Канонический пакет

редактировать

В математика, канонический пучок неособого алгебраического многообразия V {\ displaystyle V}V размерности n { \ displaystyle n}n над полем находится линейный пучок Ω n = ω {\ displaystyle \, \! \ Omega ^ {n} = \ omega}\, \! \ Omega ^ {n} = \ omega , которая является n-й внешней мощностью в котангенсном пучке Ом на V.

на комплексные числа, это детерминантный пучок голоморфных n-форм на V. Это дуализирующий объект для двойственности Серра на V. Его также можно рассматривать как обратимый пучок.

Канонический класс - это класс делителей делителя Картье K на V, что дает восходят к каноническому пучку - это класс эквивалентности для линейной эквивалентности на V, и любой дивизор в нем может быть назван каноническим делителем . антиканоническим дивизором называется любой дивизор −K с каноническим K.

антиканоническая связка - это соответствующая обратная связка ω. Когда антиканоническое расслоение V обильно, V называется многообразием Фано.

Содержание

  • 1 Формула присоединения
  • 2 Особый случай
  • 3 Канонические карты
    • 3.1 Канонические кривые
      • 3.1.1 Младший род
      • 3.1.2 Гиперэллиптический случай
      • 3.1.3 Общий случай
    • 3.2 Канонические кольца
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания

Формула присоединения

Предположим, что X - гладкое многообразие и что D - гладкий дивизор на X. Формула присоединения связывает канонические расслоения X и D. Это естественный изоморфизм

ω D = i ∗ (ω X ⊗ O (D)). {\ displaystyle \ omega _ {D} = i ^ {*} (\ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} (D)).}\ omega _ {D} = i ^ {*} (\ omega _ {X } \ otimes {\ mathcal {O}} (D)).

Что касается канонических классов, это

KD = (KX + D) | D. {\ displaystyle K_ {D} = (K_ {X} + D) | _ {D}.}K_ {D} = (K_ {X} + D) | _ {D}.

Эта формула - одна из самых мощных формул алгебраической геометрии. Важным инструментом современной бирациональной геометрии является обращение присоединения, которое позволяет выводить результаты об особенностях X из особенностей D.

Особый случай

On единственное множество X {\ displaystyle X}X , существует несколько способов определить канонический делитель. Если многообразие нормальное, оно гладкое в коразмерности один. В частности, мы можем определить канонический дивизор на гладком множестве точек. Это дает нам уникальный класс делителя Вейля на X {\ displaystyle X}X . Именно этот класс, обозначенный K X {\ displaystyle K_ {X}}K_ {X} , называется каноническим делителем на X. {\ displaystyle X.}X.

В качестве альтернативы, опять же для нормального разнообразия X {\ displaystyle X}X , можно рассматривать h - d (ω X.) {\ displaystyle h ^ {- d} (\ omega _ {X} ^ {.})}h ^ {{- d}} (\ omega _ {X} ^ {.}) , - d {\ displaystyle -d}-d '-я когомология нормализованного дуализирующий комплекс из X {\ displaystyle X}X . Этот пучок соответствует классу делителя Вейля, который равен классу делителей K X {\ displaystyle K_ {X}}K_ {X} , определенному выше. В отсутствие гипотезы нормальности тот же результат сохраняется, если X {\ displaystyle X}X равно S2 и Gorenstein в измерении один.

Канонические карты

Если канонический класс эффективен, то он определяет рациональное отображение из V в проективное пространство. Эта карта называется канонической картой . Рациональное отображение, определяемое n-м кратным канонического класса, является n-каноническим отображением . N-каноническое отображение переводит V в проективное пространство размерности на единицу меньше, чем размерность глобальных секций n-го кратного канонического класса. n-канонические карты могут иметь базовые точки, что означает, что они определены не везде (т.е. они не могут быть морфизмом многообразий). У них могут быть слои положительной размерности, и даже если они имеют нульмерные слои, они не обязательно должны быть локальными аналитическими изоморфизмами.

Канонические кривые

Наиболее изученным случаем являются кривые. Здесь каноническое расслоение такое же, как (голоморфное) котангенсное расслоение. Таким образом, глобальное сечение канонического расслоения - это то же самое, что и всюду регулярная дифференциальная форма. Классически их называли дифференциалами первого рода. Степень канонического класса равна 2g - 2 для кривой рода g.

Младший род

Предположим, что C - гладкая алгебраическая кривая рода g. Если g равно нулю, то C равно P, а канонический класс - это класс −2P, где P - любая точка C. Это следует из формулы исчисления d (1 / t) = −dt / t, например, мероморфный дифференциал с двойным полюсом в бесконечно удаленной точке на сфере Римана. В частности, K C и его кратные не эффективны. Если g равно единице, то C - это эллиптическая кривая, а K C - тривиальное расслоение. Глобальные секции тривиального расслоения образуют одномерное векторное пространство, поэтому n-каноническое отображение для любого n является отображением в точку.

Гиперэллиптический случай

Если C имеет род два или более, то каноническим классом является big, поэтому изображение любой n-канонической карты является кривой. Изображение 1-канонической карты называется канонической кривой. Каноническая кривая рода g всегда находится в проективном пространстве размерности g - 1. Когда C является гиперэллиптической кривой, каноническая кривая является рациональной нормальной кривой, а C - двойной покрытие его канонической кривой. Например, если P - многочлен степени 6 (без повторяющихся корней), то

y = P (x)

является представлением аффинной кривой кривой рода 2, обязательно гиперэллиптической и базисом дифференциалов первый вид задается в тех же обозначениях как

dx / √P (x), x dx / √P (x).

Это означает, что каноническая карта задается однородными координатами [ 1: x] как морфизм проективной прямой. Рациональная нормальная кривая для гиперэллиптических кривых высшего рода возникает таким же образом с мономами более высокой степени от x.

Общий случай

В противном случае, для негиперэллиптического C, что означает, что g равно не менее 3, морфизм является изоморфизмом C с его образом, который имеет степень 2g - 2. Таким образом, для g = 3 канонические кривые (негиперэллиптический случай) являются плоскими кривыми четвертой степени. Таким образом возникают все неособые плоские квартики. Имеется явная информация для случая g = 4, когда каноническая кривая является пересечением квадрики и кубической поверхности ; и для g = 5, когда это пересечение трех квадрик. Имеется обратное, которое является следствием теоремы Римана – Роха : неособая кривая C рода g вложена в проективное пространство размерности g - 1 как линейно нормальная кривая степени 2g - 2 является канонической кривой при условии, что ее линейная длина составляет все пространство. На самом деле связь между каноническими кривыми C (в негиперэллиптическом случае g по крайней мере 3), Риманом-Рохом и теорией специальных делителей довольно близка. Эффективные дивизоры D на C, состоящие из различных точек, имеют линейную оболочку в каноническом вложении с размерностью, непосредственно связанной с размерностью линейной системы, в которой они движутся; и после некоторого дальнейшего обсуждения это относится также к случаю точек с множественностью.

Доступна более подробная информация для больших значений g, но в этих случаях канонические кривые обычно не полные пересечения, и описание требует более подробного рассмотрения коммутативной алгебры. Поле началось с теоремы Макса Нётер : размерность пространства квадрик, проходящих через C, как вложенная как каноническая кривая, равна (g - 2) (g - 3) / 2. Теорема Петри, часто цитируемый под этим именем и опубликованный в 1923 году Карлом Петри (1881–1955), утверждает, что для g не менее 4 однородный идеал, определяющий каноническую кривую, порождается ее элементами степени 2, за исключением случаев (a) тригональные кривые и (б) неособые плоские квинтики при g = 6. В исключительных случаях идеал порождается элементами степеней 2 и 3. Исторически этот результат был широко известен раньше. Петри, и была названа теоремой Бэббиджа-Чизини-Энрикес (для Денниса Бэббиджа, завершившего доказательство, Оскара Чизини и Федериго Энрикес ). Терминология запутана, поскольку результат также называется теоремой Нётер – Энриквес . Вне гиперэллиптических случаев Нётер доказала, что (на современном языке) каноническое расслоение нормально порождено : симметричные степени пространства сечений канонического расслоения отображаются на сечения его тензорные степени. Это подразумевает, например, порождение квадратичных дифференциалов на таких кривых дифференциалами первого рода; и это имеет последствия для. Работа Петри фактически предоставила явные квадратичные и кубические генераторы идеала, показав, что, за исключением исключений, кубики могут быть выражены в терминах квадратичных. В исключительных случаях пересечение квадрик через каноническую кривую представляет собой соответственно линейчатую поверхность и поверхность Веронезе.

. Эти классические результаты были доказаны для комплексных чисел, но современное обсуждение показывает, что методы работают с полями любой характеристики.

Канонические кольца

каноническое кольцо V - это градуированное кольцо

R = ⨁ d = 0 ∞ H 0 (В, кВ д). {\ displaystyle R = \ bigoplus _ {d = 0} ^ {\ infty} H ^ {0} (V, K_ {V} ^ {d}).}R = \ bigoplus _ {{d = 0}} ^ {\ infty} H ^ {0} (V, K_ {V} ^ {d}).

Если каноническим классом V является обильное линейное расслоение, то каноническое кольцо - это однородное координатное кольцо изображения канонической карты. Это может быть правдой, даже если канонический класс V недостаточен. Например, если V - гиперэллиптическая кривая, то каноническое кольцо снова является однородным координатным кольцом образа канонического отображения. В общем, если указанное выше кольцо конечно порождено, то элементарно увидеть, что это однородное координатное кольцо образа k-канонического отображения, где k - любое достаточно делимое положительное целое число.

Программа минимальных моделей предложила, что каноническое кольцо каждого гладкого или слегка сингулярного проективного многообразия конечно порождено. В частности, было известно, что это подразумевает существование канонической модели, конкретной бирациональной модели V с мягкими особенностями, которая может быть построена путем сдувания V. Когда каноническое кольцо конечно порождено, каноническая модель это Proj канонического кольца. Если каноническое кольцо не конечно порождено, то Proj R не является многообразием и, следовательно, не может быть бирациональным для V; в частности, V не допускает канонической модели.

Фундаментальная теорема Биркара-Кашини-Хакон-МакКернана из 2006 г. гласит, что каноническое кольцо гладкого или слегка особого проективного алгебраического многообразия конечно порождено.

Размерность Кодаира кольца V - это размерность канонического кольца минус один. Здесь размерность канонического кольца может означать измерение Крулля или степень трансцендентности.

См. Также

Примечания

Последняя правка сделана 2021-05-14 05:44:36
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте