Измерение Иитака

редактировать

В алгебраической геометрии измерение Иитака линейное расслоение L на алгебраическом многообразии X - размерность изображения рационального отображения в проективное пространство, определенное L. Это На 1 меньше, чем размер кольца сечения L

R (X, L) = ⨁ d = 0 ∞ H 0 (X, L ⊗ d). {\ displaystyle R (X, L) = \ bigoplus _ {d = 0} ^ {\ infty} H ^ {0} (X, L ^ {\ otimes d}).}

R (X, L) = \ bigoplus _ {{d = 0}} ^ {\ infty} H ^ {0} (X, L ^ {{\ otimes d}}).

Размерность Иитака для L равна всегда меньше или равно размеру X. Если L неэффективен, то его размерность Иитака обычно определяется как $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ или просто считается отрицательной (некоторые ранние ссылки определяют его как -1). Размерность Иитака для L иногда называют L-размерностью, а размерность дивизора D - D-размерностью. Измерение Иитака было введено Сигеру Иитака (1970, 1971).

Содержание

1 Большие линейные пакеты
2 Размерность Кодаира
3 Гипотеза Иитаки
4 Ссылки

Большие линейные пакеты

A линейные пакеты большие если оно имеет максимальное измерение Иитака, то есть если его размерность Иитака равна измерению лежащего в основе разнообразия. Большой размер - это бирациональный инвариант: если f: Y → X - бирациональный морфизм многообразий, и если L - большое линейное расслоение на X, то fL - большое линейное расслоение на Y.

Все линейные пакеты большие.

Большие линейные расслоения не обязательно определяют бирациональные изоморфизмы X с его образом. Например, если C является гиперэллиптической кривой (такой как кривая второго рода), то ее каноническое расслоение велико, но определяемое ею рациональное отображение не является бирациональным изоморфизмом. Вместо этого это два к одному покрытию канонической кривой кривой C, которая является рациональной нормальной кривой.

размерностью Кодаира

Измерение Иитака канонического расслоение гладкого многообразия называется его размерностью Кодаира.

гипотеза Иитаки

m-плюриканоническое отображение комплексных многообразий M в W индуцирует структуру расслоенного пространства.

Рассмотрим комплексное алгебраические многообразия в следующем.

Пусть K - каноническое расслоение на M. Размерность H (M, K), голоморфных сечений K, обозначается P m (M), названный m-родом . Пусть

N (M) = {m ≥ 1 | P m (M) ≥ 1}, {\ displaystyle N (M) = \ {m \ geq 1 | P_ {m} (M) \ geq 1 \},}

N (M) = \ {m \ geq 1 | P_ {m} (M) \ geq 1 \},

тогда N (M) становится всем натурального числа ненулевого m-рода. Когда N (M) не пусто, для $m ∈ N (M) {\ displaystyle m \ in N (M)}$ $m \ in N (M)$ m-плюриканоническая карта $Φ m K {\ displaystyle \ Phi _ {mK}}$ $\ Phi _ {{mK}}$ определяется как отображение

Φ m K: M ⟶ PN z ↦ (φ 0 (z): φ 1 (z): ⋯: φ N (z)) {\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {mK}: M \ longrightarrow \ \ \ \ \ \ mathbb {P} ^ {N} \\ z \ \ \ \ mapsto \ \ (\ varphi _ {0 } (z): \ varphi _ {1} (z): \ cdots: \ varphi _ {N} (z)) \ end {align}}}

{\ begin {align} \ Phi _ {{mK}}: M \ longrightarrow \ \ \ \ \ \ {\ mathbb {P}} ^ {N} \\ z \ \ \ \ mapsto \ \ (\ varphi _ {0} (z): \ varphi _ {1} (z): \ cdots: \ varphi _ {N} (z)) \ end {align}}

где $φ i {\ displaystyle \ varphi _ {i}}$ $\ varphi _ {i}$ - основания H (M, K). Затем определяется изображение $Φ m K {\ displaystyle \ Phi _ {mK}}$ $\ Phi _ {{mK}}$ , $Φ m K (M) {\ displaystyle \ Phi _ {mK} (M)}$ $\ Phi _ {{mK}} (M)$ как подмногообразие $PN {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {N}}$ ${\ mathbb {P}} ^ {N}$ .

Наверняка $m {\ displaystyle m}$ $m$ let $Φ mk: M → W знак равно Φ м К (М) ⊂ PN {\ Displaystyle \ Phi _ {mk}: M \ rightarrow W = \ Phi _ {mK} (M) \ subset \ mathbb {P} ^ {N}}$ $\ Phi _ {{mk}}: M \ rightarrow W = \ Phi _ {{mK}} (M) \ subset {\ mathbb {P}} ^ {N}$ - m-плюриканоническое отображение, где W - комплексное многообразие, вложенное в проективное пространство. P.

В случае поверхностей с κ (M) = 1 указанное выше W заменяется кривой C, которая является эллиптической кривой (κ (C) = 0). Мы хотим распространить этот факт на общий размер и получить аналитическую структуру волокна, изображенную на верхнем правом рисунке.

m-плюриканоническое отображение бирационально инвариантно. P m (M) = P m (W)

Учитывая бирациональное отображение $φ: M ⟶ W {\ displaystyle \ varphi: M \ longrightarrow W}$ $\ varphi: M \ longrightarrow W$ , m-плюриканоническое отображение приносит коммутативную диаграмму, изображенную на левом рисунке, что означает, что $Φ m K (M) = Φ m K (W) {\ displaystyle \ Phi _ {mK} (M) = \ Phi _ {mK} (W)}$ $\ Phi _ {{mK}} (M) = \ Phi _ {{mK}} (W)$ , т.е. m-плюриканонический род бирационально инвариантен.

Существование бирационального отображения ψ: W m1 → W m2 в проективном пространстве

. Иитака показал, что для данного n-мерного компактного комплексного многообразия M с его размерность Кодаира κ (M), удовлетворяющая 1 ≤ κ (M) ≤ n-1, существует достаточно большое m 1,m2такое, что $Φ m 1 K: M ⟶ W m 1 (M) {\ displaystyle \ Phi _ {m_ {1} K}: M \ longrightarrow W_ {m_ {1}} (M)}$ $\ Phi _ {{m_ {1} K}}: M \ longrightarrow W _ {{ m_ {1}}} (M)$ и $Φ m 2 K: M ⟶ W m 2 (M) {\ displaystyle \ Phi _ {m_ {2} K}: M \ longrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$ $\ Phi _ {{m_ {2} K}}: M \ longrightarrow W _ {{m_ {2}}} (M)$ бирационально эквивалентны, что означает наличие бирационального отображения $φ: W m 1 ⟶ W m 2 (M) {\ displaystyle \ varphi: W_ {m_ {1}} \ longrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$ $\ varphi: W _ {{m_ {1}}} \ longrightarrow W _ {{m_ {2}}} (M)$ . А именно, диаграмма, изображенная на правом рисунке, является коммутативной.

Кроме того, можно выбрать $M ∗ {\ displaystyle M ^ {*}}$ $M ^ *$ , который является бирациональным, с $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $W ∗ {\ displaystyle W ^ {*}}$ $W ^ {*}$ , который является бирациональным как с $W m 1 {\ displaystyle W_ {m_ {1}}}$ $W _ {{m_ {1}}}$ , так и $W m 1 {\ displaystyle W_ {m_ {1}}}$ $W _ {{m_ {1}}}$ такой, что

Φ: M ∗ ⟶ W ∗ {\ displaystyle \ Phi: M ^ {*} \ longrightarrow W ^ {*}}

\ Phi: M ^ {*} \ longrightarrow W ^ {*}

- бирациональное отображение, слои $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ односвязны, а общие слои $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$

М вес *: знак равно Φ - 1 (ш), вес ∈ W * {\ Displaystyle M_ {ш} ^ {*}: = \ Phi ^ {- 1} (ш), \ \ ш \ в W ^ {* }}

{\ displaystyle M_ {w} ^ {*}: = \ Phi ^ {- 1} (w), \ \ w \ in W ^ {*}}

имеют размерность Кодаиры 0.

Вышеуказанная волоконная структура называется волоконным пространством Иитака. В случае поверхности S (n = 2 = dim (S)), W - алгебраическая кривая, структура волокна имеет размерность 1, а затем общие слои имеют размерность Кодаиры 0, т.е. эллиптическую кривую. Следовательно, S - эллиптическая поверхность. Этот факт можно обобщить на все n. Следовательно, изучение многомерной бирациональной геометрии распадается на часть κ = -∞, 0, n и расслоение, слои которого имеют κ = 0.

Следующая дополнительная формула Иитаки, называемая гипотеза Иитаки, важна для классификации алгебраических многообразий или компактных комплексных многообразий.

Гипотеза Иитаки - Пусть $f: V → W {\ displaystyle f: V \ rightarrow W}$ $f: V \ rightarrow W$ будет расслоением из m-мерного многообразия $V {\ displaystyle V}$ $V$ к n-мерному разнообразию $W {\ displaystyle W}$ $W$ и каждое волокно $V w = f - 1 (w) {\ displaystyle V_ {w } = f ^ {- 1} (w)}$ $V_ {w} = f ^ {{- 1}} (w)$ подключено. Тогда

κ (V) ≥ κ (V w) + κ (W). {\ displaystyle \ kappa (V) \ geq \ kappa (V_ {w}) + \ kappa (W).}

$\ kappa (V) \ geq \ kappa (V_ {w}) + \ kappa (W).$

Эта гипотеза была решена лишь частично, например, в случае многообразий Мойшезона. Можно сказать, что теория классификации была попыткой решить гипотезу Иитаки и привести другие теоремы о том, что трехмерное многообразие V абелево тогда и только тогда, когда κ (V) = 0 и q (V) = 3 и его обобщение и т. Д. Программа минимальных моделей может быть выведена из этой гипотезы.

Ссылки

Иитака, Сигэру (1970), «О D-размерности алгебраических многообразий», Proc. Japan Acad., 46 : 487–489, doi : 10.3792 / pja / 1195520260, MR 0285532
Иитака, Сигэру (1971), "On D- размерности алгебраических многообразий », J. Math. Soc. Япония, 23 : 356–373, doi : 10.2969 / jmsj / 02320356, MR 0285531
Уэно, Кенджи (1975), Теория классификации алгебраических многообразий и компактные комплексные пространства, конспекты лекций по математике, 439, Springer-Verlag, MR 0506253