Двойственность Серра

редактировать

В алгебраической геометрии, разделе математики, двойственности Серра - это двойственность для когерентных пучков когомологий алгебраических многообразий, доказанная Жан-Пьером Серром. Базовая версия применяется к векторным расслоениям на гладком проективном многообразии, но Александр Гротендик нашел широкие обобщения, например, на особые многообразия. На n-мерном многообразии теорема утверждает, что группа когомологий $H i {\ displaystyle H ^ {i}}$ ${\ displaystyle H ^ {i}}$ является двойственным пространством другого, $ЧАС N - я {\ Displaystyle Н ^ {ni}}$ ${\ displaystyle H ^ {ni}}$ . Двойственность Серра является аналогом когерентных пучков когомологий двойственности Пуанкаре в топологии с каноническим линейным расслоением, заменяющим ориентационный пучок.

Теорема двойственности Серра также верна в комплексная геометрия в более общем смысле для компактных комплексных многообразий, которые не обязательно являются проективными комплексными алгебраическими многообразиями. В этом контексте теорема двойственности Серра является приложением теории Ходжа для когомологий Дольбо и может рассматриваться как результат в теории эллиптических операторов.

. две различные интерпретации двойственности Серра совпадают для неособых проективных комплексных алгебраических многообразий благодаря применению теоремы Дольбо, связывающей когомологии пучков с когомологиями Дольбо.

Содержание

1 Двойственность Серра для векторных расслоений
- 1.1 Алгебраическая теорема
- 1.2 Дифференциально-геометрическая теорема
2 Алгебраические кривые
3 Двойственность Серра для когерентных пучков
- 3.1 Комплексные модули Калаби –Многообразия Яу
4 Двойственность Гротендика
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Двойственность Серра для векторных расслоений

Алгебраическая теорема

Пусть X будет гладкое многообразие размерности n над полем k. Определите канонический линейный пакет $KX {\ displaystyle K_ {X}}$ $K_ {X}$ как набор n-форм на X, главной внешней мощности кокасательного расслоения :

KX = Ω X n = ⋀ n (T ∗ X). {\ displaystyle K_ {X} = \ Omega _ {X} ^ {n} = {\ bigwedge} ^ {n} (T ^ {*} X).}

{\ displaystyle K_ {X} = \ Omega _ {X} ^ {n} = {\ bigwedge} ^ {n} (T ^ {*} X).}

Кроме того, предположим, что X правильно (например, проективный ) над k. Тогда двойственность Серра говорит: для алгебраического векторного расслоения E на X и целого числа i существует естественный изоморфизм

H i (X, E) ≅ H n - i (X, KX ⊗ E ∗) ∗ {\ displaystyle H ^ {i} (X, E) \ cong H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}) ^ {\ ast}}

{\ displaystyle H ^ {i} (X, E) \ cong H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}) ^ {\ ast}}

конечного -мерные k-векторные пространства. Здесь $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ обозначает тензорное произведение векторных пучков. Отсюда следует, что размерности двух групп когомологий равны:

h i (X, E) = h n - i (X, K X ⊗ E ∗). {\ displaystyle h ^ {i} (X, E) = h ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}).}

{\ displaystyle h ^ {i} (X, E) = h ^ {ni } (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}).}

Как и в двойственности Пуанкаре, изоморфизм в двойственности Серра происходит от чашечного произведения в когомологии пучка. А именно, состав чашки с естественной картой трасс на $H n (X, KX) {\ displaystyle H ^ {n} (X, K_ {X})}$ ${\ displaystyle H ^ {n} (X, K_ {X})}$ - это совершенная пара :

H i (X, E) × H n - i (X, KX ⊗ E ∗) → H n (X, KX) → k. {\ displaystyle H ^ {i} (X, E) \ times H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}) \ to H ^ {n} (X, K_ {X}) \ to k.}

{\ displaystyle H ^ {i} (X, E) \ times H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}) \ to H ^ {n} (X, K_ {X}) \ к k.}

Отображение следа является аналогом когерентных пучковых когомологий интегрирования в когомологиях де Рама.

Дифференциально-геометрическая теорема

Серр также доказал такое же утверждение двойственности для X компактное комплексное многообразие и E голоморфное векторное расслоение. Здесь теорема двойственности Серра является следствием теории Ходжа. А именно, на компактном комплексном многообразии $X {\ displaystyle X}$ $X$ , снабженном римановой метрикой, существует звездный оператор Ходжа

⋆: Ω p (Икс) → Ω 2 N - п (Икс), {\ Displaystyle \ звезда: \ Omega ^ {p} (X) \ to \ Omega ^ {2n-p} (X),}

{\ displaystyle \ звезда: \ Omega ^ {p} (X) \ to \ Omega ^ {2n-p} (X),}

где $тусклый С ⁡ Икс знак равно N {\ Displaystyle \ тусклый _ {\ mathbb {C}} X = п}$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} X = n}$ . Кроме того, поскольку $X {\ displaystyle X}$ $X$ является сложным, существует разделение сложных дифференциальных форм на формы типа $(p, q) {\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ . Звездный оператор Ходжа (расширенный комплексно-линейно до комплекснозначных дифференциальных форм) взаимодействует с этой градуировкой как

⋆: Ω p, q (X) → Ω n - q, n - p (X). {\ displaystyle \ star: \ Omega ^ {p, q} (X) \ to \ Omega ^ {n-q, n-p} (X).}

{\ displaystyle \ star: \ Omega ^ {p, q} (X) \ to \ Omega ^ {nq, np} (X).}

Обратите внимание, что голоморфный и антиголоморфный индексы поменялись местами. Существует спряжение сложных дифференциальных форм, которое меняет местами формы типа $(p, q) {\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ и $(q, p) {\ displaystyle (q, p)}$ $(д, p)$ , и если определить сопряженно-линейный звездный оператор Ходжа как $⋆ ¯ ω = ⋆ ω ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ star}} \ omega = \ star {\ bar {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ star}} \ omega = \ star {\ bar {\ omega}}}$ тогда мы имеем

⋆ ¯: Ω p, q (X) → Ω n - p, n - q (X). {\ displaystyle {\ bar {\ star}}: \ Omega ^ {p, q} (X) \ to \ Omega ^ {np, nq} (X).}

{\ displaystyle {\ bar {\ star}}: \ Omega ^ {p, q} (X) \ to \ Omega ^ { np, nq} (X).}

Используя сопряженно-линейную звезду Ходжа, один может определять эрмитово $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ -внутреннее произведение в сложных дифференциальных формах по

⟨α, β⟩ L 2 = ∫ Икс α ∧ ⋆ ¯ β, {\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle _ {L ^ {2}} = \ int _ {X} \ alpha \ wedge {\ bar {\ star}} \ beta, }

{\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle _ {L ^ {2} } = \ int _ {X} \ alpha \ wedge {\ bar {\ star}} \ beta,}

где теперь $α ∧ ⋆ ¯ β {\ displaystyle \ alpha \ wedge {\ bar {\ star}} \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha \ wedge {\ bar {\ star}} \ beta}$ - это $(n, n) {\ displaystyle (n, n)}$ ${\ displaystyle (n, n)}$ -form и, в частности, комплексная $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ -form, и поэтому может быть интегрирована в $X {\ displaystyle X}$ $X$ относительно его канонической ориентации. Кроме того, предположим, что $(E, h) {\ displaystyle (E, h)}$ ${\ displaystyle (E, h)}$ - эрмитово голоморфное векторное расслоение. Тогда эрмитова метрика $h {\ displaystyle h}$ $h$ дает сопряженно-линейный изоморфизм $E ≅ E ∗ {\ displaystyle E \ cong E ^ {*}}$ ${\ displaystyle E \ cong E ^ {*}}$ между $E {\ displaystyle E}$ $E$ и его двойным векторным пучком, скажем $τ: E → E ∗ {\ displaystyle \ tau: E \ to E ^ { *}}$ ${\ displaystyle \ tau: E \ to E ^ {*}}$ . Определение $⋆ ¯ E (ω ⊗ s) = ⋆ ¯ ω ⊗ τ (s) {\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E} (\ omega \ otimes s) = {\ bar {\ star }} \ omega \ otimes \ tau (s)}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E} (\ omega \ otimes s) = {\ bar {\ star}} \ omega \ otimes \ tau (s)}$ , получаем изоморфизм

⋆ ¯ E: Ω p, q (X, E) → Ω n - p, n - q (X, E ∗) {\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E}: \ Omega ^ {p, q} (X, E) \ to \ Omega ^ {np, nq} (X, E ^ {* })}

{\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E}: \ Omega ^ {p, q} (X, E) \ to \ Omega ^ {np, nq} (X, E ^ {*})}

где $Ω p, q (X, E) = Ω p, q (X) ⊗ Γ (E) {\ displaystyle \ Omega ^ {p, q} (X, E) = \ Омега ^ {p, q} (X) \ otimes \ Gamma (E)}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {p, q} (X, E) = \ Omega ^ {p, q} (X) \ otimes \ Gamma (E)}$ состоит из гладких $E {\ displaystyle E}$ $E$ -значных сложных дифференциальных форм. Использование пары между $E {\ displaystyle E}$ $E$ и $E ∗ {\ displaystyle E ^ {*}}$ $E ^ {*}$ , заданное как $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ и $h {\ displaystyle h}$ $h$ , поэтому можно определить эрмитовский $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ -внутренний продукт на таких $E {\ displaystyle E}$ $E$ -значных формах по

⟨α, β⟩ L 2 = ∫ X α ∧ h ⋆ ¯ E β, {\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle _ {L ^ {2}} = \ int _ {X} \ alpha \ wedge _ {h} {\ bar {\ star}} _ {E} \ beta,}

{\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle _ {L ^ {2}} = \ int _ {X} \ alpha \ wedge _ {h} {\ bar {\ star}} _ {E} \ beta,}

где здесь $∧ h {\ displaystyle \ wedge _ {h}}$ ${\ displaystyle \ wedge _ {h}}$ означает произведение клина дифференциальных форм и использование пары между $E {\ displaystyle E}$ $E$ и $E ∗ {\ displaystyle E ^ {*}}$ $E ^ {*}$ задано $h {\ displaystyle h}$ $h$ .

Теорема Ходжа для когомологий Дольбо утверждает, что если мы определить

Δ ∂ ¯ E = ∂ ¯ E ∗ ∂ ¯ E + ∂ ¯ E ∂ ¯ E ∗ {\ displaystyle \ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}} = {\ bar {\ partial}} _ {E} ^ {*} {\ bar {\ partial}} _ {E} + {\ bar {\ partial}} _ {E} {\ bar {\ partial}} _ {E} ^ {*}}

{\ displaystyle \ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}} = { \ bar {\ partial}} _ {E} ^ {*} {\ bar {\ partial}} _ {E} + {\ bar {\ partial}} _ {E} {\ bar {\ partial}} _ { E} ^ {*}}

где $∂ ¯ E {\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}}$ - Оператор Dolbeault из $E {\ displaystyle E}$ $E$ и $∂ ¯ E ∗ {\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ partial} } _ {E} ^ {*}}$ является его формальным сопряженным элементом относительно скалярного произведения, тогда

H p, q (X, E) ≅ H ∆ ∂ ¯ E p, q (X). {\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X).}

{\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X).}

Слева - когомологии Дольбо, а справа - векторное пространство гармонической $E {\ displaystyle E}$ $E$ -значной дифференциальной формы определяется как

H Δ ∂ ¯ E p, q (X) = {α ∈ Ω p, q (X, E) ∣ Δ ∂ ¯ E (α) = 0}. {\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ { p, q} (X, E) \ mid \ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}} (\ alpha) = 0 \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ {p, q} (X, E) \ mid \ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}} (\ alpha) = 0 \}.}

Используя это описание, теорема двойственности Серра может можно сформулировать следующим образом: Изоморфизм $⋆ ¯ E {\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E}}$ индуцирует комплексный линейный изоморфизм

H p, q (X, E) ≅ H n - p, n - q (X, E ∗) ∗. {\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong H ^ {np, nq} (X, E ^ {*}) ^ {*}.}

{\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong H ^ { np, nq} (X, E ^ {*}) ^ {*}.}

Это легко доказать, используя метод Ходжа теория выше. А именно, если $[α] {\ displaystyle [\ alpha]}$ $[\ alpha]$ является классом когомологии в $H p, q (X, E) {\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E)}$ ${\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E)}$ с уникальным представителем гармоники $α ∈ H Δ ∂ ¯ E p, q (X) {\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X)}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X)}$ , тогда

(α, ⋆ ¯ E α) = ⟨α, α ⟩ L 2 ≥ 0 {\ displaystyle (\ alpha, {\ bar {\ star}} _ {E} \ alpha) = \ langle \ alpha, \ alpha \ rangle _ {L ^ {2}} \ geq 0}

{\ displaystyle (\ alpha, {\ bar {\ star}} _ {E} \ alpha) = \ langle \ alpha, \ alpha \ rangle _ {L ^ {2}} \ geq 0}

с равенством тогда и только тогда, когда $α = 0 {\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alpha = 0$ . В частности, сложное линейное объединение

(α, β) = ∫ Икс α ∧ час β {\ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {X} \ alpha \ wedge _ {h} \ beta}

{ \ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {X} \ alpha \ wedge _ {h} \ beta}

между $H Δ ∂ ¯ E p, q (X) {\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ { p, q} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}} } ^ {p, q} (X)}$ и $H Δ ∂ ¯ E ∗ n - p, n - q (X) {\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ { {\ bar {\ partial}} _ {E ^ {*}}}} ^ {np, nq} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E ^ {*}}}} ^ {np, nq} (X)}$ является невырожденным и индуцирует изоморфизм в теорема двойственности Серра.

Утверждение двойственности Серра в алгебраической постановке можно восстановить, взяв $p = 0 {\ displaystyle p = 0}$ $p = 0$ и применив теорему Дольбо, в котором говорится, что

H p, q (X, E) ≅ H q (X, Ω p ⊗ E) {\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong H ^ {q} ( X, {\ boldsymbol {\ Omega}} ^ {p} \ otimes E)}

{\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong H ^ {q} (X, {\ boldsymbol {\ Omega}} ^ {p} \ otimes E)}

где слева когомологии Дольбо, а справа когомологии пучков, где $Ω p {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Омега}} ^ {p}}$ ${\ displaystyle { \ boldsymbol {\ Omega}} ^ {p}}$ обозначает пучок голоморфных $(p, 0) {\ displaystyle (p, 0)}$ ${\ displaystyle (p, 0)}$ -форм. В частности, получаем

H q (X, E) ≅ H 0, q (X, E) ≅ H n, n - q (X, E ∗) ∗ ≅ H n - q (X, KX ⊗ E ∗) ∗ {\ Displaystyle H ^ {q} (X, E) \ cong H ^ {0, q} (X, E) \ cong H ^ {n, nq} (X, E ^ {*}) ^ { *} \ cong H ^ {nq} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {*}) ^ {*}}

{ \ displaystyle H ^ {q} (X, E) \ cong H ^ {0, q} (X, E) \ cong H ^ {n, nq} (X, E ^ {*}) ^ {*} \ cong H ^ {nq} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {*}) ^ {*}}

где мы использовали этот пучок голоморфных $(n, 0) { \ displaystyle (n, 0)}$ ${\ displaystyle (n, 0)}$ -forms - это просто канонический пакет из $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

Алгебраические кривые

Фундаментальный двойственность Серра применяется к алгебраическим кривым. (По комплексным числам это эквивалентно рассмотрению компактных римановых поверхностей.) Для линейного расслоения L на гладкой проективной кривой X над полем k единственными, возможно, ненулевыми группами когомологий являются $H 0 (X, L) {\ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$ $H ^ {0} (X, L)$ и $H 1 (X, L) {\ displaystyle H ^ {1} (X, L)}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (X, L)}$ . Двойственность Серра описывает группу $H 1 {\ displaystyle H ^ {1}}$ $H ^ {1}$ в терминах группы $H 0 {\ displaystyle H ^ {0}}$ ${\ displaystyle H ^ {0}}$ (для другого линейного пакета). Это более конкретно, поскольку $H 0 {\ displaystyle H ^ {0}}$ ${\ displaystyle H ^ {0}}$ линейного пакета - это просто пространство его разделов.

Двойственность Серра особенно важна для теоремы Римана – Роха для кривых. Для линейного расслоения L степени d на кривой X рода g теорема Римана – Роха утверждает, что

h 0 (X, L) - h 1 (X, L) = d - g + 1. {\ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {1} (X, L) = d-g + 1.}

{\ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {1} (X, L) знак равно d-g + 1.}

Используя двойственность Серра, это можно выразить более элементарно термины:

час 0 (X, L) - час 0 (X, KX ⊗ L ∗) = d - g + 1. {\ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {0} ( X, K_ {X} \ otimes L ^ {*}) = d-g + 1.}

{\ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {0} (X, K_ {X } \ otimes L ^ {*}) = d-g + 1.}

Последнее утверждение (выраженное в терминах делителей ) фактически является исходной версией теоремы с 19 века. Это основной инструмент, используемый для анализа того, как данная кривая может быть встроена в проективное пространство и, следовательно, для классификации алгебраических кривых.

Пример: каждый глобальный участок линейного пучка отрицательной степени равен нулю. Кроме того, степень канонической связки равна $2 г - 2 {\ displaystyle 2g-2}$ ${\ displaystyle 2g-2}$ . Следовательно, Риман – Рох подразумевает, что для линейного пучка L степени $d>2 g - 2 {\ displaystyle d>2g-2}$ $d>2g-2$ , $h 0 (X, L) {\ displaystyle h ^ { 0} (X, L)}$ ${\ displaystyle h ^ {0 } (X, L)}$ равно $d - g + 1 {\ displaystyle d-g + 1}$ ${\ displaystyle d-g + 1}$ . Когда род g равен не менее 2, из двойственности Серра следует, что $h 1 (X, TX) = h 0 (X, KX ⊗ 2) = 3 g - 3 {\ displaystyle h ^ {1} (X, TX) = h ^ {0} (X, K_ {X} ^ {\ otimes 2}) = 3g-3}$ ${ \ displaystyle h ^ {1} (X, TX) = h ^ {0} (X, K_ {X} ^ {\ otimes 2}) = 3g-3}$ . Здесь $H 1 (X, TX) {\ displaystyle H ^ {1} (X, TX) }$ ${ \ displaystyle H ^ {1} (X, TX)}$ - пространство деформации первого порядка X. Это основное вычисление, необходимое для того, чтобы показать, что пространство модулей кривых рода g имеет размерность $3 g - 3 {\ displaystyle 3g-3}$ $3g-3$ .

Двойственность Серра для когерентных пучков

Другая формулировка двойственности Серра верна для всех когерентных пучков, а не только для векторных расслоений. первый Шаг в обобщении двойственности Серра, Гротендик показал, что эта версия работает для схем с мягкими особенностями, схем Коэна – Маколея, а не только для гладких схем.

А именно, для схемы X Коэна – Маколея чистой размерности n над полем k Гротендик определил когерентный пучок $ω X {\ displaystyle \ omega _ {X}}$ $\ omega _ {X}$ на X называется дуализирующим пучком . (Некоторые авторы называют этот пучок $K X {\ displaystyle K_ {X}}$ $K_ {X}$ .) Предположим дополнительно, что X собственно над k. Для связного пучка E на X и целого числа i двойственность Серра утверждает, что существует естественный изоморфизм

Ext X i ⁡ (E, ω X) ≅ H n - i (X, E) ∗ {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X}) \ cong H ^ {ni} (X, E) ^ {*}}

{\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X}) \ cong H ^ {ni} (X, E) ^ {*}}

конечномерных k-векторных пространств. Здесь Ext группа взята из абелевой категории $O X {\ displaystyle O_ {X}}$ $O_ {X}$ -modules. Это включает в себя предыдущий оператор, поскольку $Ext X i ⁡ (E, ω X) {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X })}$ изоморфен $H i (X, E ∗ ⊗ ω X) {\ displaystyle H ^ {i} (X, E ^ {*} \ otimes \ omega _ {X})}$ ${ \ displaystyle H ^ {i} (X, E ^ {*} \ otimes \ omega _ {X})}$ , когда E - векторное расслоение.

Чтобы использовать этот результат, нужно явно определить дуализирующий пучок, по крайней мере, в особых случаях. Когда X сглаживается по k, $ω X {\ displaystyle \ omega _ {X}}$ $\ omega _ {X}$ - это канонический линейный набор $KX {\ displaystyle K_ {X}}$ $K_ {X}$ определено выше. В более общем смысле, если X является подсхемой Коэна – Маколея коразмерности r в гладкой схеме Y над k, то дуализирующий пучок может быть описан как Ext пучок :

ω X ≅ E xt OY r (OX, KY). {\ displaystyle \ omega _ {X} \ cong {\ mathcal {Ext}} _ {O_ {Y}} ^ {r} (O_ {X}, K_ {Y}).}

{\ displaystyle \ omega _ {X} \ cong {\ mathcal {Ext}} _ {O_ {Y}} ^ {r} (O_ {X }, K_ {Y}).}

Когда X - это локальное полное пересечение коразмерности r в гладкой схеме Y, существует более элементарное описание: нормальное расслоение X в Y является векторным расслоением ранга r, а дуализирующий пучок X задается как

ω X ≅ KY | X ⊗ ⋀ r (N X / Y). {\ displaystyle \ omega _ {X} \ cong K_ {Y} | _ {X} \ otimes {\ bigwedge} ^ {r} (N_ {X / Y}).}

{\ displaystyle \ omega _ {X} \ cong K_ {Y} | _ {X} \ otimes {\ bigwedge} ^ {r} (N_ {X /Y}).}

В этом случае X является Схема Коэна – Маколея с $ω X {\ displaystyle \ omega _ {X}}$ $\ omega _ {X}$ линейным пучком, в котором указано, что X равно Gorenstein.

Пример: пусть X будет полное пересечение в проективном пространстве $P n {\ displaystyle {\ mathbf {P}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle { \ mathbf {P}} ^ {n}}$ над полем k, определенным однородными многочленами $f 1, …, Fr {\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {r}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {r}}$ градусов $d 1,…, dr {\ displaystyle d_ {1}, \ ldots, d_ {r }}$ $d_ {1}, \ ldots, d_ {r}$ . (Сказать, что это полное пересечение, означает, что X имеет размер $n - r {\ displaystyle nr}$ $nr$ .) На $P n {\ displaystyle есть пучки строк O (d) {\ mathbf {P}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle { \ mathbf {P}} ^ {n}}$ для целых чисел d, с тем свойством, что однородные многочлены степени d можно рассматривать как части O (d). Тогда дуализирующий пучок X - это линейное расслоение

ω X = O (d 1 + ⋯ + d r - n - 1) | X, {\ displaystyle \ omega _ {X} = O (d_ {1} + \ cdots + d_ {r} -n-1) | _ {X},}

{\ displaystyle \ omega _ {X} = O (d_ {1} + \ cdots + d_ {r} - п-1) | _ {X},}

по формуле присоединения . Например, дуализирующий пучок плоской кривой X степени d равен $O (d - 3) | X {\ displaystyle O (d-3) | _ {X}}$ ${\ displaystyle O (d-3) | _ {X}}$ .

Комплексные модули трехмерных многообразий Калаби – Яу

В частности, мы можем вычислить количество сложных деформаций, равное $dim ⁡ (ЧАС 1 (X, TX)) {\ displaystyle \ dim (H ^ {1} (X, TX))}$ ${\ displaystyle \ dim (H ^ {1} (X, TX))}$ для пятикратного тройного числа в $P 4 {\ displaystyle \ mathbb { P} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$ , разновидность Калаби – Яу, использующая двойственность Серра. Поскольку свойство Калаби – Яу обеспечивает $KX ≅ OX {\ displaystyle K_ {X} \ cong {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ displaystyle K_ {X} \ cong {\ mathcal {O}} _ {X}}$ двойственность Серра показывает нам, что $H 1 (X, TX) ≅ H 2 (X, OX ⊗ Ω X) ⊗ H 2 (X, Ω X) {\ displaystyle H ^ {1} (X, TX) \ cong H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes \ Omega _ {X}) \ cong H ^ {2} (X, \ Omega _ {X})}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (X, TX) \ cong H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X } \ otimes \ Omega _ {X}) \ cong H ^ {2} (X, \ Omega _ {X})}$ показывает, что количество комплексных модулей равно to $h 2, 1 {\ displaystyle h ^ {2,1}}$ ${\ displaystyle h ^ {2,1}}$ в ромбе Ходжа. Конечно, последнее утверждение зависит от теоремы Богомолева – Тиана – Тодорова, которая утверждает, что любая деформация на Калаби – Яу является беспрепятственной.

Двойственность Гротендика

Теория Гротендика когерентной двойственности представляет собой широкое обобщение двойственности Серра, использующее язык производных категорий. Для любой схемы X конечного типа над полем k существует объект $ω X ∙ {\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ ограниченной производной категории когерентных пучки на X, $D coh b (X) {\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ , называемый дуализирующим комплексом X над k. Формально $ω X ∙ {\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ - это исключительный инверсный образ $f! OY {\ displaystyle f ^ {!} O_ {Y}}$ ${\ displaystyle f ^ {!} O_ {Y}}$ , где f - данный морфизм $X → Y = Spec ⁡ (k) {\ displaystyle X \ to Y = \ operatorname { Spec} (k)}$ ${\ displaystyle X \ to Y = \ operatorname {Spec} (k) }$ . Когда X - это Коэн-Маколей чистого измерения n, $ω X ∙ {\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ равно $ω X [n] {\ displaystyle \ omega _ {X} [n]}$ ${\ displaystyle \ omega _ {X} [n]}$ ; то есть, это дуализирующий пучок, рассмотренный выше, рассматриваемый как комплекс в (когомологической) степени −n. В частности, когда X сглаживается по k, $ω X ∙ {\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ - это каноническое линейное расслоение, расположенное в степени −n.

Используя дуализирующий комплекс, двойственность Серра обобщается на любую правильную схему X над k. А именно, существует естественный изоморфизм конечномерных k-векторных пространств

Hom X ⁡ (E, ω X ∙) ≅ Hom X ⁡ (OX, E) ∗ {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (E, \ omega _ {X} ^ {\ bullet}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {X} (O_ {X}, E) ^ {*}}

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (E, \ omega _ {X} ^ {\ bullet}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {X} (O_ {X}, E) ^ {*}}

для любого объекта E в $D coh b (X) {\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ .

В более общем смысле, для правильной схемы X над k, объект E в $D coh b ( X) {\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ , и F a совершенный комплекс в $D perf (X) {\ displaystyle D _ {\ operatorname {perf}} (X)}$ ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {perf}} (X)}$ , есть элегантное выражение:

Hom X ⁡ (E, F ⊗ ω X ∙) ≅ Hom X ⁡ (F, E) ∗. {\ displaystyle \ Operatorname {Hom} _ {X} (E, F \ otimes \ omega _ {X} ^ {\ bullet}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {X} (F, E) ^ {*}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (E, F \ otimes \ omega _ {X} ^ {\ bullet}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {X} (F, E) ^ {*}.}

Здесь тензорное произведение означает производное тензорное произведение, что естественно для производных категорий. (Чтобы сравнить с предыдущими формулировками, обратите внимание, что $Ext X i ⁡ (E, ω X) {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X })}$ можно рассматривать как $Hom X ⁡ (E, ω X [i]) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (E, \ omega _ {X} [i])}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (E, \ omega _ {X} [i])}$ .) Когда X также сглаживается по k, каждый объект в $D coh b (X) {\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ - идеальный комплекс, поэтому эта двойственность применяется ко всем E и F в $D coh b (X) {\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ . Затем приведенное выше утверждение резюмируется следующим образом: $F ↦ F ⊗ ω X ∙ {\ displaystyle F \ mapsto F \ otimes \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle F \ mapsto F \ otimes \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ - это Функтор Серра на $D coh b (X) {\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$ для X, гладкого и правильного над k.

двойственность Серра в более общем смысле имеет место для собственных алгебраических пространств над полем.

Примечания

Ссылки

Hartshorne, Robin (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
Хартшорн, Робин (1966), Остатки и двойственность, Лекционные заметки по математике, 20, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-03603-6, MR 0222093
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-21290-6, MR 209304 3
Huybrechts, Daniel (2006), Преобразования Фурье-Мукаи в алгебраической геометрии, Oxford University Press, ISBN 978-0199296866, MR 2244106
Серр, Жан-Пьер (1955), «Un théorème de dualité», Commentarii Mathematici Helvetici, 29: 9–26, doi : 10.1007 / BF02564268, MR 0067489
Тейт, Джон (1968), «Остатки дифференциалов на кривых» (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 1 : 149–159, doi : 10.24033 / asens.1162, ISSN 0012-9593, MR 0227171

Внешние ссылки

Авторы проекта Stacks, Проект Stacks