Большой набор строк

редактировать

В математике отличительной особенностью алгебраической геометрии является то, что некоторые линейные группы на проективном многообразии можно считать «положительным», в то время как другие - «отрицательным» (или их смесью). Наиболее важным понятием положительности является понятие обильного линейного пучка, хотя есть несколько связанных классов линейных пучков. Грубо говоря, свойства положительности линейного пучка связаны с наличием большого количества глобальных секций . Понимание обильных линейных расслоений на данном многообразии X сводится к пониманию различных способов отображения X в проективное пространство. Ввиду соответствия между линейными связками и делителями (построенными из подмножеств коразмерности -1), существует эквивалентное понятие обильного делителя .

. Более подробно, линейный пучок называется без базовой точки, если он имеет достаточно секций, чтобы дать морфизм проективному пространству. Линейный пучок является полуобильным, если его некоторая положительная мощность не содержит базовых точек; полуобобильность - это своего рода «неотрицательность». Более того, линейный пакет на X является очень обширным, если он имеет достаточно секций, чтобы дать закрытое погружение (или «вложение») X в проективное пространство.. Линейный пучок является достаточным, если некоторой положительной мощности достаточно.

Обильное линейное расслоение на проективном многообразии X имеет положительную степень на каждой кривой в X. Обратное не совсем верно, но есть исправленные версии обратного, Накаи – Мойшезона и критерии Клеймана обильности.

Содержание

1 Введение
- 1.1 Возврат линейного пучка и делителей гиперплоскостей
- 1.2 Линейные связки без базовых точек
- 1.3 Nef, глобально генерируемые, полуобильные
- 1.4 Очень широкие линейные связки
2 Определения
3 Примеры / Непримеры
4 Критерии обилия линейных пучков
- 4.1 Теория пересечений
- 4.2 Критерий Клеймана
- 4.3 Открытость обилия
- 4.4 Другие характеристики Клеймана обильности
5 Обобщения
- 5.1 Обильные векторные расслоения
- 5.2 Большие линейные расслоения
6 Относительная обильность
7 См. также
- 7.1 Общая алгебраическая геометрия
- 7.2 Полнота в сложной геометрии
8 Примечания
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Введение

Возврат линейного пучка и делителей гиперплоскостей

Учитывая морфизм $f: X → Y { \ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f\colon X\to Y$ из схем, векторный пакет E на Y (или, в более общем смысле, когерентный пучок на Y) имеет откат к X, $f ∗ E {\ displaystyle f ^ {*} E}$ $f^{*}E$ (см. Связка модулей # Операции ). Обратный вызов векторного расслоения - это векторное расслоение того же ранга. В частности, откат линейного пучка - это линейный пучок. (Вкратце, слой $f ∗ E {\ displaystyle f ^ {*} E}$ $f^{*}E$ в точке x в X является слоем E в точке f (x).)

Понятия, описанные в этой статье, связаны с этой конструкцией в случае морфизма в проективное пространство

f: X → P n, {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {P} ^ {n},}

f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},

с E = O (1) линейное расслоение на проективном пространстве, глобальные сечения которого являются однородными многочленами степени 1 (то есть линейными функциями) от переменных $x 0,…, xn {\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}$ $x_0,\ldots,x_n$ . Линейный пакет O (1) также можно описать как линейный пакет, связанный с гиперплоскостью в $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\mathbb P}^{n}$ (поскольку нулевое множество сечения O (1) является гиперплоскостью). Если f - закрытое погружение, например, отсюда следует, что откат $f ∗ O (1) {\ displaystyle f ^ {*} O (1)}$ $f^{*}O(1)$ - это линейный пучок на X, связанный в секцию гиперплоскости (пересечение X с гиперплоскостью в $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\mathbb {P} ^{n}$ ).

Линейные связки без базовых точек

Пусть X - схема над полем k (например, алгебраическое многообразие) с линейным расслоением L. (Линейное расслоение также может называться обратимым пучком.) Пусть $a 0,..., an {\ displaystyle a_ {0},..., a_ {n}}$ $a_{0},...,a_{n}$ быть элементами k- векторного пространства $H 0 (X, L) { \ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ $H^{0}(X,L)$ из глобальных разделов L. Нулевой набор каждого раздела является замкнутым подмножеством X; пусть U будет открытым подмножеством точек, в которых хотя бы один из $a 0,…, a n {\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$ $a_{0},\ldots,a_{n}$ не равен нулю. Тогда эти секции определяют морфизм

f: U → P k n, x ↦ [a 0 (x),…, a n (x)]. {\ displaystyle f \ двоеточие U \ to \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}, \ x \ mapsto [a_ {0} (x), \ ldots, a_ {n} (x)].}

f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots,a_{n}(x)].

Более подробно: для каждой точки x из U слой L над x является 1-мерным векторным пространством над полем вычетов k (x). Выбор основы для этого волокна делает $a 0 (x),…, an (x) {\ displaystyle a_ {0} (x), \ ldots, a_ {n} (x)}$ $a_{0}(x),\ldots,a_{n}(x)$ в последовательность из n + 1 чисел, не все нули, и, следовательно, точку в проективном пространстве. При изменении выбора базиса все числа масштабируются на одну и ту же ненулевую константу, поэтому точка в проективном пространстве не зависит от выбора.

Более того, этот морфизм обладает тем свойством, что ограничение L на U изоморфно откату $f ∗ O (1) {\ displaystyle f ^ {*} O (1)}$ $f^{*}O(1)$ .

Базовое множество линейного расслоения L на схеме X является пересечением нулевых множеств всех глобальных секций L. Линейное расслоение L называется безбазовыми точками, если его основание локус пуст. То есть для каждой точки x из X существует глобальное сечение L, отличное от нуля в x. Если X собственно над полем k, тогда векторное пространство $H 0 (X, L) {\ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ $H^{0}(X,L)$ из глобальные сечения имеют конечную размерность; размер называется $h 0 (X, L) {\ displaystyle h ^ {0} (X, L)}$ $h^{0}(X,L)$ . Таким образом, линейный пучок L без базовых точек определяет морфизм $f: X → P n {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {P} ^ {n}}$ $f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}$ над k, где $n = h 0 (X, L) - 1 {\ displaystyle n = h ^ {0} (X, L) -1}$ $n=h^ {0}(X,L)-1$ , заданное выбором основы для $H 0 ( X, L) {\ Displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ $H^{0}(X,L)$ . Не делая выбора, это можно описать как морфизм

f: X → P (H 0 (X, L)) {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {P} (H ^ {0} ( X, L))}

f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))

от X до пространства гиперплоскостей в $H 0 (X, L) {\ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ $H^{0}(X,L)$ , канонически связанный в линейное расслоение без базовых точек L. Этот морфизм обладает тем свойством, что L является обратным движением $f ∗ O (1) {\ displaystyle f ^ {*} O (1)}$ $f^{*}O(1)$ .

Наоборот, для любого морфизма f из схемы X в проективное пространство $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\mathbb {P} ^{n}$ над k, пучок строк отката $f ∗ O (1) {\ displaystyle f ^ {*} O (1)}$ $f^{*}O(1)$ не содержит базовых точек. Действительно, O (1) не содержит базовых точек на $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\mathbb {P} ^{n}$ , потому что для каждой точки y в $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\mathbb {P} ^{n}$ существует гиперплоскость, не содержащая y. Следовательно, для каждой точки x в X существует участок s из O (1) над $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\mathbb {P} ^{n}$ , который не равен нулю в f (x), а откат s является глобальным разделом $f ∗ O (1) {\ displaystyle f ^ {*} O (1)}$ $f^{*}O(1)$ , который не равен нулю в x. Короче говоря, линейные расслоения без базовых точек - это именно те, которые можно выразить как откат O (1) с помощью некоторого морфизма к проективному пространству.

Nef, глобально сгенерированный, полуобширный

degree линейного пучка L на собственной кривой C над k определяется как степень дивизора (s) любого ненулевого рационального сечения s группы L. Коэффициенты этого дивизора положительны в точках, где s обращается в нуль, и отрицательны, где s имеет полюс. Следовательно, любой линейный пучок L на кривой C такой, что $H 0 (C, L) ≠ 0 {\ displaystyle H ^ {0} (C, L) \ neq 0}$ $H^{0}(C,L)\neq 0$ имеет неотрицательную степень (поскольку секции L над C, в отличие от рациональных секций, не имеют полюсов). В частности, любое линейное расслоение без базовых точек на кривой имеет неотрицательную степень. В результате линейное расслоение L без базовых точек на любой подходящей схеме X над полем имеет вид nef, что означает, что L имеет неотрицательную степень на каждой (неприводимой) кривой в X.

В более общем смысле, связка F $OX {\ displaystyle O_ {X}}$ $O_{X}$ -модулей на схеме X называется глобально сгенерированной, если есть - это набор I глобальных секций $si ∈ H 0 (X, F) {\ displaystyle s_ {i} \ in H ^ {0} (X, F)}$ $s_{i}\in H^{0}(X,F)$ таких, что соответствующий морфизм

⨁ i ∈ IOX → F {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} O_ {X} \ to F}

\bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F

пучков сюръективно. Линейный пакет генерируется глобально тогда и только тогда, когда он не содержит базовых точек.

Например, каждый квазикогерентный пучок на аффинной схеме генерируется глобально. Аналогично, в комплексной геометрии, теорема Картана A утверждает, что каждый когерентный пучок на многообразии Штейна порождается глобально.

Линейный пучок L в правильной схеме над полем является полуобильным, если существует положительное целое число r такое, что тензорная степень $L ⊗ r {\ displaystyle L ^ {\ otimes r}}$ $L^{\otimes r}$ не содержит базовых точек. Полуобильное линейное расслоение является nef (по соответствующему факту для линейных расслоений без базовых точек).

Очень обильные линейные расслоения

Линейное расслоение L на правильной схеме X над полем k называется очень обильным, если он не содержит базовых точек и связанный с ним морфизм

f: X → P kn {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}

f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}

- закрытое погружение. Здесь $n = h 0 (X, L) - 1 {\ displaystyle n = h ^ {0} (X, L) -1}$ $n=h^ {0}(X,L)-1$ . Эквивалентно, L очень обильно, если X может быть вложено в проективное пространство некоторой размерности над k таким образом, что L является ограничением линейного расслоения O (1) на X. Последнее определение используется для определения очень обильности для линейный пучок по правильной схеме над любым коммутативным кольцом .

Название «очень обильный» было введено Александром Гротендиком в 1961 году. Различные имена использовались ранее в контексте linear системы дивизоров.

Для очень обильного линейного расслоения L на собственной схеме X над полем с ассоциированным морфизмом f, степень L на кривой C в X равна степени f (C) в виде кривой в $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\mathbb {P} ^{n}$ . Итак, L имеет положительную степень на каждой кривой в X (потому что каждое подмногообразие проективного пространства имеет положительную степень).

Определения

Линейное расслоение L на собственной схеме X над коммутативным кольцом R называется считается обильным, если существует положительное целое число r такое, что тензорная степень $L ⊗ r {\ displaystyle L ^ {\ otimes r}}$ $L^{\otimes r}$ очень велика. В частности, собственная схема над R имеет обильное линейное расслоение тогда и только тогда, когда оно проективно над R. Обильное линейное расслоение на собственной схеме X над полем имеет положительную степень на каждой кривой в X по соответствующему утверждению для очень обильные линейные связки.

A Дивизор Картье D на собственной схеме X над полем k называется обильным, если соответствующее линейное расслоение O (D) обильно. (Например, если X гладко над k, то дивизор Картье можно отождествить с конечной линейной комбинацией замкнутых подмногообразий коразмерности-1 в X с целыми коэффициентами.)

На Для произвольной схемы X Гротендик определил линейное расслоение L как обильное, если X квазикомпакт и для каждой точки x в X существует натуральное число r и сечение $s ∈ H 0 (X, L ⊗ r) {\ displaystyle s \ in H ^ {0} (X, L ^ {\ otimes r})}$ $s\in H^{0}(X,L^{\otimes r})$ такой, что s отличен от нуля в x, а открытая подсхема ${s ≠ 0} ⊂ X {\ displaystyle \ {s \ neq 0 \} \ subset X}$ ${\disp laystyle \{s\neq 0\}\subset X}$ аффинно. Например, тривиальный линейный набор $O X {\ displaystyle O_ {X}}$ $O_{X}$ является обильным тогда и только тогда, когда X является квазиаффинным. Остальная часть этой статьи будет сосредоточена на достаточном количестве правильных схем над полем.

Ослабление понятия «очень обширный» до «вполне достаточного» дает гибкую концепцию с широким спектром различных характеристик. Во-первых, тензорные высокие степени обильного линейного пучка с любым когерентным пучком вообще дают пучок с множеством глобальных секций. Более точно, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом ) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует целое число s такое что связка $F ⊗ L ⊗ r {\ displaystyle F \ otimes L ^ {\ otimes r}}$ $F\otimes L^{\otimes r}$ генерируется глобально для всех $r ≥ s {\ displaystyle r \ geq s}$ $r\geq s$ . Здесь s может зависеть от F.

Другая характеристика обильности, известная как теорема Картана - Серра - Гротендика, выражается в терминах когерентные когомологии пучков. А именно, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует такое целое число s, что

H i ( Икс, F ⊗ L ⊗ р) знак равно 0 {\ displaystyle H ^ {i} (X, F \ otimes L ^ {\ otimes r}) = 0}

H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0

для всех $i>0 {\ displaystyle i>0}$ $i>0$ и все $r ≥ s {\ displaystyle r \ geq s}$ $r\geq s$ . В частности, высокие степени обильного линейного пучка уничтожают когомологии в положительных степенях. Это следствие называется исчезновением Серра теорема, доказанная Жан-Пьером Серром в его статье 1955 года Faisceaux algébriques cohérents.

Примеры / Непримеры

Тривиальное линейное расслоение $OX {\ displaystyle O_ {X}}$ $O_{X}$ на проективном многообразии X положительной размерности не имеет базисных точек, но не обильно. В общем, для любого морфизма f из проективного va рити X в какое-то проективное пространство $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\mathbb {P} ^{n}$ над полем, связка обратной линии $L = f ∗ O (1) { \ displaystyle L = f ^ {*} O (1)}$ $L=f^{*}O(1)$ всегда не содержит базовых точек, тогда как L является обильным тогда и только тогда, когда морфизм f конечный (то есть все волокна f имеют размерность 0 или пусты).
Для целого числа d - пространство секций линейного пучка O (d) над $ПК 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} _ { \ mathbb {C}} ^ {1}}$ $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ - это комплексное векторное пространство однородных многочленов степени d от переменных x, y. В частности, это пространство равно нулю для d <0. Для $d ≥ 0 {\ displaystyle d \ geq 0}$ $d\geq 0$ морфизм проективного пространства, задаваемый O (d), равен

P 1 → P d {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ to \ mathbb {P} ^ {d}}

\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}

на

[x, y] ↦ [xd, xd - 1 y,…, ярд]. {\ displaystyle [x, y] \ mapsto [x ^ {d}, x ^ {d-1} y, \ ldots, y ^ {d}].}

[x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots,y^{d}].

Это закрытое погружение для

d ≥ 1 {\ displaystyle d \ geq 1}

d\geq 1

, с изображением a рациональной нормальной кривой степени d в

P d {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {d} }

\mathbb {P} ^{d}

. Следовательно, O (d) не содержит базовых точек тогда и только тогда, когда

d ≥ 0 {\ displaystyle d \ geq 0}

d\geq 0

, и очень обильно тогда и только тогда, когда

d ≥ 1 {\ displaystyle d \ geq 1}

d\geq 1

. Отсюда следует, что O (d) обильно тогда и только тогда, когда

d ≥ 1 {\ displaystyle d \ geq 1}

d\geq 1

. Например, где «обильный» и «очень обильный» различаются, пусть X будет гладким проективная кривая рода 1 (эллиптическая кривая ) над C, и пусть p будет комплексной точкой X. Пусть O (p) будет ассоциированной прямой расслоение степени 1 на X. Тогда комплексное векторное пространство глобальных сечений O (p) имеет размерность 1, натянутую на сечение, равное нулю в p. Таким образом, базовое множество O (p) равно p. С другой стороны, O (2p) не содержит базовых точек, а O (dp) очень много для $d ≥ 3 {\ displaystyle d \ geq 3}$ $d\geq 3$ (что дает вложение X как эллиптическая кривая степени d в $P d - 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {d-1}}$ $\mathbb {P} ^{d-1}$ ). Следовательно, O (p) обильно, но не очень обильно. Кроме того, O (2p) достаточно много и не имеет базовых точек, но не очень много; ассоциированный морфизм проективного пространства - это разветвленное двойное покрытие $X → P 1 {\ displaystyle X \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ $X\to \mathbb {P} ^{1}$ .
На кривых высшего рода - обильные линейные расслоения L, для которых каждое глобальное сечение равно нулю. (Но по определению большие кратные L имеют много участков.) Например, пусть X - гладкая плоская кривая квартики (степени 4 в $P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ $\mathbb {P} ^{2}$ ) над C, и пусть p и q - различные комплексные точки X. Тогда линейный пучок $L = O (2 p - q) {\ displaystyle L = O (2p -q)}$ $L=O(2p-q)$ достаточно, но имеет $H 0 (X, L) = 0 {\ displaystyle H ^ {0} (X, L) = 0}$ $H^{0}(X,L)=0$ .

Критерии полноты строки пучки

Теория пересечений

Чтобы определить, является ли данное линейное расслоение на проективном многообразии X обильным, часто наиболее полезными являются следующие числовые критерии (в терминах чисел пересечений). Это эквивалентно заданию вопроса, когда дивизор Картье D на X обилен, а это означает, что соответствующее линейное расслоение O (D) обильно. Число пересечения $D ⋅ C {\ displaystyle D \ cdot C}$ $D\cdot C$ можно определить как степень линейного пучка O (D), ограниченного точкой C. В другом направлении для линейного пучка L на проективном многообразии первый класс Черна $c 1 (L) {\ displaystyle c_ {1} (L)}$ $c_{1}(L)$ означает связанный делитель Картье (определенный до линейная эквивалентность), дивизор любого ненулевого рационального сечения L.

На гладкой проективной кривой X над алгебраически замкнутым полем k линейное расслоение L является очень обильно тогда и только тогда, когда $час 0 (Икс, L - О (- x - y)) = час 0 (X, L) - 2 {\ displaystyle h ^ {0} (X, L \ otimes O ( -xy)) = h ^ {0} (X, L) -2}$ $h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2$ для всех k- рациональных точек x, y в X. Пусть g - род X. По теореме Римана – Роха любое линейное расслоение степени не меньше 2g + 1 удовлетворяет этому условию и, следовательно, очень обильно. В результате линейный набор на кривой будет обильным тогда и только тогда, когда он имеет положительную степень.

Например, канонический набор $KX {\ displaystyle K_ {X} }$ $K_{X}$ кривой X имеет степень 2g - 2, поэтому она обильна тогда и только тогда, когда $g ≥ 2 {\ displaystyle g \ geq 2}$ $g\geq 2$ . Кривые с обильным каноническим расслоением составляют важный класс; например, по комплексным числам это кривые с метрикой отрицательной кривизны. Канонический набор очень обширен тогда и только тогда, когда $g ≥ 2 {\ displaystyle g \ geq 2}$ $g\geq 2$ и кривая не гиперэллиптическая.

критерий Накаи – Мойшезона (названный в честь Йошиказу Накаи (1963) и Бориса Мойшезона (1964)) утверждает, что линейное расслоение L на правильной схеме X над полем является обильным тогда и только тогда, когда $∫ Y c 1 (L) тусклый (Y)>0 {\ displaystyle \ int _ {Y} c_ {1} (L) ^ {{\ text {dim}} (Y)}>0}$ $\int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0$ для каждого (несводимо ) замкнутое подмногообразие Y в X (Y не может быть точкой). С точки зрения делителей, дивизор Картье D является обильным тогда и только тогда, когда $D dim (Y) ⋅ Y>0 {\ displaystyle D ^ {{\ text {dim}} (Y)} \ cdot Y>0}$ $D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0$ для каждого (ненулевого) подмножества y Y кривой X. Для кривой X это означает, что дивизор обилен тогда и только тогда, когда он имеет положительную степень. Для поверхности X критерий говорит, что делитель D является обильным тогда и только тогда, когда его число самопересечения $D 2 {\ displaystyle D ^ {2}}$ $D^{2}$ равно положительно, и каждая кривая C на X имеет $D ⋅ C>0 {\ displaystyle D \ cdot C>0}$ $D\cdot C>0$ .

Критерий Клеймана

Изложить <164353>критерий Клеймана (1966), пусть X будет проективной схемой над полем. Пусть $N 1 (X) {\ displaystyle N_ {1} (X)}$ $N_{1}(X)$ будет вещественным вектором пространство 1-циклов (реальных линейных комбинаций кривых в X) по модулю числовой эквивалентности, что означает, что два 1-цикла A и B равны в $N 1 (X) {\ displaystyle N_ {1} (X)}$ $N_{1}(X)$ тогда и только тогда, когда каждое линейное расслоение имеет одинаковую степень на A и на B. По теореме Нерона – Севери вещественное векторное пространство $N 1 (X) {\ displaystyle N_ {1} (X)}$ $N_{1}(X)$ имеет конечную размерность. C Клеймана riterion утверждает, что линейное расслоение L на X обильно тогда и только тогда, когда L имеет положительную степень на каждом ненулевом элементе C замыкания конуса кривых NE (X) в $N 1 (Икс) {\ Displaystyle N_ {1} (X)}$ $N_{1}(X)$ . (Это немного сильнее, чем сказать, что L имеет положительную степень на каждой кривой.) Эквивалентно, линейное расслоение является обильным тогда и только тогда, когда его класс в двойном векторном пространстве $N 1 (X) { \ displaystyle N ^ {1} (X)}$ $N^{1}(X)$ находится внутри конуса nef.

критерий Клеймана в целом не работает для правильных (а не проективных) схем X над полем, хотя оно выполняется, если X гладкое или, в более общем смысле, Q-факторное.

Линейное расслоение на проективном многообразии называется строго nef, если оно имеет положительную степень на каждой кривой. Нагата (1959) и Дэвид Мамфорд построили линейные расслоения на гладких проективных поверхностях, которые являются строго плоскими, но не обильными. Это показывает, что условие $c 1 (L) 2>0 {\ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2}>0}$ $c_{1}(L)^{2}>0$ нельзя пропустить в критерии Накаи – Мойшезона, и необходимо использовать закрытие NE (X), а не NE (X) в критерии Клеймана. Каждый линейный пучок nef на поверхности имеет $c 1 (L) 2 ≥ 0 {\ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} \ geq 0}$ $c_{1}(L)^{2}\geq 0$ , а в примерах Нагаты и Мамфорда $c 1 (L) 2 = 0 {\ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 0}$ $c_{1}(L)^{2}=0$ .

CS Seshadri показал, что линейное расслоение L на собственной схеме над алгебраически замкнутым полем обильно тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число ε такое, что deg (L | C) ≥ εm (C) для всех (неприводимые) кривые C в X, где m (C) - максимум кратностей в точках C.

В более общем случае для линейных расслоений на собственном алгебраическом пространстве над полем k. В частности, критерий Накаи-Мойшезона применим в этой общности. Критерий Картана-Серра-Гротендика выполняется даже в более общем смысле для собственного алгебраического пространства над нётеровым кольцом R. (Если собственное алгебраическое пространство над R имеет обильное линейное расслоение, то оно фактически является проективной схемой над R.) критерий не выполняется для собственных алгебраических пространств X над полем, даже если X гладко.

Открытость обильности

На проективной схеме X над полем критерий Клеймана означает, что обильность является открытым условием на классе R -дивизора (R -линейная комбинация делителей Картье) в $N 1 (X) {\ displaystyle N ^ {1} (X) }$ $N^{1}(X)$ с топологией, основанной на топологии действительных чисел. (R -дивизор определяется как обильный, если он может быть записан как положительная линейная комбинация обильных дивизоров Картье.) Элементарный частный случай: для обильного делителя H и любого дивизора E существует положительное действительное число b такое, что $H + a E {\ displaystyle H + aE}$ $H+aE$ достаточно для всех действительных чисел a, абсолютное значение которых меньше b. В терминах делителей с целыми коэффициентами (или линейных расслоений) это означает, что nH + E обильно для всех достаточно больших натуральных чисел n.

Полнота также является открытым условием в совершенно другом смысле, когда разнообразие или линейное расслоение варьируется в алгебраической семье. А именно, пусть $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f\colon X\to Y$ будет собственным морфизмом схем, и пусть L будет линейным расслоением на X. Тогда множество точек y в Y такое, что L достаточно на волокне $X y {\ displaystyle X_ {y}}$ $X_{y}$ открыто (в топологии Зарисского ). Более того, если L обильно на одном слое $X y {\ displaystyle X_ {y}}$ $X_{y}$ , то существует аффинная открытая окрестность U точки y такая, что L обильна на $f - 1 (U) {\ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ $f^{-1}(U)$ по сравнению с U.

Другие характеристики обильности Клеймана

Клейман также доказал следующие характеристики полноты, которую можно рассматривать как промежуточный этап между определением полноты и числовыми критериями. А именно, для линейного расслоения L на правильной схеме X над полем следующие условия эквивалентны:

L обильно.
Для любого (неприводимого) подмногообразия $Y ⊂ X {\ displaystyle Y \ subset X}$ $Y\subset X$ положительной размерности, есть положительное целое число r и сечение $s ∈ H 0 (Y, L ⊗ r) {\ displaystyle s \ in H ^ {0} (Y, {\ mathcal {L}} ^ {\ otimes r})}$ $s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})$ которое не равно нулю тождественно, но обращается в нуль в некоторой точке Y.
Для любого (неприводимого) подмногообразия $Y ⊂ X {\ displaystyle Y \ subset X}$ $Y\subset X$ положительной размерности, голоморфные характеристики Эйлера степеней L на Y уходят в бесконечность:

χ (Y, L ⊗ r) → ∞ {\ displaystyle \ chi (Y, {\ mathcal {L}} ^ {\ otimes r}) \ to \ infty}

\chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty

как

r → ∞ {\ displaystyle r \ to \ infty}

r\to \infty

Обобщения

Обильные векторные расслоения

Робин Хартшорн определил векторное расслоение F на проективной схеме X над полем как обильное, если линейный пакет $O (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$ ${\mathcal {O}}(1)$ на пространстве $P (F) {\ displaystyle \ mathbb {P} (F)}$ ${\mathbb {P}}(F)$ гиперплоскостей в F достаточно.

Расширяются некоторые свойства широких линейных пучков в обильные векторные расслоения. Например, векторное расслоение F является обильным тогда и только тогда, когда высокие симметричные степени F уничтожают когомологии $H i {\ displaystyle H ^ {i}}$ $H^{i}$ когерентных пучков для всех $i.>0 {\ displaystyle i>0}$ $i>0$ . Кроме того, класс Черна $cr (F) {\ displaystyle c_ {r} (F)}$ $c_{r}(F)$ обширного векторного пучка имеет положительный степень на каждом r-мерном подмногообразии X для $1 ≤ r ≤ rank (F) {\ displaystyle 1 \ leq r \ leq {\ text {rank}} (F)}$ $1\leq r\leq {\text{rank}}(F)$ .

Большие линейные пучки

Полезным ослаблением обильности, особенно в бирациональной геометрии, является понятие большого линейного расслоения . Линейное расслоение L на проективном многообразии X размерности n над поле считается большим, если существует положительное действительное число a и положительное целое число $j 0 {\ displaystyle j_ {0}}$ $j_{0}$ такие, что $h 0 (X, L ⊗ j) ≥ ajn {\ displaystyle h ^ {0} (X, L ^ {\ otimes j}) \ geq aj ^ {n}}$ $h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}$ для всех $j ≥ j 0 {\ displaystyle j \ geq j_ {0}}$ $j\geq j_{0}$ . Это максимально возможная скорость роста пространств сечений степеней L в том смысле, что для каждого линейного расслоения L на X существует положительное число b с $h 0 (X, L ⊗ j) ≤ bjn { \ displaystyle h ^ {0} (X, L ^ {\ otimes j}) \ leq bj ^ {n}}$ $h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}$ для всех j>0.

Есть несколько других характеристик большие линейные связки. Во-первых, линейный пучок велик тогда и только тогда, когда существует положительное целое число r такое, что рациональное отображение из X в $P (H 0 (X, L ⊗ r)) {\ displaystyle \ mathbb {P} (H ^ {0} (X, L ^ {\ otimes r}))}$ $\mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))$ , заданный разделами $L ⊗ r {\ displaystyle L ^ {\ otimes r} }$ $L^{\otimes r}$ является бирациональным на свой образ. Кроме того, линейное расслоение L велико тогда и только тогда, когда оно имеет положительную тензорную степень, которая является тензорным произведением обильного линейного расслоения A и эффективного линейного расслоения B (что означает, что $H 0 (X, B) ≠ 0 {\ displaystyle H ^ {0} (X, B) \ neq 0}$ $H^{0}(X,B)\neq 0$ ). Наконец, линейный пучок велик тогда и только тогда, когда его класс в $N 1 (X) {\ displaystyle N ^ {1} (X)}$ $N^{1}(X)$ находится внутри конуса эффективных делителей.

Крупность можно рассматривать как бирационально инвариантный аналог обильности. Например, если $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f\colon X\to Y$ является доминирующим рациональным отображением между гладкими проективными разновидностями одного и того же измерения, то откат большой линии расслоение на Y является большим на X. (На первый взгляд, откат - это только линейное расслоение на открытом подмножестве X, где f - морфизм, но это распространяется однозначно на линейное расслоение на всем X.) Для обильных линейных расслоений, можно только сказать, что обратное преобразование обильного линейного расслоения конечным морфизмом является обильным.

Пример: Пусть X будет раздутием проективной плоскости $P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ $\mathbb {P} ^{2}$ в точке над комплексными числами. Пусть H - откат к X прямой на $P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ $\mathbb {P} ^{2}$ , и пусть E - исключительная кривая раздува $π: Икс → п 2 {\ displaystyle \ pi \ двоеточие X \ to \ mathbb {P} ^ {2}}$ $\pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}$ . Тогда дивизор H + E большой, но не обильный (или даже nef) на X, потому что

(H + E) ⋅ E = E 2 = - 1 < 0. {\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}

(H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.

Эта отрицательность также означает, что базовое геометрическое место H + E (или любое положительное кратное) содержит кривую E. Фактически, это базовое множество равно E.

Относительная обильность

Учитывая квазикомпактный морфизм схем $f : X → S {\ displaystyle f: X \ to S}$ $f:X\to S$ , обратимый пучок L на X называется обильным относительно относительно f или f-обильным, если выполняются следующие эквивалентные условия:

Для каждого открытого аффинного подмножества $U ⊂ S {\ displaystyle U \ subset S}$ $U\subset S$ ограничение L на $f - 1 ( U) {\ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ $f^{-1}(U)$ обильно (в обычном смысле).
f квази-разделен и имеется открытое погружение $Икс ↪ Proj S ⁡ (R), R: = f ∗ (⨁ 0 ∞ L ⊗ n) {\ displaystyle X \ hookrightarrow \ operatorname {Proj} _ {S} ( {\ mathcal {R}}), \, {\ mathcal {R}}: = f _ {*} \ left (\ bigoplus _ {0} ^ {\ infty} L ^ {\ otimes n} \ right)}$ $X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\rig ht)$ индуцировано картой присоединения :
$f ∗ R → ⨁ 0 ∞ L ⊗ n {\ displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {R}} \ to \ bigoplus _ {0} ^ {\ infty } L ^ {\ otimes n}}$ $f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}$ .
Условие 2. без "open".

Условие 2 говорит (примерно), что X может быть открыто компактифицирован в проективную схему с $O (1) = L {\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1) = L}$ ${\mathcal {O}}(1)=L$ (не только по правильной схеме).

См. Также

Общая алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия проективных пространств
Многообразие Фано : многообразие, каноническое расслоение которого антиобильно
Большая теорема Мацусаки
Дивизориальная схема : схема, допускающая обильное семейство линейных расслоений

Обильность в комплексной геометрии

Голоморфное векторное расслоение
Теорема вложения Кодаиры : на компактном комплексном многообразии полнота и положительность совпадают.
Теорема об исчезновении Кодаиры
Теорема Лефшеца о гиперплоскости : обильный дивизор в комплексном проективном многообразии X топологически подобен X.

Примечания

Ссылки

Фуджино, Осаму ( 2005), "On the Kleiman-Mori cone", Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences, 81: 80–84, doi :10.3792/pjaa.81.80, MR 2143547
Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8: 5–222. doi :10.1007/bf02699291. MR 0217084.
Hartshorne, Robin (1970), Ample Subvarieties of Algebraic Varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0067839, ISBN 978-3-540-05184-8, MR 0282977
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Kleiman, Steven L. (1966), "Toward a numerical theory of ampleness", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 84(3): 293–344, doi :10.2307/1970447, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970447, MR 0206009
Kollár, János (1990), "Projectivity of complete moduli", Journal of Differential Geometry, 32, doi :10.4310/jdg/1214445046, MR 1064874
Kollár, János (1996), Rational curves on algebraic varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180
Lazarsfeld, Robert (2004), Positivity in algebraic geometry (2 vols.), Berlin: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, MR 2095471
Nagata, Masayoshi (1959), "On the 14th problem of Hilbert", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 81(3): 766–772, doi :10.2307/2372927, JSTOR 2372927, MR 0154867

External links

The Stacks Project Authors, The Stacks Project