Алгебраическое пространство

редактировать

В математике, алгебраические пространства образуют обобщение схем алгебраической геометрии, введенной Артином (1969, 1971) для использования в теории деформации. Интуитивно схемы задаются путем склеивания аффинных схем с использованием топологии Зарисского, а алгебраические пространства задаются путем склеивания аффинных схем с использованием более тонкой этальной топологии. В качестве альтернативы можно думать о схемах как о локально изоморфных аффинным схемам в топологии Зарисского, тогда как алгебраические пространства локально изоморфны аффинным схемам в этальной топологии.

Результирующая категория алгебраических пространств расширяет категорию схем и позволяет выполнять несколько естественных конструкций, которые используются при построении пространств модулей, но не являются всегда возможно в меньшей категории схем, например, факторизация свободного действия по конечной группе (см. теорему Киля – Мори ).

Содержание

1 Определение
- 1.1 Алгебраические пространства как частные схем
- 1.2 Алгебраические пространства как пучки
2 Алгебраические пространства и схемы
3 Алгебраические пространства и аналитические пространства
4 Обобщение
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

Есть два распространенных способа определения алгебраических пространств: они могут быть определены либо как частные схем по отношениям этальной эквивалентности, либо как пучки на большом etale, локально изоморфные схемам. Эти два определения по сути эквивалентны.

Алгебраические пространства как частные схем

алгебраическое пространство X состоит из схемы U и замкнутой подсхемы R ⊂ U × U, удовлетворяющих следующим двум условиям:

1. R представляет собой отношение эквивалентности как подмножество U × U

2. Проекции p i : R → U на каждый фактор являются этальными отображениями.

Некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, что алгебраическое пространство должно быть квази-разделенным., что означает, что диагональное отображение квазикомпактно.

Всегда можно предположить, что R и U являются аффинными схемами. Это означает, что теория алгебраических пространств не зависит от полной теории схем и действительно может использоваться как (более общая) замена этой теории.

Если R - тривиальное отношение эквивалентности по каждой компоненте связности U (т.е. для всех x, y, принадлежащих одной и той же компоненте связности U, мы имеем xRy тогда и только тогда, когда x = y), то алгебраический пространство будет схемой в обычном понимании. Поскольку общее алгебраическое пространство X не удовлетворяет этому требованию, оно позволяет одному компоненту связности U покрывать X множеством «листов». Множество точек, лежащих в основе алгебраического пространства X, тогда задается как | U | / | R | как набор классов эквивалентности.

Пусть Y - алгебраическое пространство, определенное отношением эквивалентности S ⊂ V × V. Тогда множество Hom (Y, X) морфизмов алгебраических пространств равно определяется условием, что он создает последовательность спуска

H om (Y, X) → H om (V, X) ⟶ ⟶ H om (S, X) {\ displaystyle \ mathrm {Hom} (Y, X) \ rightarrow \ mathrm {Hom} (V, X) {{{} \ atop \ longrightarrow} \ atop {\ longrightarrow \ atop {}}} \ mathrm {Hom} (S, X)}

{\ mathrm {Hom}} (Y, X) \ rightarrow {\ mathrm {Hom}} (V, X) {{{} \ atop \ longrightarrow} \ atop {\ longrightarrow \ atop {}}} {\ mathrm {Hom}} (S, X)

точно (это определение мотивировано теоремой о спуске из Гротендика для сюръективных этальных отображений аффинных схем). С этими определениями алгебраические пространства образуют категорию.

. Пусть U - аффинная схема над полем k, определенным системой многочленов g(x), x = (x 1,…, x n), пусть

k {x 1,…, xn} {\ displaystyle k \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \} \}

k \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \} \

обозначает кольцо алгебраических функций в x над k, и пусть X = {R ⊂ U × U} - алгебраическое пространство.

Соответствующие стебли ÕX, x на X затем определяются как локальные кольца алгебраических функций, определенных Õ U, u, где u ∈ U - точка, лежащая над x, а Õ U, u - локальное кольцо, соответствующее u кольца

k {x 1,…, x n } / (g)

алгебраических функций на U.

Точка на алгебраическом пространстве называется гладкой, если Õ X, x ≅ k {z 1,…, z d } для некоторых неопределенностей z1,…, z d. Размерность X в x тогда просто определяется как d.

Морфизм f: Y → X алгебраических пространств называется этальным в точке y ∈ Y (где x = f (y)), если индуцированное отображение на слоях

ÕX, x → Õ Y, y

является изоморфизмом.

Структурный пучок OXна алгебраическом пространстве X определяется путем связывания кольцо функций O (V) на V (определенное этальным отображением из V в аффинную прямую A в только что определенном смысле) в любое алгебраическое пространство V, этальное над X.

Алгебраические пространства как s heaves

алгебраическое пространство $X {\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}$ ${\ mathfrak {X }}$ может быть определено как связка множеств

X: (Sch / S) et op → Наборы {\ displaystyle {\ mathfrak {X}}: ({\ text {Sch}} / S) _ {\ text {et}} ^ {op} \ to {\ text {Наборы }}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {X}}: ({\ text {Sch}} / S) _ {\ text {et}} ^ {op} \ to {\ text {Sets} }}

такой, что

существует сюръективный этальный морфизм $h X → X {\ displaystyle h_ {X} \ to {\ mathfrak {X}}}$ ${\ displaystyle h_ {X} \ to {\ mathfrak {X}}}$
диагональный морфизм $Δ Икс / S: Икс → Икс × Икс {\ Displaystyle \ Delta _ {{\ mathfrak {X}} / S}: {\ mathfrak {X}} \ to {\ mathfrak {X}} \ times {\ mathfrak { X}}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {{\ mathfrak {X}} / S}: {\ mathfrak { X}} \ to {\ mathfrak {X}} \ times {\ mathfrak {X}}}$ представимо.

Второе условие эквивалентно свойству, которое дает любые схемы $Y, Z {\ displaystyle Y, Z}$ $Y, Z$ и морфизмы $h Y, h Z → X {\ displaystyle h_ {Y}, h_ {Z} \ to {\ mathfrak {X}}}$ ${\ displaystyle h_ {Y}, h_ {Z} \ to {\ mathfrak {X}}}$ , их волокнистый продукт из пучков

h Y × X h Z {\ displaystyle h_ {Y} \ times _ {\ mathfrak {X}} h_ {Z}}

{\ displaystyle h_ {Y} \ times _ {\ mathfrak {X}} h_ {Z}}

может быть представлен схемой на основе $S {\ displaystyle S}$ $S$ . Обратите внимание, что некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, что алгебраическое пространство должно быть квази-разделенным, что означает, что диагональное отображение является квазикомпактным.

Алгебраические пространства и схемы

Алгебраические пространства похожи на схемы, и большая часть теории схем распространяется на алгебраические пространства. Например, большинство свойств морфизмов схем также применимы к алгебраическим пространствам, можно определить когомологии квазикогерентных пучков, это имеет обычные свойства конечности для собственных морфизмов и так далее.

Собственные алгебраические пространства над полем размерности один (кривые) являются схемами.
Неособые собственные алгебраические пространства размерности два над полем (гладкие поверхности) являются схемами.
Квази-разделенные групповые объекты в категории алгебраических пространств над полем являются схемами, хотя есть неквази-разделенные групповые объекты, которые не являются схемами.
Объекты коммутативной группы в категории алгебраических пространств над произвольной схемой которые являются собственными, локально конечными представлениями, плоскими и когомологически плоскими в размерности 0.
Не всякая сингулярная алгебраическая поверхность является схемой.
Пример Хиронаки может быть использован для получения не- сингулярное 3-мерное собственное алгебраическое пространство, не являющееся схемой, заданное фактором схемы по группе порядка 2, действующей свободно. Это иллюстрирует одно различие между схемами и алгебраическими пространствами: фактор-фактор алгебраического пространства по свободно действующей дискретной группе является алгебраическим пространством, но фактор-фактор схемы по свободно действующей дискретной группе не обязательно должен быть схемой (даже если группа
Каждое квазиотделенное алгебраическое пространство содержит плотную открытую аффинную подсхему, и дополнение такой подсхемы всегда имеет коразмерность ≥ 1. Таким образом, алгебраические пространства в некотором смысле "близки" «к аффинным схемам.
Фактор комплексных чисел по решетке - это алгебраическое пространство, но не эллиптическая кривая, даже если соответствующее аналитическое пространство является эллиптической кривой (или, точнее, является образом эллиптическая кривая под функтором из комплексных алгебраических пространств в аналитические). Фактически этот фактор алгебраического пространства не является схемой, не является полным и даже не квази-разделенным. Это показывает, что, хотя фактор-пространство алгебраического пространства по бесконечной дискретной группе является алгебраическим пространством, оно может иметь странные свойства и может не быть алгебраическим пространством, которое «ожидалось». Подобные примеры даются частным комплексной аффинной прямой по целым числам или частным комплексной аффинной прямой за вычетом начала координат по степеням некоторого числа: снова соответствующее аналитическое пространство является многообразием, а алгебраическое пространство - нет.

Алгебраические пространства и аналитические пространства

Алгебраические пространства над комплексными числами тесно связаны с аналитическими пространствами и многообразиями Мойшезона.

Грубо говоря, разница между комплексными алгебраическими пространствами а аналитические пространства состоят в том, что комплексные алгебраические пространства образуются путем склеивания аффинных частей вместе с использованием этальной топологии, в то время как аналитические пространства формируются путем склейки с использованием классической топологии. В частности, существует функтор комплексных алгебраических пространств конечного типа в аналитические пространства. Многообразия Хопфа дают примеры аналитических поверхностей, которые не происходят из собственного алгебраического пространства (хотя можно построить несобственные и неотделимые алгебраические пространства, аналитическое пространство которых является поверхностью Хопфа). Также возможно, что разные алгебраические пространства соответствуют одному и тому же аналитическому пространству: например, эллиптическая кривая и фактор C по соответствующей решетке не изоморфны как алгебраические пространства, но соответствующие аналитические пространства изоморфны.

Артин показал, что собственные алгебраические пространства над комплексными числами более или менее идентичны пространствам Мойшезон.

Обобщение

Далеко идущее обобщение алгебраических пространств дается алгебраическими стеками. В категории стеков мы можем сформировать даже больше факторов по групповым действиям, чем в категории алгебраических пространств (получившееся частное называется фактор-стеком ).

Ссылки

Артин, Майкл (1969), «Теорема о неявной функции в алгебраической геометрии», в Abhyankar, Shreeram Shankar (ed.), Алгебраическая геометрия: статьи, представленные на Бомбейский коллоквиум, 1968, Институт фундаментальных исследований в области математики Тата, 4, Oxford University Press, стр. 13–34, MR 0262237
Артин, Майкл (1971), Алгебраические пространства, Yale Mathematical Monographs, 3, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01396-2, MR 0407012
Кнутсон, Дональд (1971), Алгебраические пространства, Конспекты лекций по математике, 203, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0059750, ISBN 978-3-540-05496-2, MR 0302647

Внешние ссылки

Данилов В.И. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Алгебраический пробел в проекте стеков