Теорема Хирцебруха – Римана – Роха

Об эйлеровой характеристике голоморфного векторного расслоения на компактном комплексном многообразии

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха

Поле	Алгебраическая геометрия
Первое доказательство	Фридрих Хирцебрух
Первое доказательство в	1954
Обобщения	Теорема Атьи – Зингера об индексе. Гротендик– Теорема Римана – Роха
Последствия	Теорема Римана – Роха. Теорема Римана – Роха для поверхностей

В математике, теорема Хирцебруха – Римана – Роха, названный в честь Фридриха Хирцебруха, Бернхарда Римана и Густава Роха, является результатом Хирцебруха 1954 года, обобщающим классическую теорему Римана – Роха на Римановы поверхности на все комплексные алгебраические многообразия высших размерностей. Результат проложил путь к теореме Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха, доказанной примерно три года спустя.

• 1 Утверждение теоремы Хирцебруха – Римана – Роха
• 2 Теорема Римана Роха для кривых
• 3 Теорема Римана Роха для поверхностей
• 4 Асимптотика Римана-Роха
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха применима к любому голоморфному векторному расслоению E на компактном комплексное многообразие X, чтобы вычислить голоморфную эйлерову характеристику многообразия E в пучковых когомологиях, а именно альтернированную сумму

$\chi \; (X,\; E)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; тусклый\; С\; \; Икс\; (-\; 1)\; я\; тусклый\; С\; \; ЧАС\; я\; (Икс,\; Е)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; чи\; (X,\; E)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\; \}\; X\}\; (-\; 1)\; ^\; \{i\}\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; E)\}$

измерений как комплексные векторные пространства.

Теорема Хирцебруха утверждает, что χ (X, E) вычислимо в терминах классов Черна Cj(E) E, и многочленов Тодда Tjв классах Черна голоморфного касательного расслоения к X. Все они лежат в кольце когомологий X; с помощью фундаментального класса (или, другими словами, интегрирования по X) мы можем получить числа из классов в $H\; 2\; n\; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{2n\}\; (X).\}$Формула Хирцебруха утверждает, что

$\chi \; (X,\; E)\; =\; \sum \; ch\; n\; -\; j\; \; (E)\; T\; j\; j!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (X,\; E)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; operatorname\; \{ch\}\; \_\; \{nj\}\; (E)\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{j\}\}\; \{j!\}\}\}$

взято по всем релевантным j (так 0 ≤ j ≤ n) с использованием символа Черна ch (E) в когомологиях. Другими словами, перекрестные произведения формируются в кольце когомологий всех степеней «совпадения», которые в сумме составляют 2n, где для «массажа» C j (E) выполняется формальная манипуляция, устанавливая

$ch\; \; (E)\; =\; \sum \; exp\; \; (xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ch\}\; (E)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; exp\; (x\_\; \{i\})\}$

и общий класс Черна

$C\; (E)\; =\; \sum \; C\; j\; (E)\; =\; \prod \; (1\; +\; xi).\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (E)\; =\; \backslash \; sum\; C\_\; \{j\}\; (E)\; =\; \backslash \; prod\; (1\; +\; x\_\; \{i\}).\}$

Иная формулировка теоремы дает равенство

$\chi \; (X,\; E)\; =\; \int \; Икс\; ч\; \; (E)\; td\; \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (X,\; E)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; \backslash \; operatorname\; \{ch\}\; (E)\; \backslash \; operatorname\; \{td\}\; (X)\}$

где td (X) - это класс Тодда касательного пучка X.

Важными частными случаями являются, когда E является сложным линейным пучком, и когда X является алгебраическая поверхность (формула Нётер ). Теорема Римана – Роха Вейля для векторных расслоений на кривых и теорема Римана – Роха для алгебраических поверхностей (см. Ниже) включены в его область применения. Формула также точно выражает расплывчатое представление о том, что классы Тодда в некотором смысле являются обратными характеристическим классам.

Для кривых Теорема Хирцебруха – Римана – Роха по сути является классической теоремой Римана – Роха. Чтобы убедиться в этом, напомним, что для каждого дивизора D на кривой существует обратимый пучок O (D) (который соответствует линейному пучку) такой, что линейная система из D - это более или менее пространство секций O (D). Для кривых класс Тодда равен $1\; +\; c\; 1\; (T\; (X))\; /\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; c\_\; \{1\}\; (T\; (X))\; /\; 2,\}$, а класс Черна символ пучка O (D) равен 1 + c 1 (O (D)), поэтому теорема Хирцебруха – Римана – Роха утверждает, что

$h\; 0\; (O\; (D))\; -\; h\; 1\; (О\; (D))\; знак\; равно\; с\; 1\; (О\; (D))\; +\; с\; 1\; (T\; (X))\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{0\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (D))\; -\; h\; ^\; \{1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (D))\; =\; c\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (D))\; +\; c\_\; \{1\}\; (T\; (X))\; /\; 2\; \backslash \; \backslash \; \backslash \}$(проинтегрировано по X).

Но h (O (D)) - это просто l (D), размерность линейной системы D, и по двойственности Серра h ( O (D)) = h (O (K - D)) = l (K - D), где K - канонический делитель. Более того, c 1 (O (D)), интегрированная по X, является степенью D, а c 1 (T (X)), интегрированная по X, является классом Эйлера 2 - 2g кривой X, где g - род. Таким образом, мы получаем классическую теорему Римана-Роха

$(D)\; -\; \ell \; (K\; -\; D)\; =\; deg\; (D)\; +\; 1\; -\; g.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; (D)\; -\; \backslash \; ell\; (KD)\; =\; \{\backslash \; text\; \{deg\}\}\; (D)\; +\; 1-g.\}$

Для векторных расслоений V символ Черна равен rank (V) + c 1 (V), поэтому мы получаем теорему Вейля Римана-Роха для векторных расслоений над кривыми:

$h\; 0\; (V)\; -\; h\; 1\; (V)\; =\; c\; 1\; (V)\; +\; rank\; \; (V)\; (\; 1\; -\; г).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{0\}\; (V)\; -h\; ^\; \{1\}\; (V)\; =\; c\_\; \{1\}\; (V)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (V)\; (1-g).\}$

Для поверхностей теорема Хирцебруха – Римана – Роха по существу является теоремой Римана – Роха для поверхностей

$\chi \; (D)\; =\; \chi \; (O)\; +\; ((D.\; D)\; -\; (D.\; K))\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (D)\; =\; \backslash \; chi\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; +\; ((DD)\; -\; (DK))\; /\; 2.\}$

в сочетании с Нётер формула.

При желании мы можем использовать двойственность Серра, чтобы выразить h (O (D)) как h (O (K - D)), но, в отличие от случая кривых, в общем случае нет простого способа записать член h (O (D)) в форме, не содержащей когомологий пучков (хотя на практике он часто обращается в нуль).

Пусть D - обильный дивизор Картье на неприводимом проективном многообразии X размерности n. Тогда

$h\; 0\; (X,\; O\; X\; (m\; D))\; =\; (D\; n)\; n!.\; m\; n\; +\; O\; (m\; n\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{0\}\; \backslash \; left\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (mD)\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(D\; ^\; \{n\})\}\; \{n!\}\}.\; м\; ^\; \{n\}\; +\; O\; (m\; ^\; \{n-1\}).\}$

В более общем смысле, если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$является любой связной связкой на X, то

$h\; 0\; (X,\; F\; \otimes \; OX\; (m\; D))\; =\; rank\; \; (F)\; (D\; n)\; n!.\; m\; n\; +\; O\; (m\; n\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{0\}\; \backslash \; left\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (mD)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{\; F\}\})\; \{\backslash \; frac\; \{(D\; ^\; \{n\})\}\; \{n!\}\}.\; M\; ^\; \{n\}\; +\; O\; (m\; ^\; \{n-1\}).\}$

• Фридрих Хирцебрух, Топологические методы в алгебраической геометрии ISBN 3-540-58663-6

• Теорема Хирцебруха-Римана-Роха