Вырожденная билинейная форма

В математике, а именно линейная алгебра, вырожденная билинейная форма f (x, y) в векторном пространстве V является билинейной формой такой, что отображение из V в V (двойное пространство к V), заданное формулой v ↦ (x ↦ f (x, v)), не является изоморфизмом . Эквивалентное определение, когда V конечномерно, состоит в том, что оно имеет нетривиальное ядро ​​ : в V существует ненулевой x такой, что

$f\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; 0\; \backslash ,\}$для всех $y\; \in \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; V.\}$

• 1 Невырожденные формы
• 2 Использование определителя
• 3 Связанные понятия
• 4 Примеры
• 5 Бесконечные измерения
• 6 Терминология

A невырожденная или невырожденная форма - это невырожденная форма, что означает, что $v\; \mapsto \; (x\; \mapsto \; f\; (x,\; v))\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; mapsto\; (\; x\; \backslash \; mapsto\; f\; (x,\; v))\}$является изоморфизмом или, что эквивалентно, в конечных размерах, если и только если

$f\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; 0\; \backslash ,\}$для всех $y\; \in \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; V\}$означает, что $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$.

Если V конечномерно, то относительно некоторого базиса для V билинейная форма вырождается, если и только если определитель связанной матрицы равен нулю - тогда и только тогда, когда матрица является сингулярной, и соответственно вырожденные формы также называются сингулярными формами . Подобным образом невырожденная форма - это форма, для которой ассоциированная матрица является невырожденной, и, соответственно, невырожденные формы также упоминаются как невырожденные формы . Эти утверждения не зависят от выбранной основы.

Если существует вектор v ∈ V такой, что f (v) = 0, то f является изотропной квадратичной формой. Если f имеет один и тот же знак для всех векторов, это определенная квадратичная форма или анизотропная квадратичная форма .

Существует тесно связанное понятие унимодулярной формы и идеальное сочетание ; они согласуются по полям, но не по общим кольцам.

Наиболее важными примерами невырожденных форм являются внутренние продукты и симплектические формы. Симметричные невырожденные формы являются важными обобщениями скалярных произведений, поскольку часто все, что требуется, - это чтобы отображение $V\; \to \; V\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; to\; V\; ^\; \{*\}\}$было изоморфизмом, не позитив. Например, многообразие со структурой внутреннего произведения на его касательных пространствах - это риманово многообразие, тогда как преобразование его к симметричной невырожденной форме дает псевдориманово многообразие.

Обратите внимание, что в бесконечномерном пространстве мы можем иметь билинейную форму ƒ, для которой $v\; \mapsto \; (x\; \mapsto \; f\; (x,\; v))\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; mapsto\; (x\; \backslash \; mapsto\; f\; (x,\; v))\}$является инъективным, но не сюръективным. Например, в пространстве непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале форма

$f\; (\varphi ,\; \psi )\; =\; \int \; \psi \; (x)\; \varphi \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; phi,\; \backslash \; psi)\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; phi\; (x)\; dx\}$

не сюръективен: например, дельта-функционал Дирака находится в двойственном пространстве, но не в требуемой форме. С другой стороны, эта билинейная форма удовлетворяет

$f\; (\varphi ,\; \psi )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; phi,\; \backslash \; psi)\; =\; 0\; \backslash ,\}$для всех $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; phi\}$подразумевает, что $\psi \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

В таком случае, когда ƒ удовлетворяет инъективности (но не обязательно сюръективности), называется слабо невырожденным. В то время как в конечных измерениях каждый внутренний продукт невырожден, в бесконечных измерениях внутренние продукты являются (по крайней мере) слабо невырожденными (это можно показать с помощью положительной определенности внутренних продуктов).

Если ƒ одинаково обращается в нуль на всех векторах, он называется полностью вырожденным . Для любой билинейной формы ƒ на V множество векторов

$\{x\; \in \; V\; \mid \; f\; (x,\; y)\; =\; 0\; для\; всех\; y\; \in \; V\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; V\; \backslash \; mid\; f\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{для\; всех\}\}\; y\; \backslash \; in\; V\; \backslash \}\}$

образует полностью вырожденное подпространство в V. Отображение ƒ невырождено тогда и только тогда, когда this подпространство тривиально.

Геометрически изотропная линия квадратичной формы соответствует точке связанной квадратичной гиперповерхности в проективном пространстве. Такая линия дополнительно изотропна для билинейной формы тогда и только тогда, когда соответствующая точка является особенностью. Следовательно, над алгебраически замкнутым полем, nullstellensatz Гильберта гарантирует, что квадратичная форма всегда имеет изотропные линии, тогда как билинейная форма имеет их тогда и только тогда, когда поверхность сингулярна.