонг Сиу. (Аналогично, но гораздо проще: любая алгебраическая поверхность K3 над полем проективна.) Из решения Шинг-Тунг Яу гипотезы Калаби следует, что любая комплексная аналитическая K3 поверхность имеет плоскую Риччи метрику Кэлера.

Числа Ходжа любой поверхности K3 указаны в ромбе Ходжа:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Один из способов показать это - вычислить идеал Якоби конкретной поверхности K3, а затем использование вариации структуры Ходжа на модулях алгебраических поверхностей K3, чтобы показать, что все такие поверхности K3 имеют те же числа Ходжа. Более простой расчет можно выполнить, используя вычисление чисел Бетти вместе с частями структуры Ходжа, вычисленными на

H 2 (X; Z) {\ displaystyle H ^ {2} (X; \ mathbb {Z})}

H^{2}(X;\mathbb {Z})

для произвольной поверхности K3. В этом случае силы симметрии Ходжа

H 0 (X; Ω X 2) ≅ C {\ displaystyle H ^ {0} (X; \ Omega _ {X} ^ {2}) \ cong \ mathbb {C} }

H^{0}(X;\Omega _{X}^{2})\cong \mathbb {C}

, следовательно,

H 1 (X, Ω X) ≅ C 20 {\ displaystyle H ^ {1} (X, \ Omega _ {X}) \ cong \ mathbb {C} ^ { 20}}

H^{1}(X,\Omega _{X})\cong \mathbb {C} ^{20}

. Для поверхностей K3 с характеристикой p>0 это было впервые показано Алексеем Рудаковым и Игорем Шафаревичем.

. Для комплексной аналитической поверхности X K3 форма пересечения (или чашечное произведение ) на $H 2 (X, Z) ≅ Z 22 {\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {22}}$ $H^{2}(X,\mathbb {Z})\cong \mathbb {Z} ^{22}$ - это симметричная билинейная форма со значениями в целых числах, известная как решетка K3 . Это изоморфно четной унимодулярной решетке $II 3, 19 {\ displaystyle \ operatorname {II} _ {3,19}}$ $\operatorname {II} _{3,19}$ или эквивалентно $E 8 (- 1) ⊕ 2 ⊕ U ⊕ 3 {\ displaystyle E_ {8} (- 1) ^ {\ oplus 2} \ oplus U ^ {\ oplus 3}}$ $E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$ , где U - гиперболическая решетка ранга 2 и $E 8 {\ displaystyle E_ {8}}$ $E_{8}$ - это решетка E8.

Гипотеза Юкио Мацумото 11/8 предсказывает, что каждое гладкое ориентированное 4-многообразие X с четной формой пересечения имеет второе число Бетти, по крайней мере, в 11/8 раз превышающее абсолютное значение сигнатуры. Это было бы оптимальным, если бы это было так, поскольку равенство выполняется для комплексной поверхности K3, имеющей сигнатуру 3−19 = −16. Гипотеза означала бы, что каждое односвязное гладкое 4-многообразие с четной формой пересечения гомеоморфно связной сумме копий поверхности K3 и $S 2 × S 2 {\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {2}}$ $S^{2}\times S^{2}$ .

Каждая комплексная поверхность, диффеоморфная поверхности K3, является поверхностью K3 Роберта Фридмана и Джона Моргана. С другой стороны, существуют гладкие комплексные поверхности (некоторые из них проективные), которые гомеоморфны, но не диффеоморфны поверхности K3, Кодаира и Майкл Фридман. Все эти «гомотопические поверхности K3» имеют размерность Кодаиры 1.

Примеры

Двойное покрытие X проективной плоскости, разветвленное вдоль гладкой шестой (степень 6) кривой, является K3-поверхность рода 2 (т.е. степени 2g − 2 = 2). (Эта терминология означает, что прообраз в X общей гиперплоскости в $P 2 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\mathbf {P}}^{2}$ представляет собой гладкую кривую род 2.)
Гладкая поверхность четвертой степени (степени 4) в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ $\mathbf {P} ^{3}$ является поверхность K3 рода 3 (то есть степени 4).
A Куммеровская поверхность - это фактор двумерного абелевого многообразия A по действию $a ↦ - a { \ Displaystyle а \ mapsto -a}$ $a\mapsto -a$ . Это приводит к 16 особенностям в точках 2-кручения A. минимальное разрешение этой особой поверхности также можно назвать поверхностью Куммера; это разрешение - поверхность K3. Когда A является якобианом кривой рода 2, Куммер показал, что отношение $A / (± 1) {\ displaystyle A / (\ pm 1)}$ $A/(\pm 1)$ может быть встроенным в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ $\mathbf {P} ^{3}$ как поверхность четвертой степени с 16 узлами.
В более общем смысле: для любой поверхности четвертой степени Y с du Val особенности, минимальное разрешение Y - это алгебраическая поверхность K3.
Пересечение квадрики и кубики в $P 4 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ { 4}}$ $\mathbf {P} ^{4}$ - поверхность K3 рода 4 (то есть степени 6).
Пересечение трех квадрик в $P 5 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}}$ ${\mathbf {P}}^{5}$ - поверхность K3 рода 5 (то есть степени 8).
Существует несколько баз данных поверхностей K3 с особенностями дю Валя в взвешенных проективных пространствах.

Решетка Пикара

Группа Пикара Pic (X) комплексной аналитической K3-поверхности X означает абелеву группу комплексных аналитических линейных расслоений на X. Для алгебраической K3-поверхности Pic (X) означает группу алгебраических линейных расслоений на X. Два определения согласуются для комплексной алгебраической поверхности K3 согласно теореме Жан-Пьера Серра GAGA.

Группа Пикара K3-поверхности X всегда является конечно порожденной свободной абелевой группой; его ранг называется числом Пикара $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ . В сложном случае Pic (X) является подгруппой $H 2 (X, Z) ≅ Z 22 {\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} ^ {22}}$ $H^{2}(X,\mathbb {Z})\cong \mathbb {Z} ^{22}$ . Важной особенностью поверхностей K3 является то, что может встречаться много различных чисел Пикара. Для X комплексной алгебраической поверхности K3 $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ может быть любым целым числом от 1 до 20. В комплексном аналитическом случае $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ также может быть нулевым. (В этом случае X вообще не содержит замкнутых комплексных кривых. Напротив, алгебраическая поверхность всегда содержит множество непрерывных семейств кривых.) Над алгебраически замкнутым полем характеристики p>0 существует специальный класс поверхностей K3, суперсингулярные поверхности K3, с числом Пикара 22.

Решетка Пикара поверхности K3 означает абелеву группу Pic (X) вместе с ее форма пересечения, симметричная билинейная форма со значениями в целых числах. (Для $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\mathbb{C}$ форма пересечения означает ограничение формы пересечения на $H 2 (X, Z) {\ displaystyle H ^ {2 } (X, \ mathbb {Z})}$ $H^{2}(X,\mathbb {Z})$ . Над общим полем форма пересечения может быть определена с помощью теории пересечений кривых на поверхности, идентифицируя группу Пикара с группой классов дивизоров .) Решетка Пикара поверхности K3 всегда четная, что означает, что целое число $u 2 {\ displaystyle u ^ {2}}$ $u^{2}$ четно для каждого $u ∈ Pic ⁡ (X) {\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$ $u\in \operatorname {Pic} (X)$ .

теорема об индексе Ходжа означает, что решетка Пикара алгебраической поверхности K3 имеет подпись $(1, ρ - 1) {\ displaystyle (1, \ rho -1)}$ $(1,\rho -1)$ . Многие свойства поверхности K3 определяются ее решеткой Пикара как симметричной билинейной формы над целыми числами. Это приводит к сильной связи между теорией K3-поверхностей и арифметикой симметричных билинейных форм. В качестве первого примера этой связи: комплексная аналитическая поверхность K3 является алгебраической тогда и только тогда, когда существует элемент $u ∈ Pic ⁡ (X) {\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X)}$ $u\in \operatorname {Pic} (X)$ с $u 2>0 {\ displaystyle u ^ {2}>0}$ $u^{2}>0$ .

Грубо говоря, пространство всех сложных аналитических поверхностей K3 имеет комплексную размерность 20, а пространство K3 поверхности с числом Пикара $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\rho$ имеют размерность $20 - ρ {\ displaystyle 20- \ rho}$ $20-\rho$ (исключая суперсингулярный случай). в частности, алгебраические поверхности K3 входят в 19-мерные семейства. Более подробная информация о пространствах модулей поверхностей K3 приведена ниже.

Точное описание решеток, которые могут встречаться как решетки Пикара для поверхностей K3 сложно. Одно четкое утверждение, благодаря Вячеславу Никулину и Дэвид Моррисон, состоит в том, что каждая четная решетка сигнатуры $(1, ρ - 1) {\ displaystyle (1, \ rho -1)}$ $(1,\rho -1)$ с $ρ ≤ 11 {\ displaystyle \ rho \ leq 11}$ $\rho \leq 11$ - решетка Пикара некоторой комплексной проективной поверхности K3. Пространство таких поверхностей имеет размерность $20 - ρ {\ displaystyle 20- \ rho}$ $20-\rho$ .

Эллиптические поверхности K3

Важный подкласс поверхностей K3, который легче анализировать, чем общий случай, состоит из поверхности K3 с эллиптическим расслоением $X → P 1 {\ displaystyle X \ to \ mathbf {P} ^ {1}}$ $X\to \mathbf {P} ^{1}$ . «Эллиптический» означает, что все слои этого морфизма, кроме конечного числа, являются гладкими кривыми рода 1. Особые слои являются объединениями рациональных кривых с возможными типами особых слоев, классифицированными Кодаирой. Всегда есть некоторые особые слои, поскольку сумма топологических эйлеровых характеристик особых слоев равна $χ (X) = 24 {\ displaystyle \ chi (X) = 24}$ $\chi (X)=24$ . Общая эллиптическая поверхность K3 имеет ровно 24 особых слоя, каждое из которых имеет тип $I 1 {\ displaystyle I_ {1}}$ $I_{1}$ (узловая кубическая кривая).

Является ли поверхность K3 эллиптический, можно прочитать из его решетки Пикара. А именно, в характеристике, отличной от 2 или 3, поверхность X K3 имеет эллиптическое расслоение тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент $u ∈ Pic ⁡ (X) {\ displaystyle u \ in \ operatorname {Pic} (X) }$ $u\in \operatorname {Pic} (X)$ с $u 2 = 0 {\ displaystyle u ^ {2} = 0}$ $u^{2}=0$ . (В характеристике 2 или 3 последнее условие может также соответствовать квазиэллиптическому расслоению.) Отсюда следует, что наличие эллиптического расслоения является условием коразмерности-1 на поверхности K3. Итак, существуют 19-мерные семейства комплексных аналитических K3-поверхностей с эллиптическим расслоением и 18-мерные пространства модулей проективных K3-поверхностей с эллиптическим расслоением.

Пример: каждая гладкая поверхность X четвертой степени в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ $\mathbf {P} ^{3}$ , содержащая прямую L, имеет эллиптическое расслоение $X → P 1 {\ displaystyle X \ to \ mathbf {P} ^ {1}}$ $X\to \mathbf {P} ^{1}$ , заданное проекцией из L. Пространство модулей всех гладких поверхностей четвертой степени (с точностью до изоморфизма) имеет размерность 19, в то время как подпространство поверхностей четвертой степени, содержащее прямую, имеет размерность 18.

Рациональные кривые на поверхностях K3

В отличие от положительно искривленных разновидностей, таких как поверхности дель Пеццо, комплексная алгебраическая поверхность X K3 является не uniruled ; то есть он не покрывается непрерывным семейством рациональных кривых. С другой стороны, в отличие от многообразий с отрицательной кривизной, таких как поверхности общего типа, X содержит большой дискретный набор рациональных кривых (возможно, особых). В частности, Федор Богомолов и Дэвид Мамфорд показали, что каждая кривая на X линейно эквивалентна положительной линейной комбинации рациональных кривых.

Еще одно отличие от многообразий с отрицательной кривизной состоит в том, что метрика Кобаяши на комплексной аналитической K3-поверхности X тождественно равна нулю. Доказательство использует то, что алгебраическая K3-поверхность X всегда покрывается непрерывным семейством образов эллиптических кривых. (Эти кривые сингулярны в X, если только X не является эллиптической поверхностью K3.) Остается открытым более сильный вопрос, допускает ли каждая комплексная поверхность K3 невырожденное голоморфное отображение из $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb{C} ^{2}$ (где «невырожденная» означает, что производная карты является изоморфизмом в некоторой точке)..

Карта периодов

Определите маркировка комплексной аналитической поверхности X K3 как изоморфизм решеток из $H 2 (X, Z) {\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}$ $H^{2}(X,\mathbb {Z})$ в решетку K3 $Λ = E 8 (- 1) ⊕ 2 ⊕ U ⊕ 3 {\ displaystyle \ Lambda = E_ {8} (- 1) ^ {\ oplus 2} \ oplus U ^ { \ oplus 3}}$ $\Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$ . Пространство N отмеченных комплексных K3-поверхностей является не- хаусдорфовым комплексным многообразием размерности 20. Множество классов изоморфизма комплексных аналитических K3-поверхностей является фактором N по ортогональной группе $O (Λ) {\ displaystyle O (\ Lambda)}$ $O(\Lambda)$ , но это частное не является геометрически значимым пространством модулей, потому что действие $O (Λ) {\ displaystyle O ( \ Lambda)}$ $O(\Lambda)$ далеко не должным образом прерывистый. (Например, пространство гладких квартик неприводимо размерности 19, и все же каждая комплексная аналитическая поверхность K3 в 20-мерном семействе N имеет сколь угодно малые деформации, которые изоморфны гладким квартикам.) По той же причине не существует осмысленное пространство модулей компактных комплексных торов размерности не менее 2.

Отображение периодов отправляет поверхность K3 в ее структуру Ходжа. При осторожном изложении теорема Торелли верна: поверхность K3 определяется своей структурой Ходжа. Область периодов определяется как 20-мерное комплексное многообразие

D = {u ∈ P (Λ ⊗ C): u 2 = 0, u ⋅ u ¯>0}. {\ displaystyle D = \ {u \ in P (\ Lambda \ otimes \ mathbb {C}): u ^ {2} = 0, \, u \ cdot {\ overline {u}}>0 \}.}

D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C}):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0 \}.

Отображение периодов $N → D {\ displaystyle N \ to D}$ $N\to D$ отправляет отмеченную поверхность K3 X на комплексную прямую $H 0 (X, Ω 2) ⊂ H 2 (Икс, С) ≅ Λ ⊗ С {\ Displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {2}) \ subset H ^ {2} (X, \ mathbb {C}) \ cong \ Lambda \ otimes \ mathbb {C}}$ $H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C})\cong \Lambda \otimes \mathbb {C}$ . Это сюръективный и локальный изоморфизм, но не изоморфизм (в частности, потому что D хаусдорфова, а N нет). Однако глобальная теорема Торелли для поверхностей K3 говорит, что фактор-карта множеств

N / O (Λ) → D / O (Λ) {\ displaystyle N / O (\ Lambda) \ to D / O (\ Lambda)}

N/O(\Lambda)\to D/O(\Lambda)

биективен. Отсюда следует, что две комплексные аналитические K3-поверхности X и Y изоморфны тогда и только тогда, когда существует изометрия Ходжа из $H 2 (X, Z) {\ displaysty ле H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}$ $H^{2}(X,\mathbb {Z})$ до $H 2 (Y, Z) {\ displaystyle H ^ {2} (Y, \ mathbb {Z}) }$ $H^{2}(Y,\mathbb {Z})$ , то есть изоморфизм абелевых групп, который сохраняет форму пересечения и отправляет $H 0 (X, Ω 2) ⊂ H 2 (X, C) {\ displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {2}) \ subset H ^ {2} (X, \ mathbb {C})}$ $H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C})$ до $H 0 (Y, Ω 2) {\ displaystyle H ^ {0} (Y, \ Omega ^ {2})}$ $H^{0}(Y,\Omega ^{2})$ .

Пространства модулей проективных K3-поверхностей

A поляризованная K3-поверхность X рода g определяется как проективная K3-поверхность вместе с обильным линейным пакетом L, таким, что L является примитивным (то есть не 2 или более раз другой линейный набор) и $c 1 (L) 2 = 2 g - 2 {\ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$ $c_{1}(L)^{2}=2g-2$ . Это также называется поляризованной поверхностью K3 градусов2g-2.

При этих предположениях L не без базовых точек. В нулевой характеристике теорема Бертини подразумевает, что существует гладкая кривая C в линейной системе | L |. Все такие кривые имеют род g, что объясняет, почему (X, L) имеет род g.

Векторное пространство секций L имеет размерность g + 1, и поэтому L дает морфизм из X в проективное пространство $P g {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$ $\mathbf {P} ^{g}$ . В большинстве случаев этот морфизм является вложением, так что X изоморфен поверхности степени 2g − 2 в $P g {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$ $\mathbf {P} ^{g}$ .

Существует неприводимая грубое пространство модулей $F g {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$ ${\mathcal {F}}_{g}$ поляризованных комплексных поверхностей K3 рода g для каждого $g ≥ 2 {\ displaystyle g \ geq 2}$ $g\geq 2$ ; его можно рассматривать как открытое подмножество Зариски из разновидности Шимура для группы SO (2,19). Для каждого g $F g {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$ ${\mathcal {F}}_{g}$ является квазипроективным комплексным многообразием размерности 19. Сигеру Мукаи показал, что это пространство модулей унирационально, если $g ≤ 13 {\ displaystyle g \ leq 13}$ $g\leq 13$ или $g = 18, 20 {\ displaystyle g = 18,20}$ $g=18,20$ . Напротив, Валерий Гриценко, Клаус Хулек и Грегори Шанкаран показали, что $F g {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$ ${\mathcal {F}}_{g}$ имеет общий тип if $g ≥ 63 {\ displaystyle g \ geq 63}$ $g\geq 63$ или $g = 47, 51, 55, 58, 59, 61 {\ displaystyle g = 47, 51,55,58,59,61}$ $g=47,51,55,58,59,61$ . Обзор этой области был дан Voisin (2008).

Различные 19-мерные пространства модулей $F g {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$ ${\mathcal {F}}_{g}$ перекрываются сложным образом. В самом деле, существует счетное бесконечное множество подмногообразий коразмерности 1 каждого $F g {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$ ${\mathcal {F}}_{g}$ , соответствующих K3-поверхностям с числом Пикара не менее 2. Эти поверхности K3 имеют поляризацию бесконечного множества различных степеней, а не только 2g – 2. Таким образом, можно сказать, что бесконечно много других пространств модулей $F h {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {h}}$ ${\mathcal {F}}_{h}$ соответствуют $F g {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$ ${\mathcal {F}}_{g}$ . Это неточно, поскольку не существует пространства с хорошим поведением, содержащего все пространства модулей $F g {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {g}}$ ${\mathcal {F}}_{g}$ . Однако конкретным вариантом этой идеи является тот факт, что любые две комплексные алгебраические поверхности K3 деформационно эквивалентны через алгебраические поверхности K3.

В более общем смысле, квазиполяризованная поверхность K3 рода g означает проективную поверхность K3 с примитивным nef и большим линейным пучком L, таким что $c 1 (L) 2 = 2 g - 2 {\ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$ $c_{1}(L)^{2}=2g-2$ . Такое линейное расслоение по-прежнему дает морфизм $P g {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$ $\mathbf {P} ^{g}$ , но теперь оно может сжимать конечное число (−2) -кривых, так что образ Y точки X особенный. (A (−2) -кривая на поверхности означает кривую, изоморфную $P 1 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$ $\mathbf {P} ^{1}$ с самопересечением −2.) Пространство модулей квазиполяризованных K3-поверхностей рода g по-прежнему неприводимо размерности 19 (содержащее предыдущее пространство модулей в качестве открытого подмножества). Формально, лучше рассматривать это как пространство модулей K3-поверхностей Y с особенностями Дю Валя.

Обильный конус и конус кривых

Замечательная особенность алгебраических K3-поверхностей состоит в том, что решетка Пикара определяет многие геометрические свойства поверхности, включая выпуклый конус обильных дивизоров (с точностью до автоморфизмов решетки Пикара). Обильный конус определяется решеткой Пикара следующим образом. По теореме об индексе Ходжа форма пересечения в вещественном векторном пространстве $N 1 (X): = Pic ⁡ (X) ⊗ R {\ displaystyle N ^ {1} (X): = \ operatorname {Pic} ( X) \ otimes \ mathbb {R}}$ $N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R}$ имеет подпись $(1, ρ - 1) {\ displaystyle (1, \ rho -1)}$ $(1,\rho -1)$ . Отсюда следует, что набор элементов $N 1 (X) {\ displaystyle N ^ {1} (X)}$ ${\displ aystyle N^{1}(X)}$ с положительным самопересечением имеет два связанных компонента. Назовите положительный конус компонентом, который содержит любой обильный делитель на X.

Случай 1: Нет элемента u в Pic (X) с $u 2 = - 2 {\ displaystyle u ^ {2} = - 2}$ $u^{2}=-2$ . Тогда обильный конус равен положительному конусу. Таким образом, это стандартный круглый конус.

Случай 2: в противном случае пусть $Δ = {u ∈ Pic ⁡ (X): u 2 = - 2} {\ displaystyle \ Delta = \ {u \ in \ operatorname {Pic} (X): u ^ {2} = - 2 \}}$ $\Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2\}$ , набор корней решетки Пикара. Ортогональные дополнения корней образуют набор гиперплоскостей, которые проходят через положительный конус. Тогда обильный конус является связной компонентой дополнения этих гиперплоскостей в положительном конусе. Любые две такие компоненты изоморфны через ортогональную группу решетки Pic (X), так как она содержит отражение через каждую корневую гиперплоскость. В этом смысле решетка Пикара определяет обильный конус с точностью до изоморфизма.

Родственное утверждение, сделанное Шандором Ковачем, состоит в том, что знание одного обильного делителя A в Pic (X) определяет весь конус кривые X. А именно, предположим, что X имеет число Пикара $ρ ≥ 3 {\ displaystyle \ rho \ geq 3}$ $\rho \geq 3$ . Если набор корней $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ пуст, то замкнутый конус кривых является замыканием положительного конуса. В противном случае замкнутый конус кривых - это замкнутый выпуклый конус, натянутый на все элементы $u ∈ Δ {\ displaystyle u \ in \ Delta}$ $u\in \Delta$ с $A ⋅ u>0 {\ displaystyle A \ cdot u>0}$ $A\cdot u>0$ . В первом случае X не содержит (−2) -кривых; во втором случае замкнутый конус кривых представляет собой замкнутый выпуклый конус, натянутый на все (−2) -кривые. (Если $ρ = 2 {\ displaystyle \ rho = 2}$ $\rho =2$ , есть еще одна возможность: конус кривых может быть покрыт одной (−2) -кривой и одной кривой с самопересечением 0.) Таким образом, конус кривых является либо стандартным круглым конусом, либо имеет «острые углы» (поскольку каждая (−2) -кривая пересекает изолированный экстремальный луч конуса кривых).

Группа автоморфизмов

K3-поверхности несколько необычны среди алгебраических многообразий тем, что их группы автоморфизмов могут быть бесконечными, дискретными и высокими. Ly nonabelian. Согласно версии теоремы Торелли решетка Пикара комплексной алгебраической K3-поверхности X определяет группу автоморфизмов X с точностью до соизмеримости. А именно, пусть группа Вейля W будет подгруппой ортогональной группы O (Pic (X)), порожденной отражениями в наборе корней $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ . Тогда W является нормальной подгруппой группы O (Pic (X)), а группа автоморфизмов X соизмерима с фактор-группой O (Pic (X)) / W. Связанное с этим утверждение, сделанное Хансом Стерком, состоит в том, что Aut (X) действует на nef-конус X с рациональной полиэдральной фундаментальной областью.

Связь со струнной двойственностью

Поверхности K3 появляются в строковая двойственность и является важным инструментом для ее понимания. Компактификации строк на этих поверхностях нетривиальны, но они достаточно просты, чтобы детально проанализировать большинство их свойств. Струна типа IIA, струна типа IIB, гетеротическая струна E 8×E8, гетеротическая струна Spin (32) / Z2 и M-теория связаны компактификацией на поверхности K3. Например, строка типа IIA, компактифицированная на поверхности K3, эквивалентна гетеротической строке, компактифицированной на 4-торе (Aspinwall (1996) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFAspinwall1996 (help ))).

История

Поверхности четвертой степени в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ $\mathbf {P} ^{3}$ были изучены Эрнстом Куммером, Артур Кейли, Фридрих Шур и другие геометры XIX века. В более общем плане Федериго Энрикес заметил в 1893 году, что для различных чисел g существуют поверхности степени 2g − 2 в $P g {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {g}}$ $\mathbf {P} ^{g}$ с тривиальным каноническим расслоением и нулевой неправильностью. В 1909 году Энрикес показал, что такие поверхности существуют для всех $g ≥ 3 {\ displaystyle g \ geq 3}$ $g\geq 3$ , а Франческо Севери показал, что пространство модулей таких поверхностей имеет размер 19 для каждого г.

Андре Вейль (1958) дал поверхностям K3 их имя (см. цитату выше) и сделал несколько важных предположений об их классификации. Кунихико Кодаира завершил основную теорию примерно в 1960 году, в частности, провел первое систематическое исследование комплексных аналитических K3-поверхностей, которые не являются алгебраическими. Он показал, что любые две комплексные аналитические K3-поверхности деформационно эквивалентны и, следовательно, диффеоморфны, что было новым даже для алгебраических K3-поверхностей. Важным последующим достижением стало доказательство теоремы Торелли для комплексных алгебраических K3-поверхностей Ильей Пятецки-Шапиро и Игорем Шафаревичем (1971), распространенное на комплексные аналитические K3-поверхности Дэниелом Бернсом и Майклом Рапопортом (1975).

См. Также

Поверхность Энриквеса
Гипотеза Тейта
Самогон Матье, таинственная связь между поверхностями K3 и группой Матье M24.

Примечания

References

Aspinwall, Paul (1997), "K3 surfaces and string duality", Fields, strings and duality (Boulder, CO, 1996), World Scientific, pp. 421–540, arXiv :hep-th/9611137, MR 1479699
Barth, Wolf P. ; Hulek, Klaus ; Питерс, Крис А.М.; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Compact complex surfaces, Springer, doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Beauville, Arnaud (1983), "Surfaces K3", Bourbaki seminar, Vol. 1982/83 Exp 609, Astérisque, 105, Paris: Société Mathématique de France, pp. 217–229, MR 0728990
Beauville, A. ; Bourguignon, J.-P. ; Demazure, M. (1985), Géométrie des surfaces K3: modules et périodes, Séminaire Palaiseau, Astérisque, 126, Paris: Société Mathématique de France, MR 0785216
Brown, Gavin (2007), "A database of polarized K3 surfaces", Experimental Mathematics, 16(1): 7–20, doi :10.1080/10586458.2007.10128983, MR 2312974
Burns, Daniel; Rapoport, Michael (1975), "On the Torelli problem for kählerian K-3 surfaces", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 8(2): 235–273, MR 0447635
Enriques, Federigo (1893), "Richerche di geometria sulle superficie algebriche", Memorie Accademia di Torino, 2, 44: 171–232, JFM 25.1212.02
Enriques, Federigo (1909), "Le superficie di genere uno", Rendiconti Accademia di Bologna, 13: 25–28, JFM 40.0685.01
Gritsenko, V. A.; Hulek, Klaus ; Sankaran, G. K. (2007), "The Kodaira dimension of the moduli of K3 surfaces", Inventiones Mathematicae, 169(3): 519–567, arXiv :math/0607339, Bibcode :2007InMat.169..519G, doi :10.1007/s00222-007-0054-1, MR 2336040
Huybrechts, Daniel (2016), Lectures on K3 surfaces (PDF), Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 158, Cambridge University Press, ISBN 978-1107153042, MR 3586372
Kamenova, Ljudmila; Lu, Steven; Verbitsky, Misha (2014), "Kobayashi pseudometric on hyperkähler manifolds", Journal of the London Mathematical Society, 90: 436–450, arXiv :1308.5667, MR 3263959
Mukai, Shigeru (2006), "Polarized K3 surfaces of genus thirteen", Moduli spaces and arithmetic geometry, Adv. Stud. Pure Math., 45, Tokyo: Math. Soc. Japan, pp. 315–326, MR 2310254
Pjateckiĭ-Šapiro, I. I. ; Šafarevič, I. R. (1971), "Torelli's theorem for algebraic surfaces of type K3", Mathematics of the USSR – Izvestia, 5(3): 547–588, Bibcode :1971IzMat...5..547P, doi :10.1070/IM1971v005n03ABEH001075, MR 0284440
Rudakov, A.N. (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Scorpan, Alexandru (2005), The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8, MR 2136212
Severi, Francesco (1909), "Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero" (PDF), Atti del Istituto Veneto, 68: 249–260, JFM 40.0683.03
Voisin, Claire (2008), "Géométrie des espaces de modules de courbes et de surfaces K3 (d'après Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra, et al.)" (PDF), Astérisque, Séminaire Bourbaki. 2006/2007. Exp 981 (317): 467–490, ISBN 978-2-85629-253-2, MR 2487743
Weil, André (1958), "Final report on contract AF 18(603)-57", Scientific works. Collected papers, II, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 390–395, 545–547, ISBN 978-0-387-90330-9, MR 0537935

External links

Graded Ring Database homepage for a catalog of K3 surfaces
K3 database for the Magma computer algebra system
The geometry of K3 surfaces, lectures by David Morrison (1988).