Связанная сумма

редактировать

В математике, особенно в топологии, операция связной суммы - геометрическая модификация на коллекторах. Его эффект состоит в том, чтобы соединить два заданных многообразия вместе около выбранной точки на каждом. Эта конструкция играет ключевую роль в классификации замкнутых поверхностей.

В более общем смысле, можно также объединять многообразия вместе вдоль идентичных подмногообразий; это обобщение часто называют суммой волокон . Существует также тесно связанное понятие связанной суммы на узлах, называемое суммой узлов или составом узлов.

Иллюстрация связанной суммы.

Содержание

1 Связанная сумма в точке
2 Связная сумма вдоль подмногообразия
3 Связная сумма вдоль подмногообразия коразмерности два
4 Локальная операция
5 Связанная сумма узлов
6 См. Также
7 Дополнительная литература
8 Ссылки

Связанная сумма в точке

A связанная сумма двух m-мерных коллекторов - это многообразие, образованное удалением шара внутри каждого многообразия и склейкой полученных граничных сфер.

Если оба многообразия ориентированы, там - единственная связная сумма, заданная обратной ориентацией карты склейки. Хотя конструкция использует выбор шаров, результат уникален с точностью до гомеоморфизма. Также можно заставить эту операцию работать в smooth категории, и тогда результат будет уникальным с точностью до диффеоморфизма. В гладком случае есть тонкие проблемы: не каждый диффеоморфизм между границами сфер дает одно и то же составное многообразие, даже если ориентации выбраны правильно. Например, Милнор показал, что две 7-клетки можно склеить по их границе, так что в результате получится экзотическая сфера, гомеоморфная, но не диффеоморфная 7-сфере.

Однако существует канонический способ выбрать склейку $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ и $M 2 {\ displaystyle M_ {2} }$ $M_ {2}$ , что дает уникальную четко определенную связную сумму. Выберите вложения $i 1: D n → M 1 {\ displaystyle i_ {1}: D_ {n} \ rightarrow M_ {1}}$ ${\ displaystyle i_ {1}: D_ {n} \ rightarrow M_ {1}}$ и $i 2: D n → M 2 {\ displaystyle i_ {2}: D_ {n} \ rightarrow M_ {2}}$ ${\ displaystyle i_ {2}: D_ {n} \ rightarrow M_ {2}}$ , так что $i 1 {\ displaystyle i_ {1}}$ $i_ {1}$ сохраняет ориентацию и $i 2 {\ displaystyle i_ {2}}$ $i_ {2}$ меняет ориентацию на обратную. Теперь получим $M 1 # M 2 {\ displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$ из непересекающейся суммы

(M 1 - i 1 (0)) ⊔ (M 2 - я 2 (0)) {\ displaystyle (M_ {1} -i_ {1} (0)) \ sqcup (M_ {2} -i_ {2} (0))}

{\ displaystyle ( M_ {1} -i_ {1} (0)) \ sqcup (M_ {2} -i_ {2} (0))}

путем определения $я 1 (tu) {\ displaystyle i_ {1} (tu)}$ ${\ displaystyle i_ {1} (tu)}$ с $я 2 ((1 - t) u) {\ displaystyle i_ {2} ((1-t) u)}$ ${\ displaystyle i_ {2} ((1-t) u) }$ для каждого единичного вектора $u ∈ S n - 1 {\ displaystyle u \ in S ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle u \ in S ^ {n-1}}$ и каждого $0 < t < 1 {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <t <1}$ . Выберите ориентацию для $M 1 # M 2 {\ displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$ , которая совместима с $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ и $M 2 {\ displaystyle M_ {2}}$ $M_ {2}$ . Тот факт, что эта конструкция определена правильно, в решающей степени зависит от теоремы о диске, которая вовсе не очевидна. Для получения дополнительной информации см.

Операция связной суммы обозначается $# {\ displaystyle \ #}$ $\ #$ ; например $A # B {\ displaystyle A \ #B}$ $A \ #B$ обозначает связанную сумму $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ .

Операция связной суммы имеет сферу $S m {\ displaystyle S ^ {m}}$ $S ^ {m}$ в качестве идентификатора ; то есть $M # S m {\ displaystyle M \ # S ^ {m}}$ $M \ # S ^ {m}$ гомеоморфен (или диффеоморфен) $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

Классификация закрытые поверхности, фундаментальный и исторически значимый результат в топологии, утверждает, что любая замкнутая поверхность может быть выражена как связная сумма сферы с некоторым числом $g {\ displaystyle g}$ $g$ из торов и некоторое число $k {\ displaystyle k}$ $k$ из вещественных проективных плоскостей.

Связанная сумма вдоль подмногообразия

Пусть $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ и $M 2 {\ displaystyle M_ {2}}$ $M_ {2}$ два гладких ориентированных многообразия одинаковой размерности и $V {\ displaystyle V }$ $V$ гладкое замкнутое ориентированное многообразие, вложенное как подмногообразие как в $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ , так и в $M 2. {\ displaystyle M_ {2}.}$ ${\ displaystyle M_ {2}.}$ Кроме того, предположим, что существует изоморфизм нормальных связок

ψ: NM 1 V → NM 2 V {\ displaystyle \ psi: N_ {M_ { 1}} V \ to N_ {M_ {2}} V}

\ psi: N _ {{M_ {1}}} V \ to N _ {{M_ {2}}} V

, который меняет ориентацию на каждом волокне. Тогда $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ индуцирует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм

N 1 ∖ V ≅ NM 1 V ∖ V → NM 2 V ∖ V ≅ N 2 ∖ V, {\ displaystyle N_ {1} \ setminus V \ cong N_ {M_ {1}} V \ setminus V \ to N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ cong N_ {2} \ setminus V,}

N_ {1} \ setminus V \ cong N _ {{M_ {1}}} V \ setminus V \ to N _ {{M_ {2}}} V \ setminus V \ cong N_ {2} \ setminus V,

где каждый нормальный набор $NM i V {\ displaystyle N_ {M_ {i}} V}$ $N _ {{M_ {i}}} V$ диффеоморфно идентифицируется с окрестностью $N i {\ displaystyle N_ {i}}$ $N_ {i}$ из $V {\ displaystyle V}$ $V$ в $M i {\ displaystyle M_ {i}}$ $M_ { i}$ , а карта

NM 2 V ∖ V → NM 2 V ∖ V {\ displaystyle N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ to N_ {M_ {2}} V \ setminus V}

N _ {{M_ {2}}} V \ setminus V \ to N _ {{M_ {2}}} V \ setminus V

- это обращающая ориентацию диффеоморфная инволюция

v ↦ v / | v | 2 {\ displaystyle v \ mapsto v / | v | ^ {2}}

v \ mapsto v / | v | ^ {2}

на нормальных векторах. связная сумма из $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ и $M 2 {\ displaystyle M_ {2}}$ $M_ {2}$ вдоль $V {\ displaystyle V}$ $V$ тогда пространство

(M 1 ∖ V) ⋃ N 1 ∖ V = N 2 ∖ V (M 2 ∖ V) {\ displaystyle (M_ { 1} \ setminus V) \ bigcup _ {N_ {1} \ setminus V = N_ {2} \ setminus V} (M_ {2} \ setminus V)}

(M_ {1} \ setminus V) \ bigcup _ {{N_ {1} \ setminus V = N_ {2} \ setminus V}} ( M_ {2} \ setminus V)

полученный путем склеивания удаленных окрестностей вместе с помощью ориентации- сохраняющий диффеоморфизм. Сумма часто обозначается

(M 1, V) # (M 2, V). {\ displaystyle (M_ {1}, V) \ # (M_ {2}, V).}

(M_{1},V)\#(M_{2},V).

Тип его диффеоморфизма зависит от выбора двух вложений $V {\ displaystyle V}$ $V$ и при выборе $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ .

Грубо говоря, каждый нормальный слой подмногообразия $V {\ displaystyle V}$ $V$ содержит одну точку $V {\ displaystyle V}$ $V$ , а связанная сумма вдоль $V {\ displaystyle V}$ $V$ - это просто связная сумма, как описано в предыдущем разделе, выполненная по каждое волокно. По этой причине связная сумма вдоль $V {\ displaystyle V}$ $V$ часто называется суммой волокон .

. Частный случай $V {\ displaystyle V}$ $V$ точка восстанавливает связанную сумму предыдущего раздела.

Связанная сумма вдоль подмногообразия коразмерности два

Другой важный частный случай возникает, когда размерность $V {\ displaystyle V}$ $V$ на два меньше, чем размерность $М я {\ Displaystyle M_ {i}}$ $M_ { i}$ . Тогда изоморфизм $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ нормальных связок существует всякий раз, когда их классы Эйлера противоположны:

e (NM 1 V) = - e (NM 2 В). {\ displaystyle e (N_ {M_ {1}} V) = - e (N_ {M_ {2}} V).}

e (N _ {{M_ {1}}} V) = -e (N _ {{M_ {2}}} V).

Кроме того, в этом случае структурная группа нормальных пакетов группа кругов $SO (2) {\ displaystyle SO (2)}$ $SO (2)$ ; отсюда следует, что выбор вложений можно канонически отождествить с группой гомотопических классов отображений из $V {\ displaystyle V}$ $V$ в круг, который, в свою очередь, равен первый интеграл когомологий группа $H 1 (V) {\ displaystyle H ^ {1} (V)}$ $H ^ {1} (V)$ . Таким образом, тип диффеоморфизма суммы зависит от выбора $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ и выбора элемента из $H 1 (V) {\ displaystyle H ^ {1} (V)}$ $H ^ {1} (V)$ .

Связная сумма вдоль коразмерности два $V {\ displaystyle V}$ $V$ также может быть выполнена в категории симплектических многообразий ; эта разработка называется симплектической суммой.

Локальная операция

Связная сумма - это локальная операция на многообразиях, что означает, что она изменяет слагаемые только в окрестности из $В {\ Displaystyle V}$ $V$ . Это означает, например, что суммирование может быть выполнено на одном многообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ , содержащем две непересекающиеся копии $V {\ displaystyle V}$ $V$ , с эффектом приклеивания $M {\ displaystyle M}$ $M$ к самому себе. Например, связная сумма двух сфер в двух разных точках сферы дает двумерный тор.

Связная сумма узлов

Существует тесно связанное понятие связной суммы двух узлов. Фактически, если рассматривать узел просто как одномерное многообразие, то связная сумма двух узлов - это всего лишь их связная сумма как одномерного многообразия. Однако существенным свойством узла является не его структура многообразия (при которой каждый узел эквивалентен окружности), а его вложение в окружающее пространство. Таким образом, связная сумма узлов имеет более подробное определение, которое дает четко определенное вложение, как показано ниже.

Рассмотрим непересекающиеся плоские проекции каждого узла.

Найдите прямоугольник на плоскости, в котором одна пара сторон представляет собой дугу вдоль каждого узла, но в остальном не пересекается с узлами.

Теперь соедините два узла, удалив их дуг от узлов и добавления дуг, которые образуют другую пару сторон прямоугольника.

Эта процедура приводит к проецированию нового узла, связной суммы (или суммы узлов, или состав ) исходных узлов. Чтобы связная сумма узлов была корректно определена, необходимо рассмотреть ориентированные узлы в 3-мерном пространстве. Чтобы определить связную сумму для двух ориентированных узлов:

Рассмотрим плоскую проекцию каждого узла и предположим, что эти проекции не пересекаются.
Найдите прямоугольник на плоскости, в котором одна пара сторон является дугой вдоль каждого узла, но в противном случае не пересекается с узлами и, так что дуги узлов на сторонах прямоугольника ориентированы вокруг границы прямоугольника в том же направлении .
Теперь соедините два узла вместе удалив эти дуги из узлов и добавив дуги, которые образуют другую пару сторон прямоугольника.

Получившийся узел связной суммы наследует ориентацию, согласованную с ориентациями двух исходных узлов, и ориентированный окружающий изотопический класс результат четко определен и зависит только от ориентированных окружающих изотопических классов исходных двух узлов.

В рамках этой операции ориентированные узлы в 3-мерном пространстве образуют коммутативный моноид с уникальным разложением на простые множители, который позволяет нам определить, что подразумевается под простой узел. Доказательство коммутативности можно увидеть, если дать одному слагаемому сжаться до очень малого размера, а затем потянуть его за другой узел. Узел - это единица. Два узла-трилистника - это простейшие простые узлы. Узлы больших размеров могут быть добавлены путем сращивания $n {\ displaystyle n}$ $n$ -сфер.

В трех измерениях узел не может быть записан как сумма двух нетривиальных узлов. Этот факт следует из аддитивности узла рода ; другое доказательство опирается на бесконечную конструкцию, которую иногда называют Мазурским мошенничеством. В более высоких измерениях (с коразмерностью не менее трех) можно получить развязку, добавив два нетривиальных узла.

Если не учитывает ориентацию узлов, операция связной суммы не определена должным образом на изотопических классах (неориентированных) узлов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два необратимых узла K, L, которые не эквивалентны (как неориентированные узлы); например, возьмем два узла кренделя K = P (3,5,7) и L = P (3,5,9). Пусть K + и K - будет K с его двумя неэквивалентными ориентациями, и пусть L + и L - будет L со своими двумя неэквивалентные ориентации. Мы можем сформировать четыре ориентированные связанные суммы:

A = K + # L +
B = K - # L −
C = K + # L −
D = K - # L +

Все классы ориентированной внешней изотопии этих четырех ориентированных узлов различны. И, если рассматривать окружающую изотопию узлов без учета ориентации, существует два различных класса эквивалентности: {A ~ B} и {C ~ D}. Чтобы увидеть, что A и B неориентированы эквивалентны, просто обратите внимание, что они оба могут быть построены из той же пары проекций непересекающихся узлов, как указано выше, с единственной разницей в ориентации узлов. Точно так же видно, что C и D могут быть построены из одной и той же пары проекций непересекающихся узлов.

См. Также

Дополнительная литература

Роберт Гомпф : новая конструкция симплектических многообразий, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
Уильям С. Мэсси, Базовый курс алгебраической топологии, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0 -387-97430-X.

Ссылки