Войти
В математике теорема об индексе Ходжа для алгебраической поверхности V определяет сигнатуру пары пересечений на алгебраических кривых C на V. Это говорит, грубо говоря, что пространство, покрытое такими кривыми (до линейной эквивалентности ) имеет одномерное подпространство, на котором оно положительно определено (не определено однозначно), и разлагается на прямую сумму некоторого такого одномерного подпространства, и дополнительное подпространство на котором это отрицательно определено.
В более формальном заявлении укажите, что V является неособым числом projecti ve поверхность, и пусть H будет классом делителей на V сечения гиперплоскости поверхности V в данном проективном вложении. Тогда пересечение
, где d - степень V (в этом вложении). Пусть D - векторное пространство классов рациональных делителей на V с точностью до алгебраической эквивалентности. Размерность D конечна и обычно обозначается через ρ (V). Теорема Ходжа об индексе утверждает, что подпространство, натянутое на H в D, имеет дополнительное подпространство, на котором спаривание пересечений отрицательно определено. Следовательно, подпись (часто также называемая индексом) равна (1, ρ (V) -1).
Абелева группа классов дивизоров с точностью до алгебраической эквивалентности теперь называется группой Нерона-Севери ; известно, что это конечно порожденная абелева группа, и в результате получается ее тензорное произведение с полем рациональных чисел. Следовательно, ρ (V) равно рангу группы Нерона-Севери (которая иногда может иметь нетривиальную торсионную подгруппу ).
Этот результат был доказан в 1930-х годах У. В. Д. Ходжа, для многообразий над комплексными числами, после того, как это некоторое время было предположением итальянской школы алгебраической геометрии (в частности, Франческо Севери, который в этот случай показал, что ρ < ∞). Hodge's methods were the топологических полей, внесенных Лефшецем. Результат верен для общих (алгебраически замкнутых ) полей.
