В алгебраической геометрии, А функция от квазиаффинно многообразия к его основной области, является регулярной функцией, если для произвольной точки в существует открытую окрестность U вокруг этой точки таким образом, что F может быть выражен фракцией, как, в котором полиномы на окружающее аффинное пространство такое, что ч нигде не обращается в нуль на U. Регулярное отображение из произвольного многообразия в аффинное пространство является отображение, заданное н-кортеж регулярных функций. Морфизм между двумя разновидностями является непрерывным отображением, как, например, что для каждого открытого множества и каждую регулярной функции, как функция регулярна. Композиция морфизмов - это морфизмы, поэтому они составляют категорию. В этой категории морфизм, имеющий обратный, называется изоморфизмом. Мы говорим, что две разновидности являются изоморфными, если существует изоморфизм между ними или, что эквивалентно, если их координатные кольца изоморфны (т.е.), как алгебры над лежащим в основе их полей.
Сильверман определяет морфизм как рациональное отображение, регулярное в каждой точке.
Если X и Y являются замкнутыми подмногообразиями в и (поэтому они являются аффинными многообразиями ), то регулярное отображение является ограничением полиномиального отображения. В явном виде оно имеет вид:
где s находятся в координатном кольце из X:
где I - идеал, определяющий X (примечание: два многочлена f и g определяют одну и ту же функцию на X тогда и только тогда, когда f - g находится в I). Изображение е ( X) лежит в Y, и, следовательно, удовлетворяет определяющие уравнения из Y. То есть регулярное отображение - это то же самое, что ограничение полиномиального отображения, компоненты которого удовлетворяют определяющим уравнениям.
В более общем смысле, отображение F: X → Y между двумя сортами является регулярной в точке х, если существует окрестность U по х и окрестность V из ф ( х) таким образом, что F ( U) ⊂ V и ограниченная функция F: U → V является регулярным как функция на некоторых аффинных графиках U и V. Тогда F называется регулярным, если она регулярна во всех точках X.
Состав регулярных карт снова регулярный; таким образом, алгебраические многообразия образуют категорию алгебраических многообразий, морфизмы которых являются регулярными отображениями.
Регулярные отображения между аффинными многообразиями контравариантно взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам алгебр между координатными кольцами: если f: X → Y - морфизм аффинных многообразий, то он определяет гомоморфизм алгебр
где - координатные кольца X и Y ; он определен правильно, поскольку является многочленом от элементов. Наоборот, если является гомоморфизмом алгебр, то он индуцирует морфизм
предоставлено: написанием
где изображения русских. Заметим, а также В частности, f является изоморфизмом аффинных многообразий тогда и только тогда, когда f # является изоморфизмом координатных колец.
Например, если Х представляет собой замкнутое подмногообразие аффинного многообразия Y и F является включением, то F # есть ограничение регулярных функций на Y к X. Дополнительные примеры см. В разделе # Примеры ниже.
В частном случае, когда Y равно A 1, регулярное отображение f: X → A 1 называется регулярной функцией и является алгебраическим аналогом гладких функций, изучаемых в дифференциальной геометрии. Кольцо регулярных функций (то есть кольцо координат или более абстрактно кольцо глобальных сечений структурного пучка) является фундаментальным объектом в аффинной алгебраической геометрии. Единственная регулярная функция на проективном многообразии постоянна (это можно рассматривать как алгебраический аналог теоремы Лиувилля в комплексном анализе ).
Скалярная функция f: X → A 1 регулярна в точке x, если в некоторой открытой аффинной окрестности точки x она является рациональной функцией, регулярной в точке x ; т.е. рядом с x существуют регулярные функции g, h такие, что f = g / h и h не обращается в нуль в x. Внимание: условие для некоторой пары ( g, h) не для всех пар ( g, h); см. Примеры.
Если X - квазипроективное многообразие ; то есть открытое подмножество проективного многообразия, то функция поля к ( X) является такой же, как замыкания в X и, следовательно, рациональной функции на X имеет вид г / ч в течение некоторого однородных элементов г, ч из те же степени в однородном координатном кольцо из (сра структуры проективного многообразия # сорта. ) Тогда рациональная функция F на X является регулярным в точке х, если и только если существует несколько однородных элементы г, ч тех же степени, в таком что f = g / h и h не обращается в нуль в точке x. Эту характеристику иногда принимают за определение регулярной функции.
Если X = Spec A и Y = Spec B - аффинные схемы, то каждый гомоморфизм колец φ: B → A определяет морфизм
беря прообразы из простых идеалов. Все морфизмы между аффинными схемами относятся к этому типу, и склейка таких морфизмов дает морфизм схем в целом.
Теперь, если X, Y - аффинные многообразия; т.е. A, B являются областями целостности, которые являются конечно порожденными алгебрами над алгебраически замкнутым полем k, тогда, работая только с замкнутыми точками, приведенное выше определение совпадает с определением, данным в #Definition. (Доказательство: если f : X → Y - морфизм, то записывая, нам нужно показать
где - максимальные идеалы, соответствующие точкам x и f ( x); то есть. Это немедленно.)
Этот факт означает, что категорию аффинных многообразий можно отождествить с полной подкатегорией аффинных схем над k. Поскольку морфизмы многообразий получаются склейкой морфизмов аффинных многообразий точно так же, как морфизмы схем получаются склейкой морфизмов аффинных схем, отсюда следует, что категория многообразий является полной подкатегорией категории схем над k.
Подробнее см. [1].
Морфизм между разновидностями непрерывен по отношению к топологиям Зарисского на источнике и цели.
Образ морфизма многообразий не обязательно должен быть открытым или закрытым (например, образ морфизма многообразий не может быть ни открытым, ни закрытым). Однако все же можно сказать: если f - морфизм между многообразиями, то образ f содержит открытое плотное подмножество его замыкания. (ср. конструктивный набор. )
Морфизм f: X → Y алгебраических многообразий называется доминантным, если он имеет плотный образ. Для такого f, если V - непустое открытое аффинное подмножество Y, то существует непустое открытое аффинное подмножество U в X такое, что f ( U) ⊂ V, и тогда оно инъективно. Таким образом, доминирующее отображение f вызывает инъекцию на уровне функциональных полей:
где предел пробегает все непустых открытых аффинных подмножеств Y. (Более абстрактно, это индуцированное отображение из поля вычетов из общей точки из Y в том, что из X.) Наоборот, каждое включение полей индуцируются доминантным рациональным отображением из X в Y. Следовательно, приведенная выше конструкция определяет контравариантную эквивалентность между категорией алгебраических многообразий над полем k и доминирующими рациональными отображениями между ними и категорией конечно порожденного расширения поля поля k.
Если X - гладкая полная кривая (например, P 1) и если f - рациональное отображение X в проективное пространство P m, то f - регулярное отображение X → P m. В частности, когда Х является гладким полным кривой, любой рациональной функция на X можно рассматривать как морфизм X → P 1 и, наоборот, такой морфизм в качестве рациональной функции на X.
На нормальном многообразии (в частности, гладком многообразии ) рациональная функция регулярна тогда и только тогда, когда у нее нет полюсов коразмерности один. Это алгебраический аналог теоремы Хартогса о продолжении. Есть и относительная версия этого факта; см. [2].
Морфизм между алгебраическими многообразиями, который является гомеоморфизмом между лежащими в основе топологическими пространствами, не обязательно должен быть изоморфизмом (контрпример дается морфизмом Фробениуса ). С другой стороны, если f биективно бирационально и целевое пространство f является нормальным многообразием, то f бирегулярна. (ср . основную теорему Зарисского. )
Регулярное отображение комплексных алгебраических многообразий - голоморфное отображение. (На самом деле существует небольшое техническое различие: регулярное отображение - это мероморфное отображение, особые точки которого устранимы, но на практике это различие обычно игнорируется.) В частности, регулярное отображение в комплексные числа - это просто обычная голоморфная функция (комплексная -аналитическая функция).
Позволять
- морфизм проективного многообразия в проективное пространство. Пусть х есть точка X. Тогда некоторая i -я однородная координата f ( x) отлична от нуля; скажем, i = 0 для простоты. Тогда, по непрерывности, существует открытая аффинная окрестность U от х таких, что
- морфизм, где y i - однородные координаты. Обратите внимание, что целевое пространство - это аффинное пространство A m через идентификацию. Таким образом, по определению ограничение f | U определяется как
где ж я «s являются регулярными функциями на U. Так как X проективен, каждый г я представляет собой часть однородных элементов той же степени, в однородном координатном кольце к [ Х ] из X. Мы можем расположить дроби так, чтобы все они имели одинаковый однородный знаменатель, скажем, f 0. Тогда мы можем записать g i = f i / f 0 для некоторых однородных элементов f i в k [ X ]. Следовательно, возвращаясь к однородным координатам,
для всех x в U и по непрерывности для всех x в X до тех пор, пока f i не обращаются в нуль в x одновременно. Если они обращаются в нуль одновременно в точке x из X, то с помощью описанной выше процедуры можно выбрать другой набор f i, которые не обращаются в нуль одновременно в точке x (см. Примечание в конце раздела).
Фактически, приведенное выше описание справедливо для любого квазипроективного многообразия X, открытого подмногообразия проективного многообразия ; с той разницей, что f i находятся в однородном координатном кольце.
Примечание. Выше не говорится, что морфизм проективного многообразия в проективное пространство задается одним набором многочленов (в отличие от аффинного случая). Например, пусть X - коника в P 2. Тогда две карты и согласовать открытое подмножество в X (так как), и, следовательно, определяет морфизм.
Важный факт:
Теорема - Пусть F: X → Y быть доминирующей (т.е., имеющие плотным образом) морфизм алгебраических многообразий, и пусть г = тусклый X - тусклый Y. потом
Следствие - Пусть F: X → Y морфизм алгебраических многообразий. Для каждого x в X определите
Тогда е является полунепрерывна сверху ; т.е. для каждого целого n множество
закрыто.
В красной книге Мамфорда теорема доказывается с помощью нормировочной леммы Нётер. Алгебраический подход, в котором универсальная свобода играет главную роль, а понятие « универсально цепного кольца » является ключевым в доказательстве, см. Eisenbud, Ch. 14 книги «Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии». На самом деле, там доказательство показывает, что если е является плоской, то размерность равенство 2. теоремы имеет место в целом ( а не только в общем).
См. Также: теорема Зарисского о связностиПусть f: X → Y - конечный сюръективный морфизм алгебраических многообразий над полем k. Тогда, по определению, степень f - это степень конечного полевого расширения функционального поля k ( X) над f *k ( Y). По общей свободе существует некоторое непустое открытое подмножество U в Y такое, что ограничение структурного пучка O X на f −1 ( U) свободно при O Y | U -модуль. Тогда степень f также является рангом этого свободного модуля.
Если е является этален и если X, Y является полным, то для любого когерентного пучка F на Y, написание х для характеристики Эйлера,
(Формула Римана – Гурвица для разветвленного покрытия показывает, что здесь нельзя опускать «эталь».)
В общем, если е является конечным сюръективным морфизмом, если X, Y является полным и F когерентного пучка на Y, то из последовательности Леры спектрального, получает:
В частности, если F - тензорная степень линейного расслоения, то и поскольку носитель имеет положительную коразмерность, если q положительно, сравнивая главные члены, мы имеем:
(так как общий ранг в это степень е.)
Если f этальна, а k алгебраически замкнуто, то каждый геометрический слой f −1 ( y) состоит в точности из точек deg ( f).
См. Также: Степень непрерывного отображения