Класс Эйлера

Характерный класс ориентированных вещественных векторных пучков

В математике, особенно в алгебраической топологии, класс Эйлера является характеристическим классом ориентированных, реальных векторных пучков. Как и другие характеристические классы, он измеряет, насколько "скручено" векторное расслоение. В случае касательного расслоения гладкого многообразия оно обобщает классическое понятие эйлеровой характеристики. Из-за этого он назван в честь Леонарда Эйлера.

На протяжении всей статьи $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$представляет собой ориентированный действительный векторный пучок rank $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$над базовым пространством $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

• 1 Формальное определение
• 2 Свойства
  • 2.1 Исчезающее геометрическое место общего сечения
  • 2.2 Самопересечение
• 3 Отношения с другими инвариантами
  • 3.1 Квадраты наверх Класс Понтрягина
  • 3.2 Неустойчивость
• 4 Примеры
  • 4.1 Сферы
    • 4.1.1 Круг
• 5 См. Также
  • 5.1 Другие классы
• 6 Ссылки

Класс Эйлера $e\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E)\}$является элементом интегральной когомологии группа

$H\; r\; (X;\; Z),\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{r\}\; (X;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}),\}$

построена следующим образом. ориентация элемента $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$представляет собой непрерывный выбор генератора когомологий

$H\; r\; (R\; r,\; R\; r\; \setminus \; \{0\};\; Z)\; \cong \; ЧАС\; р\; -\; 1\; (S\; р\; -\; 1;\; Z)\; \cong \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{r\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{r\},\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{r\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{r-1\}\; (S\; ^\; \{r-1\};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$

каждого волокна $R\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{r\}\}$относительный к дополнению $R\; r\; \setminus \; \{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{r\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{\; 0\; \backslash \}\}$из нуля. Из изоморфизма Тома это индуцирует класс ориентации

$u\; \in \; H\; r\; (E,\; E\; \setminus \; E\; 0;\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{r\}\; (E,\; E\; \backslash \; setminus\; E\_\; \{0\};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$

в когомологии $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$относительно дополнения $E\; \setminus \; E\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; setminus\; E\_\; \{0\}\}$из нулевого раздела $E\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{0\}\}$. Включения

$(X,\; \varnothing )\; \hookrightarrow \; (E,\; \varnothing )\; \hookrightarrow \; (E,\; E\; \setminus \; E\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; emptyset)\; \backslash \; hookrightarrow\; (E,\; \backslash \; emptyset)\; \backslash \; hookrightarrow\; (E,\; E\; \backslash \; setminus\; E\_\; \{0\}),\}$

где $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$включает в $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$как нулевое сечение, вызвать отображает

$H\; r\; (E,\; E\; \setminus \; E\; 0;\; Z)\; \to \; H\; r\; (E;\; Z)\; \to \; H\; r\; (X;\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{r\}\; (E,\; E\; \backslash \; setminus\; E\_\; \{0\};\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{r\}\; (E;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{r\}\; (X\; ;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}).\}$

Класс Эйлера e (E) - это образ u при композиции этих отображений.

Класс Эйлера удовлетворяет этим свойствам, которые являются аксиомами характеристического класса:

• Функциональность: Если $F\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; to\; Y\; \}$- другое ориентированное действительное векторное расслоение, а $f:\; Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; Y\; \backslash \; to\; X\}$является непрерывным и покрывается сохраняющей ориентацию картой. $F\; \to \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; to\; E\}$, тогда $e\; (F)\; =\; f\; *\; (e\; (E))\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (F)\; =\; f\; ^\; \{*\; \}\; (е\; (E))\}$. В частности, $e\; (f\; \ast \; (E))\; =\; f\; \ast \; (e\; (E))\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (f\; ^\; \{*\}\; (E))\; =\; f\; ^\; \{*\}\; (e\; (E))\}$.
• Формула суммы Уитни : Если $F\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; to\; X\}$- другое ориентированное действительное векторное расслоение, то класс Эйлера их прямая сумма определяется как $e\; (E\; \oplus \; F)\; =\; e\; (E)\; ⌣\; e\; (F).\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E\; \backslash \; oplus\; F)\; =\; e\; (E)\; \backslash \; smile\; e\; (F).\}$
• Нормализация: Если $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$не имеет ничего -Нулевое сечение, тогда $e\; (E)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E)\; =\; 0\}$.
• Ориентация: Если $E\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{E\}\}\}$- это $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$с противоположной ориентацией, тогда $e\; (E\; ¯)\; =\; -\; e\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (\{\backslash \; overline\; \{\; E\}\})\; =\; -\; e\; (E)\}$.

Обратите внимание, что «нормализация» является отличительной чертой класса Эйлера. Класс Эйлера препятствует существованию ненулевого сечения в том смысле, что если $e\; (E)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E)\; \backslash \; neq\; 0\}$, то $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$не имеет неисчезающего раздела.

Также, в отличие от других характеристических классов, он сконцентрирован в степени, которая зависит от ранга связки: $e\; (E)\; \in \; H\; r\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E)\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{r\}\; (X)\}$. Напротив, классы Штифеля-Уитни $wi\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{i\}\; (E)\}$живут в $H\; i\; (X;\; Z\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X;\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2)\}$независимо от ранга $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$. Это отражает тот факт, что класс Эйлера нестабилен, как обсуждается ниже.

Исчезающее геометрическое место общего сечения

Класс Эйлера соответствует исчезающему геометрическому пространству участка $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$следующим образом. Предположим, что $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- ориентированное гладкое многообразие размерности $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$. Пусть $\sigma :\; X\; \to \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; E\}$будет гладким участком, который поперечно пересекает нулевое сечение. Пусть $Z\; \subseteq \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \backslash \; substeq\; X\}$будет нулевым локусом $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$. Тогда $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$является размерностью $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$подмногообразием $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \}$, который представляет гомологию класс $[Z]\; \in \; H\; d\; -\; r\; (X;\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; [Z]\; \backslash \; in\; H\_\; \{dr\}\; (X;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$и $e\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E)\}$- это двойственный элемент Пуанкаре для $[Z\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [Z]\}$.

Самопересечение

Например, если $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$является компактным подмногообразием, то класс Эйлера нормальный пакет из $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$естественно идентифицируется с само- пересечение из $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

В особом случае, когда пакет Рассматриваемое E является касательным расслоением компактного ориентированного r-мерного многообразия, класс Эйлера является элементом верхних когомологий этого многообразия, который естественно id занесены целыми числами путем вычисления классов когомологий на фундаментальном гомологическом классе. При таком отождествлении класс Эйлера касательного расслоения равен эйлеровой характеристике многообразия. На языке характеристических чисел характеристика Эйлера - это характеристическое число, соответствующее классу Эйлера.

Таким образом, класс Эйлера является обобщением характеристики Эйлера на векторные расслоения, отличные от касательных. В свою очередь, класс Эйлера является архетипом для других характеристических классов векторных расслоений в том смысле, что каждый «верхний» характеристический класс равен классу Эйлера следующим образом.

Модифицирование на 2 индуцирует отображение

$H\; r\; (X,\; Z)\; \to \; H\; r\; (X,\; Z\; /\; 2\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{r\}\; (X,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{r\}\; (X,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}).\}$

Образ Эйлера класс под этой картой - это верхний класс Штифеля-Уитни wr(E). Этот класс Штифеля-Уитни можно рассматривать как «класс Эйлера, игнорирующий ориентацию».

Любое комплексное векторное расслоение E комплексного ранга d можно рассматривать как ориентированное вещественное векторное расслоение E действительного ранга 2d. Класс Эйлера E задается классом Черна наивысшей размерности $e\; (E)\; =\; cd\; (E)\; \in \; H\; 2\; d\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E)\; =\; c\_\; \{d\}\; (E)\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{2d\}\; (X)\}$

Квадраты наверх Класс Понтрягина

Класс Понтрягина $pr\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{r\}\; (E)\}$определяется как класс Черна комплексификации E: $pr\; (E)\; =\; c\; 2\; r\; (C\; \otimes \; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{r\}\; (E)\; =\; c\_\; \{2r\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; otimes\; E)\}$.

Комплексификация $C\; \otimes \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; otimes\; E\}$изоморфна как ориентированная связка $E\; \oplus \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; oplus\; E\}$. Сравнивая классы Эйлера, мы видим, что

$e\; (E)\; ⌣\; e\; (E)\; =\; e\; (E\; \oplus \; E)\; =\; e\; (E\; \otimes \; C)\; =\; c\; r\; (E\; \otimes \; C)\; \in \; H\; 2\; r\; (X,\; Z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (Е)\; \backslash \; улыбка\; е\; (Е)\; =\; е\; (Е\; \backslash \; oplus\; E)\; =\; е\; (E\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; c\_\; \{r\}\; (E\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{2r\}\; (X,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}).\}$

Если ранг r элемента E четный, то $e\; (E)\; ⌣\; e\; (E)\; =\; cr\; (E)\; =\; pr\; /\; 2\; (\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E)\; \backslash \; smile\; e\; (E)\; =\; c\_\; \{r\}\; (E)\; =\; p\_\; \{r\; /\; 2\}\; (E)\}$где $pr\; /\; 2\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{r\; /\; 2\}\; (E)\}$- высшее измерение класс Понтрягина из $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$.

Нестабильность

Характеристический класс $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$является стабильным, если $c\; (E\; \oplus \; R\; \_\; 1)\; =\; c\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (E\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; underline\; \{\; R\}\}\; ^\; \{1\})\; =\; c\; (E)\}$где $R\; \_\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{R\}\}\; ^\; \{1\}\}$- это ранг один тривиальный пучок. В отличие от большинства других характеристических классов, класс Эйлера нестабилен. Фактически, $е\; (E\; \oplus \; R\; \_\; 1)\; =\; e\; (E)\; ⌣\; e\; (R\; \_\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (E\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; underline\; \{R\}\}\; ^\; \{1\})\; =\; e\; (E)\; \backslash \; smile\; e\; (\{\backslash \; underline\; \{R\}\}\; ^\; \{1\})\; =\; 0\}$.

Класс Эйлера представлен классом когомологий в классифицирующем пространстве BSO (k) $е\; \in \; ЧАС\; К\; (BSO\; (k))\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; \backslash \; в\; H\; ^\; \{k\}\; (\backslash \; mathrm\; \{BSO\}\; (k))\}$. Нестабильность класса Эйлера показывает, что это не возврат класса из $H\; k\; (BSO\; (k\; +\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{k\}\; (\backslash \; mathrm\; \{BSO\}\; (k\; +\; 1))\}$при включении $BSO\; (k)\; \to \; BSO\; (k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{BSO\}\; (k)\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{BSO\}\; (k\; +\; 1)\}$.

Это можно увидеть интуитивно в том, что класс Эйлера - это класс, степень которого зависит от размерности расслоения (или многообразия, если касательное расслоение): класс Эйлера является элементом $H\; d\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{d\}\; (X)\}$где $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- размер пакета, в то время как другие классы имеют фиксированное измерение ( например, первый класс Штифеля-Уитни является элементом $H\; 1\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (X)\}$).

Тот факт, что класс Эйлера нестабилен, не следует рассматривать как «дефект»: скорее, это означает, что класс Эйлера «обнаруживает нестабильные явления». Например, касательное расслоение четной размерной сферы стабильно тривиально, но не тривиально (обычное включение сферы $S\; n\; \subseteq \; R\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathrm\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}$имеет тривиальное нормальное расслоение, таким образом, касательное расслоение к сфере плюс тривиальное линейное расслоение - это касательное расслоение евклидова пространства, ограниченное $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{\; n\}\}$, что тривиально), таким образом, все другие характеристические классы исчезают для сферы, но класс Эйлера не обращается в нуль для четных сфер, обеспечивая нетривиальный инвариант.

Сферы

Эйлерова характеристика n-сферы S:

$\chi \; (S\; n)\; =\; 1\; +\; (-\; 1)\; n\; =\; \{2\; n\; четный\; 0\; n\; нечетный.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{n\})\; =\; 1\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; 2\; n\; \{\backslash \; text\; \{even\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; n\; \{\backslash \; text\; \{odd\; \}\}.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Таким образом, не существует неисчезающего сечения касательного пучка четных сфер (это известно как теорема Волосатого шара ). В частности, касательное расслоение четной сферы нетривиально, т. Е. $S\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2n\}\}$не является распараллеливаемым многообразием и не может допускают структуру группы Ли.

Для нечетных сфер S⊂ Rникуда не исчезающий участок задается как

$(x\; 2,\; -\; x\; 1,\; x\; 4,\; -\; x\; 3,\dots ,\; x\; 2\; n,\; -\; x\; 2\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{2\},\; -\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{4\},\; -\; x\_\; \{3\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{2n\},\; -\; x\_\; \{2n-1\})\}$

который показывает что класс Эйлера исчезает; это всего n копий обычного раздела по кругу.

Поскольку класс Эйлера для четной сферы соответствует $2\; [S\; 2\; n]\; \in \; H\; 2\; n\; (S\; 2\; n,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; [S\; ^\; \{2n\}]\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{2n\}\; (S\; ^\; \{2n\},\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$, мы можем использовать тот факт, что класс Эйлера суммы Уитни двух расслоений является просто чашечным произведением класса Эйлера двух расслоений, чтобы убедиться, что нет нетривиальных подрасслоений касательного расслоения к четной сфере.

Поскольку касательное расслоение сферы стабильно тривиально, но не тривиально, все остальные характеристические классы обращаются в нуль на нем, а класс Эйлера является единственным классом обычных когомологий, который обнаруживает нетривиальность касательного расслоения сфер: чтобы доказать дальнейшие результаты, нужно использовать операции вторичных когомологий или K-теорию.

Окружность

Цилиндр представляет собой расслоение прямых над окружностью по естественной проекции $R\; 1\; \times \; S\; 1\; \to \; S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{R\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; times\; S\; ^\; \{1\}\; \backslash \; to\; S\; ^\; \{1\}\}$. Это тривиальное линейное расслоение, поэтому оно обладает нулевым сечением, поэтому его класс Эйлера равен 0. Оно также изоморфно касательному расслоению окружности; тот факт, что его класс Эйлера равен 0, соответствует тому факту, что эйлерова характеристика круга равна 0.

• Многочлен Вандермонда
• изоморфизм Тома
• Обобщенная теорема Гаусса – Бонне

Другие классы

• Класс Черна
• Класс Понтрягина
• Класс Штифеля-Уитни

• Ботт, Рауль и Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Милнор, Джон У. ; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характеристические классы. Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.