Неприводимый компонент

Подмножество (часто алгебраический набор), которое не является объединением подмножеств одной и той же природы

В алгебраическая геометрия, неприводимое алгебраическое множество или неприводимое многообразие - это алгебраическое множество, которое нельзя записать как объединение двух собственные алгебраические подмножества. Неприводимый компонент - это алгебраическое подмножество, которое является неприводимым и максимальным (для включения множества ) для этого свойства. Например, множество решений уравнения xy = 0 не является неприводимым, а его неприводимые компоненты представляют собой две строки уравнений x = 0 и y = 0.

Это фундаментальная теорема классической алгебраической геометрии, что каждое алгебраическое множество может быть записано уникальным образом как конечное объединение неприводимых компонентов.

Эти концепции можно переформулировать в чисто топологических терминах, используя топологию Зарисского, для которой замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами: A топологическое пространство неприводимо, если оно не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств, а неприводимая компонента - максимальное подпространство (обязательно замкнутое), неприводимое для индуцированной топологии. Хотя эти концепции могут рассматриваться для любого топологического пространства, это редко делается вне алгебраической геометрии, поскольку наиболее распространенными топологическими пространствами являются хаусдорфовы пространства, а в хаусдорфовом пространстве неприводимые компоненты - это синглтоны..

В топологии

A топологическое пространство X приводимо, если его можно записать как объединение $X\; =\; X\; 1\; \cup \; X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; чашка\; X\_\; \{2\}\}$из двух закрытых подходящих подмножеств $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\}$, $X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\}$из $X.\; \{\backslash \; displaystyle\; X.\}$Топологическое пространство неприводимо (или сверхсвязно ), если оно не сокращается. Эквивалентно, все непустые открытые подмножества X являются плотными или любые два непустых открытых множества имеют непустое пересечение.

Подмножество F топологического пространства X называется неприводимым или приводимым, если F, рассматриваемое как топологическое пространство через топологию подпространства , обладает соответствующим свойством в указанном выше смысле. То есть $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$может быть сокращено, если его можно записать как объединение $F\; =\; (G\; 1\; \cap \; F)\; \cup \; (G\; 2\; \cap \; F),\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; (G\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; F)\; \backslash \; cup\; (G\_\; \{2\}\; \backslash \; cap\; F),\}$где $G\; 1,\; G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{1\},\; G\_\; \{2\; \}\}$- это замкнутые подмножества $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, ни один из которых не содержит $F.\; \{\backslash \; displaystyle\; F.\}$

неприводимый компонент топологического пространства - это максимальное неприводимое подмножество. Если подмножество неприводимо, его замыкание есть, поэтому неприводимые компоненты замкнуты.

В алгебраической геометрии

Каждое аффинное или проективное алгебраическое множество определяется как множество нулей идеала в кольце многочленов . В этом случае неприводимые компоненты - это многообразия, ассоциированные с минимальными простыми числами над идеалом. Это отождествление, позволяющее доказать единственность и конечность разложения. Это разложение сильно связано с первичным разложением идеала.

В общем теории схем каждая схема представляет собой объединение своих неприводимых компонентов, но количество компонентов не обязательно конечно. Однако в большинстве случаев, встречающихся на «практике», а именно для всех нётеровых схем, существует конечное число неприводимых компонентов.

Примеры

В хаусдорфовом пространстве неприводимые подмножества и неприводимые компоненты являются синглетонами. Это, в частности, относится к действительным числам. Фактически, если X - это множество действительных чисел, которое не является одноэлементным, существуют три действительных числа, такие что x ∈ X, y ∈ X и x < a < y. The set X cannot be irreducible since $X\; =\; (X\; \cap ]\; \infty ,\; a])\; \cup \; (\; X\; \cap \; [a,\; \infty \; [).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; (X\; \backslash \; cap\; \backslash ,]\; \backslash \; infty,\; a])\; \backslash \; cup\; (X\; \backslash \; cap\; [a,\; \backslash \; infty\; [).\}$

Понятие неприводимой компоненты является фундаментальным в алгебраической геометрии и редко рассматривается за пределами этой области математики: рассмотрите алгебраическое подмножество плоскости

X = {(x, y) | xy = 0}.

Для топологии Зарисского ее замкнутые подмножества - это она сама, пустое множество, синглтоны и две прямые, определенные как x = 0 и y = 0. Множество X равно таким образом сводимые с этими двумя линиями как неприводимые компоненты.

спектр коммутативного кольца - это набор простых идеалов кольца, наделенный топологией Зарисского, для которой множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда это множество всех простых идеалов, которые содержат фиксированный идеал. В этом случае неприводимое подмножество - это множество всех простых идеалов, содержащих простой идеал.

Эта статья включает в себя материал из неснижаемого материала PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License. В эту статью включены материалы компонента Irreducible на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.