Теорема об исчезновении Кодаира

редактировать

Дает общие условия, при которых группы когомологий пучков с индексами>0 равны нулю

В математике теорема об исчезновении Кодаиры имеет вид основной результат теории комплексных многообразий и комплексной алгебраической геометрии, описывающий общие условия, при которых группы когомологий пучка с индексами q>0 автоматически равны нулю. Последствия для группы с индексом q = 0 обычно заключаются в том, что ее размерность - количество независимых глобальных секций - совпадает с голоморфной эйлеровой характеристикой, которую можно вычислить с помощью Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.

Содержание

1 Комплексный аналитический случай
2 Алгебраический случай
3 Последствия и приложения
4 См. Также
5 Ссылки

Комплексный аналитический случай

Утверждение результата Кунихико Кодаира состоит в том, что если M - компактное кэлерово многообразие комплексной размерности n, L любое голоморфное линейное расслоение на M, который положителен, и K M является каноническим линейным расслоением, тогда

H q (M, KM ⊗ L) = 0 { \ displaystyle H ^ {q} (M, K_ {M} \ otimes L) = 0}

H ^ {q} (M, K_ {M} \ otimes L) = 0

для q>0. Здесь $K M ⊗ L {\ displaystyle K_ {M} \ otimes L}$ $K_ {M} \ otimes L$ обозначает тензорное произведение линейных пакетов. С помощью двойственности Серра можно также получить исчезновение $H q (M, L ⊗ - 1) {\ displaystyle H ^ {q} (M, L ^ {\ otimes -1})}$ $H ^ {q} (M, L ^ {{\ otimes -1}})$ для q < n. There is a generalisation, the теорема об исчезновении Кодайры – Накано, в которой $KM ⊗ L ≅ Ω n (L) {\ displaystyle K_ {M} \ otimes L \ cong \ Omega ^ {n} (L)}$ $K_ {M} \ otimes L \ cong \ Omega ^ {n} (L)$ , где Ω (L) обозначает пучок голоморфных (n, 0) -форм на M со значениями на L, заменяется на Ω ( L) пучок голоморфных (r, 0) -форм со значениями на L. Тогда группа когомологий H (M, Ω (L)) обращается в нуль при q + r>n.

Алгебраический случай

Теорема об исчезновении Кодаиры может быть сформулирована на языке алгебраической геометрии без какой-либо ссылки на трансцендентные методы, такие как метрика Кэлера. Положительность линейного расслоения L преобразуется в соответствующий обратимый пучок, являющийся обильным (т. Е. Некоторая тензорная степень дает проективное вложение). Алгебраическая теорема об исчезновении Кодаира – Акизуки – Накано представляет собой следующее утверждение:

Если k является полем с нулевой характеристикой, X является гладким и проективная k- схема размерности d, и L - обильный обратимый пучок на X, то

H q (X, L ⊗ Ω X / kp) = 0 для p + q>d и {\ displaystyle H ^ {q} (X, L \ otimes \ Omega _ {X / k} ^ {p}) = 0 {\ text {for}} p + q>d, {\ text {и}}}

H^{q}(X,L\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q>d, {\ text {and}}

H q (X, L ⊗ - 1 ⊗ Ω X / kp) = 0 для p + q < d, {\displaystyle H^{q}(X,L^{\otimes -1}\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q

{\ displaystyle H ^ {q} (X, L ^ {\ otimes -1} \ otimes \ Omega _ {X / k} ^ {p}) = 0 {\ text {for}} p + q <d,}

, где Ω обозначает шкивы относительных (алгебраических) дифференциальных форм (см. дифференциал Кэлера ).

Рейно (1978) показал, что этот результат не всегда верен для полей характеристики p>0, и в частности не работает для поверхностей Рейно.

Однако до 1987 года единственное известное доказательство нулевой характеристики основывалось на комплексном анализе тиковое доказательство и теоремы сравнения GAGA. Однако в 1987 г. Пьер Делинь и Люк Иллюзи дали чисто алгебраическое доказательство теоремы об исчезновении в (Deligne Illusie 1987). Их доказательство основано на показе того, что спектральная последовательность Ходжа – де Рама для алгебраических когомологий де Рама вырождается в степени 1. Это демонстрируется удалением соответствующего более конкретного результата из характеристики p>0 - результат с положительной характеристикой не сохраняется без ограничений, но может быть отменен для получения полного результата.

Последствия и приложения

Исторически теорема вложения Кодаиры была получена с помощью теоремы об исчезновении. С применением двойственности Серра исчезновение различных групп когомологий пучков (обычно связанных с каноническим линейным расслоением) кривых и поверхностей помогает при классификации комплексных многообразий, например Классификация Энрикеса – Кодаира.

См. Также

Ссылки

Делинь, Пьер; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p et décomposition du complexe de Rham", Inventiones Mathematicae, 89 (2): 247–270, doi : 10.1007 / BF01389078
Эсно, Элен; Viehweg, Eckart (1992), Лекции по теоремам об исчезновении (PDF), семинар DMV, 20, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643 -2822-1, MR 1193913
Филип Гриффитс и Джозеф Харрис, Принципы алгебраической геометрии
Кодаира, Кунихико (1953), «О дифференциально-геометрическом методе в теории. аналитических стеков », Тр. Natl. Акад. Sci. США, 39 (12): 1268–1273, doi : 10.1073 / pnas.39.12.1268, PMC 1063947, PMID 16589409
Рейно, Мишель (1978), «Контр-пример по теореме исчезновения en caractéristique p>0», С.П. Рамануджам --- дань уважения, Tata Inst. Фонд. Res. Studies in Math., 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 273–278, MR 0541027