Поверхность Энриквеса

редактировать

В математике, Поверхности Энриквеса - это алгебраические поверхности такие, что неправильность q = 0 и каноническое линейное расслоение K нетривиально, но имеет тривиальный квадрат. Все поверхности Энриквеса являются проективными (и, следовательно, кэлеровыми над комплексными числами) и являются эллиптическими поверхностями рода 0. Над полями характеристики, отличной от 2, они являются факторами K3 поверхностей по группе порядка 2 действуют без неподвижных точек, и их теория аналогична теории алгебраических K3 поверхностей. Поверхности Энриквеса были впервые подробно изучены Энрикес (1896) в качестве ответа на вопрос, обсужденный Кастельнуово (1895) о том, может ли поверхность с q = p g = 0 обязательно рационально, хотя некоторые из сравнений Рея, введенные ранее Рей (1882), также являются примерами поверхностей Энриквеса.

Поверхности Энриквеса также могут быть определены поверх других полей. Для полей характеристики, отличной от 2, Артин (1960) показал, что теория аналогична теории для комплексных чисел. Для полей характеристики 2 определение модифицируется, и появляются два новых семейства, называемые сингулярными и суперсингулярными поверхностями Энриквеса, описанными Bombieri Mumford (1976). Эти два дополнительных семейства связаны с двумя недискретными алгебраическими групповыми схемами порядка 2 в характеристике 2.

Содержание

1 Инварианты комплексных поверхностей Энриквеса
2 Характеристика 2
3 Примеры
4 См. Также
5 Ссылки

Инварианты сложных поверхностей Энриквеса

plurigenera Pnравны 1, если n четно, и 0, если n нечетно. Фундаментальная группа имеет порядок 2. Вторая группа когомологий H (X, Z ) изоморфна сумме единственной четной унимодулярной решетки II 1,9 размерности 10 и сигнатуры -8 и группа порядка 2.

Ромб Ходжа:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

Помеченные поверхности Энриквеса образуют связное 10-мерное семейство, которое Кондо (1994) показало рациональным.

Характеристика 2

В характеристике 2 есть несколько новых семейств поверхностей Энриквеса, иногда называемых квази-поверхностями Энриквеса или неклассическими поверхностями Энриквеса или (супер) особые поверхности Энриквеса . (Термин «особая» не означает, что поверхность имеет особенности, но означает, что поверхность в некотором роде «особенная».) В характеристике 2 определение поверхностей Энриквеса изменено: они определены как минимальные поверхности, канонический класс которых K численно эквивалентен 0, а второе число Бетти равно 10. (В характеристиках, отличных от 2, это эквивалентно обычному определению.) Теперь существует 3 семейства поверхностей Энриквеса:

Классический: dim (H (O)) = 0. Это означает, что 2K = 0, но K ненулевое, а Pic равно Z / 2Z. Поверхность является фактором редуцированной сингулярной горенштейновой поверхности по групповой схеме μ 2.
Singular: dim (H (O)) = 1, и на нее действует нетривиально эндоморфизм Фробениуса. Это означает, что K = 0, и Pic равно μ 2. Поверхность является факторповерхностью K3 по групповой схеме Z / 2Z.
Суперсингулярность: dim (H (O)) = 1, и на нее действует тривиально эндоморфизм Фробениуса. Это означает, что K = 0, и Pic равно α 2. Поверхность является фактором приведенной сингулярной поверхности Горенштейна по групповой схеме α 2.

Все поверхности Энриквеса эллиптические или квазиэллиптические.

Примеры

Конгруэнция Рея - это семейство прямых, содержащихся по меньшей мере в 2 квадриках данной 3-мерной линейной системы квадрик в P . Если линейная система является общей, то сравнение Рей является поверхностью Энриквеса. Они были обнаружены Рейем (1882) и могут быть самыми ранними примерами поверхностей Энриквеса.
Возьмем поверхность степени 6 в трехмерном проективном пространстве с двойными линиями по краям тетраэдр, например

w 2 x 2 y 2 + w 2 x 2 z 2 + w 2 y 2 z 2 + x 2 y 2 z 2 + wxyz Q (w, x, y, z) = 0 {\ displaystyle w ^ {2} x ^ {2} y ^ {2} + w ^ {2} x ^ {2} z ^ {2} + w ^ {2} y ^ {2} z ^ {2} + x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2} + wxyzQ (w, x, y, z) = 0}

w ^ {2} x ^ {2} y ^ {2} + w ^ { 2} x ^ {2} z ^ {2} + w ^ {2} y ^ {2} z ^ {2} + x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2} + wxyzQ (w, x, y, z) = 0

для некоторого общего однородного многочлена Q степени 2. Тогда его нормализация является поверхностью Энриквеса. Это семейство примеров, найденных Энриквесом (1896).

Фактор поверхности K3 по инволюции без неподвижных точек - это поверхность Энриквеса, и все поверхности Энриквеса с характеристикой, отличной от 2, могут быть построены таким образом. Например, если S - поверхность K3 w + x + y + z = 0, а T - автоморфизм четвертого порядка, переводящий (w, x, y, z) в (w, ix, –y, –iz), то T имеет 2 фиксированные точки. Раздутие этих двух точек и факторизация по T дает поверхность K3 с инволюцией T без неподвижных точек, а ее факторное по T является поверхностью Энриквеса. В качестве альтернативы поверхность Энриквеса может быть построена путем факторизации исходной поверхности по автоморфизму T порядка 4 и разрешения двух особых точек факторизации. Другой пример - это пересечение трех квадрик вида P i (u, v, w) + Q i (x, y, z) = 0 и взятие частное по инволюции, переводящей (u: v: w: x: y: z) в (–x: –y: –z: u: v: w). Для общих квадрик эта инволюция является инволюцией без неподвижных точек поверхности K3, поэтому фактор-поверхность является поверхностью Энриквеса.

См. Также

Ссылки

Артин, Майкл (1960), На поверхностях Энриквеса, докторская диссертация, Гарвард
Компактные комплексные поверхности Вольф П. Барт, Клаус Хьюлек, Крис А.М. Петерс, Антониус Ван де Вен ISBN 3-540-00832-2 Это стандартный справочник для компактных сложных поверхностей.
Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1976), «Классификация поверхностей Энрикесом в диаграмме, стр. III.» (PDF), Inventiones Mathematicae, 35(1): 197 –232, doi : 10.1007 / BF01390138, ISSN 0020-9910, MR 0491720
Кастельнуово, Г. (1895), " Sulle superficie di genere zero ", Mem. delle Soc. Ital. delle Scienze, сер. III, 10 : 103–123
Cossec, François R.; Долгачев, Игорь В. (1989), Поверхности Энриквеса. I, Успехи в математике, 76, Бостон: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3417-9, MR 0986969
Долгачев, Игорь В. (2016), Краткое введение в поверхности Энриквеса (PDF)
Энрикес, Федериго (1896), «Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche.», 10 : 1– 81
Энрикес, Федериго (1949), Le Superficie Algebriche, Никола Заничелли, Болонья, MR 0031770
Кондо, Шигеюки (1994), "Рациональность пространства модулей поверхностей Энриквеса ", Compositio Mathematica, 91 (2): 159–173
Reye, T. (1882), Die Geometrie der Lage, Leipzig