Морфизм алгебраических многообразий

редактировать
«Регулярная карта (алгебраическая геометрия)» перенаправляется сюда. Для регулярных карт в теории графов см. Регулярное отображение (теория графов).

В алгебраической геометрии, А функция от квазиаффинно многообразия к его основной области, является регулярной функцией, если для произвольной точки в существует открытую окрестность U вокруг этой точки таким образом, что F может быть выражен фракцией, как, в котором полиномы на окружающее аффинное пространство такое, что ч нигде не обращается в нуль на U. Регулярное отображение из произвольного многообразия в аффинное пространство является отображение, заданное н-кортеж регулярных функций. Морфизм между двумя разновидностями является непрерывным отображением, как, например, что для каждого открытого множества и каждую регулярной функции, как функция регулярна. Композиция морфизмов - это морфизмы, поэтому они составляют категорию. В этой категории морфизм, имеющий обратный, называется изоморфизмом. Мы говорим, что две разновидности являются изоморфными, если существует изоморфизм между ними или, что эквивалентно, если их координатные кольца изоморфны (т.е.), как алгебры над лежащим в основе их полей. ж : Y k {\ displaystyle f \ двоеточие от Y \ до k} Y {\ displaystyle Y} k {\ displaystyle k} п {\ displaystyle P} Y {\ displaystyle Y} грамм / час {\ displaystyle g / h} грамм , час {\ displaystyle g, h} Y {\ displaystyle Y} Икс {\ displaystyle X} А п {\ Displaystyle \ mathbb {А} ^ {п}} Икс , Y {\ displaystyle X, Y} φ : Икс Y {\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие от X \ до Y} V Y {\ Displaystyle V \ substeq Y} ж : V k {\ displaystyle f \ двоеточие V \ to k} ж φ : φ - 1 ( V ) k {\ displaystyle f \ circ \ varphi \ двоеточие \ varphi ^ {- 1} (V) \ to k} Икс , Y {\ displaystyle X, Y} А ( Икс ) А ( Y ) {\ Displaystyle А (Х) \ конг А (Y)}

Сильверман определяет морфизм как рациональное отображение, регулярное в каждой точке.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
  • 2 Обычные функции
  • 3 Сравнение с морфизмом схем
  • 4 Примеры
  • 5 Недвижимость
  • 6 Морфизмы в проективное пространство
  • 7 Волокна морфизма
  • 8 Степень конечного морфизма
  • 9 См. Также
  • 10 заметок
  • 11 цитат
  • 12 Ссылки

Определение

Если X и Y являются замкнутыми подмногообразиями в и (поэтому они являются аффинными многообразиями ), то регулярное отображение является ограничением полиномиального отображения. В явном виде оно имеет вид: А п {\ Displaystyle \ mathbb {А} ^ {п}} А м {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {m}} ж : Икс Y {\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y} А п А м {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n} \ to \ mathbb {A} ^ {m}}

ж знак равно ( ж 1 , , ж м ) {\ displaystyle f = (f_ {1}, \ dots, f_ {m})}

где s находятся в координатном кольце из X: ж я {\ displaystyle f_ {i}}

k [ Икс ] знак равно k [ Икс 1 , , Икс п ] / я , {\ Displaystyle к [X] = к [x_ {1}, \ точки, x_ {n}] / I,}

где I - идеал, определяющий X (примечание: два многочлена f и g определяют одну и ту же функцию на X тогда и только тогда, когда f  -  g находится в I). Изображение е ( X) лежит в Y, и, следовательно, удовлетворяет определяющие уравнения из Y. То есть регулярное отображение - это то же самое, что ограничение полиномиального отображения, компоненты которого удовлетворяют определяющим уравнениям. ж : Икс Y {\ displaystyle f: от X \ до Y} Y {\ displaystyle Y}

В более общем смысле, отображение F: X → Y между двумя сортами является регулярной в точке х, если существует окрестность U по х и окрестность V из ф ( х) таким образом, что F ( U) ⊂ V и ограниченная функция F: U → V является регулярным как функция на некоторых аффинных графиках U и V. Тогда F называется регулярным, если она регулярна во всех точках X.

  • Примечание: не сразу очевидно, что эти два определения совпадают: если X и Y являются аффинными многообразиями, то отображение f: X → Y регулярно в первом смысле тогда и только тогда, когда оно так во втором смысле. Кроме того, не сразу ясно, зависит ли регулярность от выбора аффинных диаграмм (это не так). Однако этот вид проблемы согласованности исчезает, если принять формальное определение. Формально (абстрактное) алгебраическое многообразие определяется как особый вид локально окольцованного пространства. Когда используется это определение, морфизм многообразий - это просто морфизм локально окольцованных пространств.

Состав регулярных карт снова регулярный; таким образом, алгебраические многообразия образуют категорию алгебраических многообразий, морфизмы которых являются регулярными отображениями.

Регулярные отображения между аффинными многообразиями контравариантно взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам алгебр между координатными кольцами: если f: X → Y - морфизм аффинных многообразий, то он определяет гомоморфизм алгебр

ж # : k [ Y ] k [ Икс ] , грамм грамм ж {\ displaystyle f ^ {\ #}: от k [Y] \ до k [X], \, g \ mapsto g \ circ f}

где - координатные кольца X и Y ; он определен правильно, поскольку является многочленом от элементов. Наоборот, если является гомоморфизмом алгебр, то он индуцирует морфизм k [ Икс ] , k [ Y ] {\ Displaystyle к [X], к [Y]} грамм ж знак равно грамм ( ж 1 , , ж м ) {\ displaystyle g \ circ f = g (f_ {1}, \ dots, f_ {m})} k [ Икс ] {\ Displaystyle к [X]} ϕ : k [ Y ] k [ Икс ] {\ Displaystyle \ phi: к [Y] \ к к [X]}

ϕ а : Икс Y {\ displaystyle \ phi ^ {a}: от X \ до Y}

предоставлено: написанием k [ Y ] знак равно k [ у 1 , , у м ] / J , {\ Displaystyle к [Y] = к [y_ {1}, \ точки, y_ {m}] / J,}

ϕ а знак равно ( ϕ ( у 1 ¯ ) , , ϕ ( у м ¯ ) ) {\ displaystyle \ phi ^ {a} = (\ phi ({\ overline {y_ {1}}}), \ dots, \ phi ({\ overline {y_ {m}}}))}

где изображения русских. Заметим, а также В частности, f является изоморфизмом аффинных многообразий тогда и только тогда, когда f # является изоморфизмом координатных колец. у ¯ я {\ displaystyle {\ overline {y}} _ {i}} у я {\ displaystyle y_ {i}} ϕ а # знак равно ϕ {\ Displaystyle {\ phi ^ {a}} ^ {\ #} = \ phi} ж # а знак равно ж . {\ displaystyle {f ^ {\ #}} ^ {a} = f.}

Например, если Х представляет собой замкнутое подмногообразие аффинного многообразия Y и F является включением, то F # есть ограничение регулярных функций на Y к X. Дополнительные примеры см. В разделе # Примеры ниже.

Обычные функции

В частном случае, когда Y равно A 1, регулярное отображение f: X → A 1 называется регулярной функцией и является алгебраическим аналогом гладких функций, изучаемых в дифференциальной геометрии. Кольцо регулярных функций (то есть кольцо координат или более абстрактно кольцо глобальных сечений структурного пучка) является фундаментальным объектом в аффинной алгебраической геометрии. Единственная регулярная функция на проективном многообразии постоянна (это можно рассматривать как алгебраический аналог теоремы Лиувилля в комплексном анализе ).

Скалярная функция f: X → A 1 регулярна в точке x, если в некоторой открытой аффинной окрестности точки x она является рациональной функцией, регулярной в точке x ; т.е. рядом с x существуют регулярные функции g, h такие, что f = g / h и h не обращается в нуль в x. Внимание: условие для некоторой пары ( g, h) не для всех пар ( g, h); см. Примеры.

Если X - квазипроективное многообразие ; то есть открытое подмножество проективного многообразия, то функция поля к ( X) является такой же, как замыкания в X и, следовательно, рациональной функции на X имеет вид г / ч в течение некоторого однородных элементов г, ч из те же степени в однородном координатном кольцо из (сра структуры проективного многообразия # сорта. ) Тогда рациональная функция F на X является регулярным в точке х, если и только если существует несколько однородных элементы г, ч тех же степени, в таком что f = g / h и h не обращается в нуль в точке x. Эту характеристику иногда принимают за определение регулярной функции. Икс ¯ {\ displaystyle {\ overline {X}}} k [ Икс ¯ ] {\ Displaystyle к [{\ overline {X}}]} Икс ¯ {\ displaystyle {\ overline {X}}} k [ Икс ¯ ] {\ Displaystyle к [{\ overline {X}}]}

Сравнение с морфизмом схем

Если X = Spec A и Y = Spec B - аффинные схемы, то каждый гомоморфизм колец φ: B → A определяет морфизм

ϕ а : Икс Y , п ϕ - 1 ( п ) {\ displaystyle \ phi ^ {a}: от X \ к Y, \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ phi ^ {- 1} ({\ mathfrak {p}})}

беря прообразы из простых идеалов. Все морфизмы между аффинными схемами относятся к этому типу, и склейка таких морфизмов дает морфизм схем в целом.

Теперь, если X, Y - аффинные многообразия; т.е. A, B являются областями целостности, которые являются конечно порожденными алгебрами над алгебраически замкнутым полем k, тогда, работая только с замкнутыми точками, приведенное выше определение совпадает с определением, данным в #Definition. (Доказательство: если f  : X → Y - морфизм, то записывая, нам нужно показать ϕ знак равно ж # {\ Displaystyle \ phi = е ^ {\ #}}

м ж ( Икс ) знак равно ϕ - 1 ( м Икс ) {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {f (x)} = \ phi ^ {- 1} ({\ mathfrak {m}} _ {x})}

где - максимальные идеалы, соответствующие точкам x и f ( x); то есть. Это немедленно.) м Икс , м ж ( Икс ) {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}, {\ mathfrak {m}} _ {f (x)}} м Икс знак равно { грамм k [ Икс ] грамм ( Икс ) знак равно 0 } {\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} = \ {g \ in k [X] \ mid g (x) = 0 \}}

Этот факт означает, что категорию аффинных многообразий можно отождествить с полной подкатегорией аффинных схем над k. Поскольку морфизмы многообразий получаются склейкой морфизмов аффинных многообразий точно так же, как морфизмы схем получаются склейкой морфизмов аффинных схем, отсюда следует, что категория многообразий является полной подкатегорией категории схем над k.

Подробнее см. [1].

Примеры

Смотрите также: Морфизм схем § Примеры
  • Регулярные функции на A n - это в точности многочлены от n переменных, а регулярные функции на P n - это в точности константы.
  • Пусть X - аффинная кривая. потом у знак равно Икс 2 {\ Displaystyle у = х ^ {2}} ж : Икс А 1 , ( Икс , у ) Икс {\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {A} ^ {1}, \, (x, y) \ mapsto x} это морфизм; он взаимно однозначен с обратным. Поскольку g также является морфизмом, f является изоморфизмом многообразий. грамм ( Икс ) знак равно ( Икс , Икс 2 ) {\ Displaystyle г (х) = (х, х ^ {2})}
  • Пусть X - аффинная кривая. потом у 2 знак равно Икс 3 + Икс 2 {\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3} + х ^ {2}} ж : А 1 Икс , т ( т 2 - 1 , т 3 - т ) {\ displaystyle f: \ mathbf {A} ^ {1} \ to X, \, t \ mapsto (t ^ {2} -1, t ^ {3} -t)} это морфизм. Он соответствует гомоморфизму колец ж # : k [ Икс ] k [ т ] , грамм грамм ( т 2 - 1 , т 3 - т ) , {\ displaystyle f ^ {\ #}: k [X] \ to k [t], \, g \ mapsto g (t ^ {2} -1, t ^ {3} -t),} который считается инъективным (поскольку f сюръективен).
  • Продолжая предыдущий пример, пусть U = A 1  - {1}. Поскольку U является дополнением гиперплоскости t = 1, U аффинно. Ограничение биективно. Но соответствующий гомоморфизм колец - это включение, которое не является изоморфизмом, и поэтому ограничение f | U не является изоморфизмом. ж : U Икс {\ displaystyle f: U \ to X} k [ Икс ] знак равно k [ т 2 - 1 , т 3 - т ] k [ т , ( т - 1 ) - 1 ] {\ Displaystyle к [X] = к [t ^ {2} -1, t ^ {3} -t] \ hookrightarrow k [t, (t-1) ^ {- 1}]}
  • Пусть X - аффинная кривая x 2 + y 2 = 1 и пусть ж ( Икс , у ) знак равно 1 - у Икс . {\ displaystyle f (x, y) = {1-y \ over x}.} Тогда F является рациональной функцией на X. Он является регулярным в (0, 1), несмотря на выражение, поскольку как рациональная функция на X, f также может быть записано как. ж ( Икс , у ) знак равно Икс 1 + у {\ Displaystyle е (х, у) = {х \ более 1 + y}}
  • Пусть X = A 2 - (0, 0). Тогда X - алгебраическое многообразие, поскольку это открытое подмножество многообразия. Если f - регулярная функция на X, то f регулярна на и поэтому находится внутри. Точно так же и в. Таким образом, мы можем написать: D А 2 ( Икс ) знак равно А 2 - { Икс знак равно 0 } {\ Displaystyle D _ {\ mathbf {A} ^ {2}} (x) = \ mathbf {A} ^ {2} - \ {x = 0 \}} k [ D А 2 ( Икс ) ] знак равно k [ А 2 ] [ Икс - 1 ] знак равно k [ Икс , Икс - 1 , у ] {\ displaystyle к [D _ {\ mathbf {A} ^ {2}} (x)] = k [\ mathbf {A} ^ {2}] [x ^ {- 1}] = k [x, x ^ { -1}, y]} k [ Икс , у , у - 1 ] {\ Displaystyle к [х, у, у ^ {- 1}]} ж знак равно грамм Икс п знак равно час у м {\ displaystyle f = {g \ over x ^ {n}} = {h \ over y ^ {m}}} где g, h - многочлены от k [ x, y ]. Но отсюда следует, что g делится на x n, и поэтому f на самом деле является многочленом. Следовательно, кольцо регулярных функций на X - это просто k [ x, y ]. (Это также показывает, что X не может быть аффинным, поскольку в противном случае X определяется своим координатным кольцом и, следовательно, X = A 2.)
  • Предположим, отождествляя точки ( x  : 1) с точками x на A 1 и ∞ = (1: 0). Существует автоморфизм σ точки P 1, задаваемый формулой σ (x: y) = (y: x); в частности, σ меняет местами 0 и ∞. Если f - рациональная функция на P 1, то п 1 знак равно А 1 { } {\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} = \ mathbf {A} ^ {1} \ чашка \ {\ infty \}} σ # ( ж ) знак равно ж ( 1 / z ) {\ Displaystyle \ sigma ^ {\ #} (е) = е (1 / z)} и f регулярна в ∞ тогда и только тогда, когда f (1 / z) регулярна в нуле.
  • Взяв поле функций k ( V) неприводимой алгебраической кривой V, все функции F в поле функций могут быть реализованы как морфизмы из V в проективную прямую над k. (см. #Properties) Изображение будет либо одной точкой, либо всей проективной линией (это следствие полноты проективных многообразий ). То есть, если F не является на самом деле постоянная, мы должны атрибутом F значение ∞ в некоторых точках V.
  • Для любых алгебраических многообразий X, Y проекция п : Икс × Y Икс , ( Икс , у ) Икс {\ displaystyle p: X \ times Y \ to X, \, (x, y) \ mapsto x} это морфизм многообразий. Если X и Y аффинны, то соответствующий гомоморфизм колец есть п # : k [ Икс ] k [ Икс × Y ] знак равно k [ Икс ] k k [ Y ] , ж ж 1 {\ Displaystyle p ^ {\ #}: k [X] \ to k [X \ times Y] = k [X] \ otimes _ {k} k [Y], \, f \ mapsto f \ otimes 1} где. ( ж 1 ) ( Икс , у ) знак равно ж ( п ( Икс , у ) ) знак равно ж ( Икс ) {\ Displaystyle (е \ otimes 1) (х, у) = е (п (х, у)) = е (х)}

Характеристики

Морфизм между разновидностями непрерывен по отношению к топологиям Зарисского на источнике и цели.

Образ морфизма многообразий не обязательно должен быть открытым или закрытым (например, образ морфизма многообразий не может быть ни открытым, ни закрытым). Однако все же можно сказать: если f - морфизм между многообразиями, то образ f содержит открытое плотное подмножество его замыкания. (ср. конструктивный набор. ) А 2 А 2 , ( Икс , у ) ( Икс , Икс у ) {\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {2} \ to \ mathbf {A} ^ {2}, \, (x, y) \ mapsto (x, xy)}

Морфизм f: X → Y алгебраических многообразий называется доминантным, если он имеет плотный образ. Для такого f, если V - непустое открытое аффинное подмножество Y, то существует непустое открытое аффинное подмножество U в X такое, что f ( U) ⊂ V, и тогда оно инъективно. Таким образом, доминирующее отображение f вызывает инъекцию на уровне функциональных полей: ж # : k [ V ] k [ U ] {\ displaystyle f ^ {\ #}: k [V] \ to k [U]}

k ( Y ) знак равно Lim k [ V ] k ( Икс ) , грамм грамм ж {\ Displaystyle к (Y) = \ varinjlim k [V] \ hookrightarrow k (X), \, g \ mapsto g \ circ f}

где предел пробегает все непустых открытых аффинных подмножеств Y. (Более абстрактно, это индуцированное отображение из поля вычетов из общей точки из Y в том, что из X.) Наоборот, каждое включение полей индуцируются доминантным рациональным отображением из X в Y. Следовательно, приведенная выше конструкция определяет контравариантную эквивалентность между категорией алгебраических многообразий над полем k и доминирующими рациональными отображениями между ними и категорией конечно порожденного расширения поля поля k. k ( Y ) k ( Икс ) {\ Displaystyle к (Y) \ hookrightarrow k (X)}

Если X - гладкая полная кривая (например, P 1) и если f - рациональное отображение X в проективное пространство P m, то f - регулярное отображение X → P m. В частности, когда Х является гладким полным кривой, любой рациональной функция на X можно рассматривать как морфизм X → P 1 и, наоборот, такой морфизм в качестве рациональной функции на X.

На нормальном многообразии (в частности, гладком многообразии ) рациональная функция регулярна тогда и только тогда, когда у нее нет полюсов коразмерности один. Это алгебраический аналог теоремы Хартогса о продолжении. Есть и относительная версия этого факта; см. [2].

Морфизм между алгебраическими многообразиями, который является гомеоморфизмом между лежащими в основе топологическими пространствами, не обязательно должен быть изоморфизмом (контрпример дается морфизмом Фробениуса ). С другой стороны, если f биективно бирационально и целевое пространство f является нормальным многообразием, то f бирегулярна. (ср . основную теорему Зарисского. ) т т п {\ Displaystyle т \ mapsto т ^ {р}}

Регулярное отображение комплексных алгебраических многообразий - голоморфное отображение. (На самом деле существует небольшое техническое различие: регулярное отображение - это мероморфное отображение, особые точки которого устранимы, но на практике это различие обычно игнорируется.) В частности, регулярное отображение в комплексные числа - это просто обычная голоморфная функция (комплексная -аналитическая функция).

Морфизмы в проективное пространство

Позволять

ж : Икс п м {\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {P} ^ {m}}

- морфизм проективного многообразия в проективное пространство. Пусть х есть точка X. Тогда некоторая i -я однородная координата f ( x) отлична от нуля; скажем, i = 0 для простоты. Тогда, по непрерывности, существует открытая аффинная окрестность U от х таких, что

ж : U п м - { у 0 знак равно 0 } {\ displaystyle f: U \ to \ mathbf {P} ^ {m} - \ {y_ {0} = 0 \}}

- морфизм, где y i - однородные координаты. Обратите внимание, что целевое пространство - это аффинное пространство A m через идентификацию. Таким образом, по определению ограничение f | U определяется как ( а 0 : : а м ) знак равно ( 1 : а 1 / а 0 : : а м / а 0 ) ( а 1 / а 0 , , а м / а 0 ) {\ displaystyle (a_ {0}: \ dots: a_ {m}) = (1: a_ {1} / a_ {0}: \ dots: a_ {m} / a_ {0}) \ sim (a_ {1 } / а_ {0}, \ точки, а_ {м} / а_ {0})}

ж | U ( Икс ) знак равно ( грамм 1 ( Икс ) , , грамм м ( Икс ) ) {\ displaystyle f | _ {U} (x) = (g_ {1} (x), \ dots, g_ {m} (x))}

где ж я «s являются регулярными функциями на U. Так как X проективен, каждый г я представляет собой часть однородных элементов той же степени, в однородном координатном кольце к [ Х ] из X. Мы можем расположить дроби так, чтобы все они имели одинаковый однородный знаменатель, скажем, f 0. Тогда мы можем записать g i = f i / f 0 для некоторых однородных элементов f i в k [ X ]. Следовательно, возвращаясь к однородным координатам,

ж ( Икс ) знак равно ( ж 0 ( Икс ) : ж 1 ( Икс ) : : ж м ( Икс ) ) {\ displaystyle f (x) = (f_ {0} (x): f_ {1} (x): \ dots: f_ {m} (x))}

для всех x в U и по непрерывности для всех x в X до тех пор, пока f i не обращаются в нуль в x одновременно. Если они обращаются в нуль одновременно в точке x из X, то с помощью описанной выше процедуры можно выбрать другой набор f i, которые не обращаются в нуль одновременно в точке x (см. Примечание в конце раздела).

Фактически, приведенное выше описание справедливо для любого квазипроективного многообразия X, открытого подмногообразия проективного многообразия ; с той разницей, что f i находятся в однородном координатном кольце. Икс ¯ {\ displaystyle {\ overline {X}}} Икс ¯ {\ displaystyle {\ overline {X}}}

Примечание. Выше не говорится, что морфизм проективного многообразия в проективное пространство задается одним набором многочленов (в отличие от аффинного случая). Например, пусть X - коника в P 2. Тогда две карты и согласовать открытое подмножество в X (так как), и, следовательно, определяет морфизм. у 2 знак равно Икс z {\ displaystyle y ^ {2} = xz} ( Икс : у : z ) ( Икс : у ) {\ Displaystyle (х: у: г) \ mapsto (х: у)} ( Икс : у : z ) ( у : z ) {\ Displaystyle (х: у: г) \ mapsto (у: г)} { ( Икс : у : z ) Икс Икс 0 , z 0 } {\ Displaystyle \ {(Икс: Y: Z) \ в Икс \ середине х \ neq 0, z \ neq 0 \}} ( Икс : у ) знак равно ( Икс у : у 2 ) знак равно ( Икс у : Икс z ) знак равно ( у : z ) {\ Displaystyle (х: у) = (ху: у ^ {2}) = (ху: хz) = (у: z)} ж : Икс п 1 {\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {P} ^ {1}}

Волокна морфизма

Важный факт:

Теорема  -  Пусть F: X → Y быть доминирующей (т.е., имеющие плотным образом) морфизм алгебраических многообразий, и пусть г = тусклый X  - тусклый Y. потом

  1. Для каждого неприводимого замкнутого подмножества W из Y и каждой неприводимой компоненты Z из доминирующих W, ж - 1 ( W ) {\ displaystyle f ^ {- 1} (W)}
    тусклый Z тусклый W + р . {\ Displaystyle \ тусклый Z \ geq \ тусклый W + R.}
  2. Там существует непустое открытое подмножество U в Y такое, что (а) и (б) для любого неприводимого замкнутого подмножества W из Y, пересекающая U и любая неприводимой компоненты Z из пересекающихся, U ж ( Икс ) {\ Displaystyle U \ подмножество f (X)} ж - 1 ( W ) {\ displaystyle f ^ {- 1} (W)} ж - 1 ( U ) {\ displaystyle f ^ {- 1} (U)}
    тусклый Z знак равно тусклый W + р . {\ Displaystyle \ тусклый Z = \ тусклый W + R.}

Следствие  -  Пусть F: X → Y морфизм алгебраических многообразий. Для каждого x в X определите

е ( Икс ) знак равно Максимум { тусклый Z Z  неприводимый компонент  ж - 1 ( ж ( Икс ) )  содержащий  Икс } . {\ displaystyle e (x) = \ max \ {\ dim Z \ mid Z {\ text {неприводимый компонент}} f ^ {- 1} (f (x)) {\ text {contains}} x \}.}

Тогда е является полунепрерывна сверху ; т.е. для каждого целого n множество

Икс п знак равно { Икс Икс е ( Икс ) п } {\ Displaystyle X_ {п} = \ {х \ в X \ середине е (х) \ geq п \}}

закрыто.

В красной книге Мамфорда теорема доказывается с помощью нормировочной леммы Нётер. Алгебраический подход, в котором универсальная свобода играет главную роль, а понятие « универсально цепного кольца » является ключевым в доказательстве, см. Eisenbud, Ch. 14 книги «Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии». На самом деле, там доказательство показывает, что если е является плоской, то размерность равенство 2. теоремы имеет место в целом ( а не только в общем).

См. Также: теорема Зарисского о связности

Степень конечного морфизма

Пусть f: X → Y - конечный сюръективный морфизм алгебраических многообразий над полем k. Тогда, по определению, степень f - это степень конечного полевого расширения функционального поля k ( X) над f *k ( Y). По общей свободе существует некоторое непустое открытое подмножество U в Y такое, что ограничение структурного пучка O X на f −1 ( U) свободно при O Y | U -модуль. Тогда степень f также является рангом этого свободного модуля.

Если е является этален и если X, Y является полным, то для любого когерентного пучка F на Y, написание х для характеристики Эйлера,

χ ( ж * F ) знак равно град ( ж ) χ ( F ) . {\ Displaystyle \ чи (е ^ {*} F) = \ град (е) \ чи (F).}

(Формула Римана – Гурвица для разветвленного покрытия показывает, что здесь нельзя опускать «эталь».)

В общем, если е является конечным сюръективным морфизмом, если X, Y является полным и F когерентного пучка на Y, то из последовательности Леры спектрального, получает: ЧАС п ( Y , р q ж * ж * F ) ЧАС п + q ( Икс , ж * F ) {\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {p} (Y, R ^ {q} f _ {*} f ^ {*} F) \ Rightarrow \ operatorname {H} ^ {p + q} (X, f ^ { *} F)}

χ ( ж * F ) знак равно q знак равно 0 ( - 1 ) q χ ( р q ж * ж * F ) . {\ displaystyle \ chi (f ^ {*} F) = \ sum _ {q = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {q} \ chi (R ^ {q} f _ {*} f ^ { *} F).}

В частности, если F - тензорная степень линейного расслоения, то и поскольку носитель имеет положительную коразмерность, если q положительно, сравнивая главные члены, мы имеем: L п {\ displaystyle L ^ {\ otimes n}} р q ж * ( ж * F ) знак равно р q ж * О Икс L п {\ displaystyle R ^ {q} f _ {*} (f ^ {*} F) = R ^ {q} f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes L ^ {\ otimes n} } р q ж * О Икс {\ Displaystyle R ^ {q} е _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}

град ( ж * L ) знак равно град ( ж ) град ( L ) {\ displaystyle \ operatorname {deg} (f ^ {*} L) = \ operatorname {deg} (f) \ operatorname {deg} (L)}

(так как общий ранг в это степень е.) ж * О Икс {\ displaystyle f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}

Если f этальна, а k алгебраически замкнуто, то каждый геометрический слой f −1 ( y) состоит в точности из точек deg ( f).

См. Также: Степень непрерывного отображения

Смотрите также

Примечания

Цитаты

использованная литература

Последняя правка сделана 2023-04-21 08:36:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте