Войти
В математике степень аффинного или проективного многообразия размерности n - количество точек пересечения разновидности с n гиперплоскостями в общее положение. Для алгебраического набора точки пересечения должны подсчитываться с их кратностью пересечения из-за возможности наличия нескольких компонентов. Для (неприводимых) многообразий, если принять во внимание кратности и, в аффинном случае, бесконечно удаленные точки, гипотеза об общем положении может быть заменена гораздо более слабым условием, что пересечение многообразия имеет нулевую размерность (т.е. есть, состоит из конечного числа точек). Это обобщение теоремы Безу (доказательство см. В разделе Ряд Гильберта и многочлен Гильберта § Степень проективного многообразия и теорема Безу ).
Степень не является внутренним свойством многообразия, поскольку зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное или проективное пространство.
Степень гиперповерхности равна общей степени определяющего уравнения. Обобщение теоремы Безу утверждает, что если пересечение n проективных гиперповерхностей имеет коразмерность n, то степень пересечения является произведением степеней гиперповерхностей.
Степень проективного разнообразия - это оценка в 1 числителя ряда Гильберта его координатного кольца. Отсюда следует, что, учитывая уравнения многообразия, степень может быть вычислена из базиса Грёбнера идеала этих уравнений.
Для V, встроенного в проективное пространство P и определенное над некоторым алгебраически замкнутым полем K, степень d поля V - это количество точек пересечения V, определенного над K, с линейным подпространством L в общем положении, когда
Здесь dim (V) - это размер V, а коразмерность L будет быть равным этому измерению. Степень d является внешней величиной, а не внутренним свойством V. Например, проективная линия имеет (по существу уникальное) вложение степени n в P.
Степень гиперповерхности F = 0 такая же, как общая степень для однородного многочлена F, определяющего это (при условии, что в случае, если F имеет повторяющиеся множители, эта теория пересечений используется для подсчета пересечений с кратностью, как в теореме Безу ).
Для более сложного подхода, линейная система делителей, определяющая вложение V, может быть связана с линейным пакетом или обратимый пучок, определяющий вложение своим пространством секций. Пучок тавтологических строк на P возвращается к V. Степень определяет первый класс Черна. Степень также может быть вычислена в кольце когомологий P или кольце Чоу, с классом гиперплоскости, пересекающей класс V, соответствующее количество раз.
Степень может использоваться для ожидаемого обобщения теоремы Безу на пересечения n гиперповерхностей в P.
