Измерение Кодаира

В алгебраической геометрии измерение Кодаира κ (X) измеряет размер каноническая модель проективного многообразия X.

Игорь Шафаревич представил важный числовой инвариант поверхностей с обозначением κ на семинаре Шафаревич 1965. Сигеру Иитака (1970) расширил его и определил измерение Кодаира для разновидностей высших измерений (под названием каноническое измерение), а затем назвал его в честь Кунихико Кодаира в Иитака (1971).

• 1 Plurigenera
  • 1.1 Интерпретации измерения Кодаира
  • 1.2 Применение
  • 1.3 Измерение 1
  • 1.4 Измерение 2
  • 1.5 Любое измерение
• 2 Общий тип
• 3 Применение к классификации
• 4 Связь с многообразиями Мойшезона
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Каноническая связка гладкого алгебраического многообразия X размерности n над полем - это линейное расслоение n-форм,

$KX\; =\; \bigwedge \; n\; \Omega \; X\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash !\; K\_\; \{X\}\; =\; \backslash \; bigwedge\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{X\}\; ^\; \{1\},\}$

, которая является n-й внешней мощностью котангенсный пучок к X. Для целого числа d d-я тензорная степень K X снова является линейным пучком. При d ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H (X, K X) обладает тем замечательным свойством, что оно является бирациональным инвариантом гладких проективных многообразий X. То есть это векторное пространство канонически отождествляется с соответствующим пространством для любого гладкого проективного многообразия, изоморфного X вне подмножеств меньшей размерности.

Для d ≥ 0 dth plurigenus X определяется как размерность векторного пространства глобальных секций K X:

$P\; d\; =\; h\; 0\; (X,\; KX\; d)\; =\; dim\; \; H\; 0\; (X,\; KX\; d).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{d\}\; =\; h\; ^\; \{0\}\; (X,\; K\_\; \{X\}\; ^\; \{d\})\; =\; \backslash \; dim\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; K\_\; \{X\}\; ^\; \{d\}).\}$

Плюрироды - важные бирациональные инварианты алгебраического многообразия. В частности, самый простой способ доказать, что многообразие нерационально (то есть не бирационально по отношению к проективному пространству), - это показать, что некоторое плюригенус P d с d>0 не равно нулю. Если пространство сечений K X отлично от нуля, то существует естественное рациональное отображение из X в проективное пространство

$P\; (H\; 0\; (X,\; KX\; d))\; =\; PP\; d\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (H\; ^\; \{0\}\; (X,\; K\_\; \{X\}\; ^\; \{d\}))\; =\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; ^\; \{P\_\; \{d\}\; -1\},\}$

называется d - каноническая карта . каноническое кольцо R (K X) многообразия X - это градуированное кольцо

$R\; (K\; X):\; =\; ⨁\; d\; \ge \; 0\; H\; 0\; (X,\; K\; X\; d).\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (K\_\; \{X\}):\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{d\; \backslash \; geq\; 0\}\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; K\_\; \{X\}\; ^\; \{d\}).\}$

Также см. геометрический род и арифметический род.

Размерность Кодаира X определяется как $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$, если плюригенеры P d равны нулю для всех d>0; в противном случае это минимум κ такой, что P d / d ограничено. Размерность Кодаира n-мерного многообразия равна либо $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$, либо целому числу в диапазоне от 0 до n.

Интерпретации измерения Кодаира

Следующие целые числа равны, если они неотрицательны. Хорошая ссылка: Лазарсфельд (2004), теорема 2.1.33.

• Если каноническое кольцо конечно порождено, что верно в характеристике ноль и предположительно в целом: размерность конструкции Proj $Proj\; \; R\; (KX)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Proj\}\; R\; (K\_\; \{X\})\}$(это разнообразие называется канонической моделью X; оно зависит только от класса бирациональной эквивалентности X).
• Размер изображения d-канонического отображения для всех положительных кратных d некоторого положительного целого $d\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\}$.
• Степень трансцендентности поля дробей R минус один, то есть $t\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t-1\}$, где t - количество алгебраически независимых генераторов, которые можно найти.
• Скорость роста плюриродов: то есть наименьшее число κ такое, что $P\; d\; /\; d\; \kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{d\}\; /\; d\; ^\; \{\backslash \; kappa\}\}$ограничен. В нотации Big O это минимальное κ такое, что $P\; d\; =\; O\; (d\; \kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{d\}\; =\; O\; (d\; ^\; \{\backslash \; kappa\})\}$.

Если одно из этих чисел не определено или отрицательно, тогда все они есть. В этом случае размер Кодаира считается отрицательным или равным $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$. Некоторые исторические справочники определяют его как -1, но тогда формула $\kappa \; (X\; \times \; Y)\; =\; \kappa \; (X)\; +\; \kappa \; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (X\; \backslash \; times\; Y)\; =\; \backslash \; kappa\; (X)\; +\; \backslash \; kappa\; (Y)\}$не всегда выполняется, и утверждение гипотезы Иитаки усложняется. Например, размерность Кодаира $P\; 1\; \times \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; times\; X\}$равна $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$для всех разновидностей X.

Применение

Размерность Кодаира дает полезное грубое разделение всех алгебраических разновидностей на несколько классов.

Разновидности с низкой размерностью Кодаира можно считать особыми, в то время как разновидности максимальной размерности Кодаира, как говорят, относятся к общему типу.

С геометрической точки зрения существует очень грубое соответствие между размерностью Кодаира и кривизной: отрицательное Размерность Кодаира соответствует положительной кривизне, нулевое измерение Кодаира соответствует плоскостности, а максимальное измерение Кодаира (общий тип) соответствует отрицательной кривизне.

Особенность многообразий низкой размерности Кодаира аналогична специальности римановых многообразий положительной кривизны (а общий тип соответствует общности неположительной кривизны); см. классические теоремы, особенно о защемленной секционной кривизне и положительной кривизне.

Эти утверждения уточняются ниже.

Размерность 1

Гладкие проективные кривые дискретно классифицируются по роду, который может быть любым натуральным числом g = 0, 1,....

Здесь «дискретно классифицировано» означает, что для данного рода существует неприводимое пространство модулей кривых этого рода.

Размерность Кодаира кривой X составляет:

• κ = $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$: род 0 (проективная линия P): K X не действует, P d = 0 для всех d>0.
• κ = 0: род 1 (эллиптические кривые ): K X является тривиальным набором, P d = 1 для всех d ≥ 0.
• κ = 1: род g ≥ 2: K X достаточно, P d = (2d - 1) (g - 1) для всех d ≥ 2.

Сравнить с теоремой униформизации для поверхностей (реальных поверхностей, поскольку комплексная кривая имеет действительную размерность 2): размерность Кодаира $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$соответствует положительной кривизне, Размерность Кодаира 0 соответствует плоскостности, размерность Кодаира 1 соответствует отрицательной кривизне. Отметим, что большинство алгебраических кривых относятся к общему типу: в пространстве модулей кривых две компоненты связности соответствуют кривым не общего типа, а все остальные компоненты соответствуют кривым общего типа. Далее, пространство кривых рода 0 является точкой, пространство кривых рода 1 имеет (комплексную) размерность 1, а пространство кривых рода g ≥ 2 имеет размерность 3g - 3.

классификационная таблица алгебраические кривые
размерность Кодаира. κ (C)
	род из C: g (C)	структура
$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$\ge \; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; geq\; 2\}$	кривая общего типа
$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	эллиптическая кривая
$-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\; \}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	проекционная линия $P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\}\}$

Размер 2

Классификация Энриквеса – Кодаира классифицирует алгебраические поверхности: сначала по размерности Кодаира, а затем более подробно в рамках данного измерения Кодаира. Приведем несколько простых примеров: произведение P × X имеет размерность Кодаира $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$для любой кривой X; произведение двух кривых рода 1 (абелева поверхность) имеет размерность Кодаиры 0; произведение кривой рода 1 на кривую рода не менее 2 (эллиптическая поверхность) имеет размерность Кодаиры 1; и произведение двух кривых рода не менее 2 имеет размерность Кодаиры 2 и, следовательно, имеет общий тип.

классификационную таблицу алгебраических поверхностей
размерность Кодаира. κ (C)
	геометрический род. pg	неровность. q	структура
$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$			поверхность общего типа
$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$			эллиптическая поверхность
$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$	абелева поверхность
	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	гиперэллиптическая поверхность
	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	K3 поверхность
	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	Enriques surface
$-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\; \}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$\ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; geq\; 1\}$	линейчатая поверхность
	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	рациональная поверхность

Для поверхности X общего типа образ d-канонического отображения бирационально X, если d ≥ 5.

Любая размерность

Рациональные многообразия (разновидности бирациональных в проективное пространство) имеют размерность Кодаира $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$. абелевы многообразия (компактные комплексные торы, которые являются проективными) имеют размерность Кодаиры ноль. В более общем смысле, многообразия Калаби – Яу (в размерности 1, эллиптические кривые ; в размерности 2, абелевы поверхности, поверхности K3 и факторы этих многообразий по конечным группам) имеют нулевую размерность Кодаиры (соответствующую допусканию плоской метрики Риччи).

Любое разнообразие с нулевой характеристикой, которое покрывается рациональными кривыми (непостоянные отображения из P ), называемое однолинейным разнообразием, имеет размерность Кодаира −∞. И наоборот, из основных гипотез теории минимальных моделей (особенно гипотезы изобилия) следует, что каждое многообразие размерности Кодаиры −∞ является однолинейным. Это обратное известно для многообразий размерности не выше 3.

Сиу (2002) доказал инвариантность плюриродов относительно деформаций для всех гладких комплексных проективных многообразий. В частности, размерность Кодаира не меняется при непрерывном изменении сложной структуры многообразия.

классификационная таблица трехмерных алгебраических элементов
размерность Кодаира. κ (C)
	геометрический род. pg	неправильность. q	примеры
$3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$			трех- складка общего типа
$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$			расслоение над поверхностью с общим слоем эллиптической кривой
$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$			расслоение над кривой с общим волокно поверхности с κ = 0
$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$	абелевой разновидностью
	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$	пучок волокон на абелевой поверхности, волокна которой представляют собой эллиптические кривые
	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$или $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	пучок волокон над эллиптической кривой, волокна которой представляют собой поверхности с κ = 0
	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$или $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	Калаби – Яу 3-кратное
$-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$\ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; geq\; 1\}$	unirule d 3-кратный
	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	рациональный 3-кратный, Фано 3-кратный и другие

A расслоение нормальных проективных многообразий X → Y означает сюръективный морфизм со связными слоями.

Для 3-кратного X общего типа изображение d-канонического отображения бирационально по отношению к X, если d ≥ 61.

Разнообразие общий тип X является одним из максимальных размерностей Кодаира (размерность Кодаира равна его размерности):

$\kappa \; (X)\; =\; dim\; \; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (X)\; =\; \backslash \; dim\; \backslash \; X.\}$

Эквивалентные условия: линейный пакет $KX\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{X\}\}$имеет большой, или что d-каноническое отображение в общем случае инъективно (то есть бирациональное отображение на свой образ) для достаточно большого d.

Например, разновидность с обильной канонической связкой относится к общему типу.

В некотором смысле большинство алгебраических многообразий имеют общий тип. Например, гладкая гиперповерхность степени d в n-мерном проективном пространстве имеет общий тип тогда и только тогда, когда $d>n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d>n\; +\; 1\}$. In В этом смысле большинство гладких гиперповерхностей в проективном пространстве имеют общий тип.

Многообразия общего типа кажутся слишком сложными для явной классификации даже для поверхностей. Тем не менее, есть некоторые сильные положительные результаты о многообразиях общего типа. Например, Энрико Бомбьери в 1973 году показал, что d-каноническая карта любой сложной поверхности общего типа бирациональна для любого $d\; \ge \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; geq\; 5\}$. В более общем плане, Кристофер Хакон и Джеймс МакКернан, Шигехару Такаяма и Хадзиме Цуджи показали в 2006 году, что для каждого положительного целого числа n существует постоянная $c\; (n)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; c\; (n)\}$s uch, что d-каноническое отображение любого сложного n-мерного многообразия общего типа является бирациональным, когда $d\; \ge \; c\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; geq\; c\; (n)\}$.

Группа бирациональных автоморфизмов многообразия общего типа конечно.

Пусть X - разновидность неотрицательной размерности Кодаира над полем нулевой характеристики, и пусть B - каноническая модель X, B = Proj R (X, K X); размерность B равна размерности Кодаиры X. Существует естественное рациональное отображение X - → B; любой морфизм, полученный из него путем разрушения X и B, называется расслоением Иитаки. минимальная модель и гипотезы изобилия будут означать, что общий слой расслоения Иитака может быть устроен как многообразие Калаби – Яу, которое, в частности, имеет нулевую размерность Кодаиры. Более того, существует эффективный Q -дивизор Δ на B (не единственный) такой, что пара (B, Δ) равна klt, K B + Δ обильно, а каноническое кольцо X совпадает с каноническим кольцом (B, Δ) в степенях, кратных некоторому d>0. В этом смысле X раскладывается в семейство многообразий размерности Кодаиры нуль над базой (B, Δ) общего типа. (Обратите внимание, что многообразие B само по себе не обязательно должно быть общего типа. Например, существуют поверхности размерности Кодаира 1, для которых расслоение Иитаки является эллиптическим расслоением над P .)

Учитывая упомянутые гипотезы, классификация алгебраических многообразий в значительной степени сводится к случаям размерности Кодаира $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$, 0 и общего типа. Для измерения Кодаира $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$и 0 есть несколько подходов к классификации. Гипотезы о минимальной модели и изобилии предполагают, что каждое многообразие размерности Кодаира $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$однонаправлено, и известно, что каждое однолинейное многообразие в нулевая характеристика бирациональна для расслоения Фано. Из гипотез о минимальной модели и изобилии следует, что каждое многообразие размерности Кодаиры 0 бирационально многообразию Калаби-Яу с терминальными особенностями.

Гипотеза Иитаки утверждает, что размерность Кодаиры расслоения равна по крайней мере сумме Размерность Кодаира основания и размерность Кодаира общего слоя; см. обзор Мори (1987). Гипотеза Иитаки помогла вдохновить на развитие теории минимальных моделей в 1970-х и 1980-х годах. Сейчас это известно во многих случаях, и в целом будет следовать из минимальной модели и предположений о численности.

Накамура и Уэно доказали следующую формулу аддитивности для комплексных многообразий (Уэно (1975)). Хотя базовое пространство не обязательно должно быть алгебраическим, предположение, что все слои изоморфны, является очень специальным. Даже при таком предположении формула может не работать, если волокно не Мойшезон.

Пусть π: V → W - аналитическое расслоение компактных комплексных многообразий, что означает, что π является локально произведением (и поэтому все слои изоморфны как комплексные многообразия). Предположим, что слой F является многообразием Мойшезона. Тогда

$\kappa \; (V)\; =\; \kappa \; (F)\; +\; \kappa \; (W).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; (V)\; =\; \backslash \; kappa\; (F)\; +\; \backslash \; kappa\; (W).\}$

• Chen, Jungkai A.; Чен, Мэн (2014), «Явная бирациональная геометрия трехмерных и четырехмерных многообразий общего типа, III», Compositio Mathematica, 151 (6): 1041–1082, arXiv : 1302.0374, Bibcode : 2013arXiv1302.0374M, doi : 10.1112 / S0010437X14007817
• Долгачев, Игорь (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
• Fujino, Osamu; Мори, Шигефуми (2000), «Формула канонического пучка», Журнал дифференциальной геометрии, 56(1): 167–188, doi : 10.4310 / jdg / 1090347529, MR 1863025
• Иитака, Сигэру (1970), «О D-размерности алгебраических многообразий», Proc. Japan Acad., 46 (6): 487–489, doi : 10.3792 / pja / 1195520260, MR 0285532
• Иитака, Сигэру (1971), «О D-размерности алгебраических многообразий», J. Math. Soc. Япония, 23 (2): 356–373, doi : 10.2969 / jmsj / 02320356, MR 0285531
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Положительность в алгебраической геометрии, 1, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-642-18808-4, ISBN 978-3-540-22533-1, MR 2095471
• Мори, Шигефуми (1987), «Классификация многомерных многообразий», Алгебраическая геометрия (Bowdoin, 1985), Proceedings of Симпозиумы по чистой математике, 46, часть 1, Американское математическое общество, стр. 269–331, MR 0927961
• Шафаревич, Игорь Р. ; Averbuh, B.G.; Ванберг, Ю. Р.; Жижченко, А.Б.; Манин Юрий Иванович ; Мошезон Борис Григорьевич ; Тюрина, Г. Н.; Тюрин, А. Н. (1965), "Алгебраические поверхности", Академия Наук СССР. Труды Математического Института Имени В.А. Стеклова, 75 : 1–215, ISSN 0371-9685, MR 0190143, Zbl 0154.21001
• Сиу, Юм-Тонг (2002), «Расширение скрученных плюриканонических сечений с плюрисубгармоническим весом и инвариантностью полуположительно скрученных плюриродов для многообразий не обязательно общего типа», Комплексная геометрия (Геттинген, 2000), Берлин: Springer-Verlag, стр. 223–277, MR 1922108
• Уэно, Кенджи (1975), Теория классификации алгебраических многообразий и компактных комплексных пространств, Конспекты лекций по математике, 439, Springer-Verlag, MR 0506253