Поверхность Куммера

редактировать

несократимая узловая поверхность

3D-модель поверхности Куммера

В алгебраической геометрии поверхность четвертой степени Куммера, впервые изученная Куммером (1864), является неприводимой узловая поверхность степени 4 в $P 3 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$ ${\ mathbb {P}} ^ {3}$ с максимально возможным числом 16 двойных точек. Любая такая поверхность является многообразием Куммера многообразием якоби гладкой гиперэллиптической кривой рода 2; т.е. фактор якобиана по инволюции Куммера x ↦ −x. Инволюция Куммера имеет 16 неподвижных точек: 16 точек 2-кручения якобиана, и они являются 16 особыми точками поверхности четвертой степени. Разрешение 16 двойных точек частного тора (возможно, неалгебраического) с помощью инволюции Куммера дает поверхность K3 с 16 непересекающимися рациональными кривыми; эти K3-поверхности также иногда называют куммеровыми поверхностями.

Другие поверхности, тесно связанные с поверхностями Куммера, включают поверхности клина, волновые поверхности и тетраэдроиды.

Содержание

1 Геометрия поверхности Куммера
- 1.1 Сингулярные поверхности четвертой степени и модель двойной плоскости
- 1.2 Двойная плоскость и разновидности Куммера якобианов
- 1.3 Комплекс квадратичных прямых
2 Структура уровня 2
- 2.1 Куммера $16 6 { \ displaystyle 16_ {6}}$ $16_ {6 }$ конфигурация
- 2.2 Спаривание Вейля
- 2.3 Теория групп, алгебра и геометрия
3 Ссылки

Геометрия поверхности Куммера

Особые поверхности четвертой степени и модель двойной плоскости

Пусть $K ⊂ P 3 {\ displaystyle K \ subset \ mathbb {P} ^ {3}}$ $K \ subset {\ mathbb {P}} ^ {3}$ будет поверхностью четвертой степени с обычная двойная точка p, вблизи которой K выглядит как квадратный конус. Любая проективная прямая, проходящая через p, затем пересекает K с кратностью два в p и, следовательно, пересекает квартику K всего в двух других точках. Определение линий в $P 3 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$ ${\ mathbb {P}} ^ {3}$ через точку p с помощью $P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} }$ $\ mathbb {P} ^ {2}$ , мы получаем двойное покрытие от взрыва K в точке p до $P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ $\ mathbb {P} ^ {2}$ ; это двойное покрытие задается отправкой q ≠ p ↦ $pq ¯ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ overline {pq}}}$ $\ scriptstyle \ overline {pq}$ и любой строки в касательном конусе p в K самому себе. Локус разветвления двойного покрытия представляет собой плоскую кривую C степени 6, и все узлы K, которые не являются p, отображаются в узлы C.

Родом по формуле степени максимальное возможное количество узлов на шестнадцатеричной кривой получается, когда кривая представляет собой объединение $6 {\ displaystyle 6}$ $6$ строк, и в этом случае у нас есть 15 узлов. Следовательно, максимальное количество узлов в квартике равно 16, и в этом случае все они являются простыми узлами (чтобы показать, что $p {\ displaystyle p}$ $p$ - это простой проект из другого узла). Квартика, которая получает эти 16 узлов, называется квартикой Куммера, и мы сконцентрируемся на них ниже.

Поскольку $p {\ displaystyle p}$ $p$ является простым узлом, касательный конус к этой точке отображается на конус под двойной крышкой. Эта коника на самом деле касается шести прямых (без доказательства). И наоборот, учитывая конфигурацию коники и шести касательных к ней на плоскости, мы можем определить двойное покрытие плоскости, разветвленное над объединением этих 6 прямых. Это двойное покрытие может быть сопоставлено с $P 3 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$ ${\ mathbb {P}} ^ {3}$ , под картой, сдувающей двойное покрытие специального конический, и является изоморфизмом в другом месте (без доказательства).

Двойная плоскость и многообразия Куммера якобианов

Начиная с гладкой кривой $C {\ displaystyle C}$ $C$ рода 2, мы можем идентифицировать якобиан $J ac (C) {\ displaystyle Jac (C)}$ $Jac (C)$ с $P ic 2 (C) {\ displaystyle Pic ^ {2} (C)}$ $Pic ^ {2} (C)$ под карта $x ↦ x + KC {\ displaystyle x \ mapsto x + K_ {C}}$ $x \ mapsto x + K_ {C}$ . Теперь мы наблюдаем два факта. Поскольку $C {\ displaystyle C}$ $C$ является гиперэллиптической кривой, карта из симметричного произведения $S ym 2 C {\ displaystyle Sym ^ {2} C}$ $Сим ^ {2} C$ - $P ic 2 C {\ displaystyle Pic ^ {2} C}$ $Pic ^ {2} C$ , определяется как ${p, q} ↦ p + q {\ displaystyle \ {p, q \} \ mapsto p + q}$ $\ {p, q \} \ mapsto p + q$ - это преобразование графа гиперэллиптической инволюции в класс канонических делителей. Более того, каноническое отображение $C → | K C | ∗ {\ displaystyle C \ to | K_ {C} | ^ {*}}$ $C \ to | K_ {C} | ^ {*}$ - двойная обложка. Отсюда получаем двойное покрытие $K u m (C) → S y m 2 | K C | ∗ {\ displaystyle Kum (C) \ to Sym ^ {2} | K_ {C} | ^ {*}}$ $Кум (C) \ to Sym ^ {2} | K_ {C} | ^ {*}$ .

Эта двойная обложка - та, которая уже появлялась выше: 6 строк - это изображения нечетного симметричного тэта-делители на $J ac (C) {\ displaystyle Jac (C)}$ $Jac (C)$ , в то время как коника является изображением раздутого 0. Коника изоморфна канонической системы через изоморфизм $T 0 J ac (C) ≅ | K C | ∗ {\ displaystyle T_ {0} Jac (C) \ cong | K_ {C} | ^ {*}}$ $T_ {0} Jac (C) \ cong | K_ {C} | ^ {*}$ , и каждая из шести строк естественно изоморфна дуальной канонической системе $| K C | ∗ {\ displaystyle | K_ {C} | ^ {*}}$ $|K_{C}|^{*}$ посредством идентификации тета-делителей и сдвигов кривой $C {\ displaystyle C}$ $C$ . Между парами нечетных симметричных тета-дивизоров и точками 2-кручения на якобиане существует соответствие 1-1, которое определяется тем, что $(Θ + w 1) ∩ (Θ + w 2) = {w 1 - w 2, 0} {\ displaystyle (\ Theta + w_ {1}) \ cap (\ Theta + w_ {2}) = \ {w_ {1} -w_ {2}, 0 \}}$ $(\ Theta + w_ {1}) \ cap (\ Theta + w_ {2}) = \ {w_ {1} -w_ {2}, 0 \}$ , где $w 1, w 2 {\ displaystyle w_ {1}, w_ {2}}$ $w_ {1}, w_ {2}$ - точки Вейерштрасса (которые являются нечетными тета-характеристиками в этом роде 2). Следовательно, точки ветвления канонического отображения $C ↦ | K C | ∗ {\ displaystyle C \ mapsto | K_ {C} | ^ {*}}$ $C \ mapsto | K_ {C} | ^ {*}$ появляются на каждой из этих копий канонической системы как точки пересечения прямых и точки касания прямых и конический.

Наконец, поскольку мы знаем, что каждая квартика Куммера является многообразием Куммера якобиана гиперэллиптической кривой, мы показываем, как восстановить поверхность квартики Куммера непосредственно из якобиана кривой рода 2: Якобиан $C {\ displaystyle C}$ $C$ отображается в полную линейную систему $| O J a c (C) (2 Θ C) | ≅ п 2 2 - 1 {\ displaystyle | O_ {Jac (C)} (2 \ Theta _ {C}) | \ cong \ mathbb {P} ^ {2 ^ {2} -1}}$ $| O _ {{Jac (C)}} ( 2 \ Theta _ {C}) | \ cong {\ mathbb {P}} ^ {{2 ^ {2} -1}}$ (см. статью о абелевых многообразиях ). Эта карта факторизуется через многообразие Куммера как карту степени 4, которая имеет 16 узлов в изображениях точек 2-кручения на $J ac (C) {\ displaystyle Jac (C)}$ $Jac (C)$ .

Комплекс квадратичных прямых

Структура уровня 2

Конфигурация Куммера $16 6 {\ displaystyle 16_ {6}}$ $16_ {6 }$

Есть несколько важных моментов, которые связаны с геометрическим, алгебраические и комбинаторные аспекты конфигурации узлов куммеровой квартики:

Дан любой симметричный нечетный тета-делитель на $J ac (C) {\ displaystyle Jac (C)}$ $Jac (C)$ по заданным точкам ${q - w | q ∈ C} {\ displaystyle \ {q-w | q \ in C \}}$ $\ {qw | q \ in C \}$ , где w - точка Вейерштрасса на $C {\ displaystyle C}$ $C$ . Этот тета-делитель содержит шесть точек 2-кручения: $w '- w {\ displaystyle w'-w}$ $w'-w$ таких, что $w' {\ displaystyle w '}$ $w'$ является точкой Вейерштрасса.
Два нечетных тета-делителя, заданные точками Вейерштрасса $w, w ′ {\ displaystyle w, w '}$ $w,w'$ пересекаются в $0 {\ displaystyle 0 }$ ${\ displaystyle 0}$ и в $w - w ′ {\ displaystyle w-w '}$ $w-w'$ .
Перевод якобиана на две точки кручения является изоморфизмом якобиана как алгебраической поверхности, которая отображает набор 2-кручений указывает на себя.
В полной линейной системе $| 2 Θ C | {\ displaystyle | 2 \ Theta _ {C} |}$ $| 2 \ Theta _ {C} |$ на $J ac (C) {\ displaystyle Jac (C)}$ $Jac (C)$ , любой нечетный тета-делитель отображается в коника, являющаяся пересечением квартики Куммера с плоскостью. Более того, эта полная линейная система инвариантна относительно сдвигов на 2 точки кручения.

Следовательно, у нас есть конфигурация $16 {\ displaystyle 16}$ $16$ коник в $P 3 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$ ${\ mathbb {P}} ^ {3}$ ; где каждый содержит 6 узлов, причем пересечение каждых двух проходит по 2 узлам. Эта конфигурация называется $16 6 {\ displaystyle 16_ {6}}$ $16_ {6 }$ конфигурацией или конфигурацией Куммера.

The Weil Pairing

Две точки скручивания на абелево многообразие допускает симплектическую билинейную форму, называемую спариванием Вейля. В случае якобианов кривых рода два каждая нетривиальная точка 2-кручения однозначно выражается как разность между двумя из шести точек Вейерштрасса кривой. Спаривание Вейля в этом случае задается следующим образом: $⟨p 1 - p 2, p 3 - p 4⟩ = # {p 1, p 2} ∩ {p 3, p 4} {\ displaystyle \ langle p_ {1 } -p_ {2}, p_ {3} -p_ {4} \ rangle = \ # \ {p_ {1}, p_ {2} \} \ cap \ {p_ {3}, p_ {4} \}}$ $\ langle p_ {1} -p_ {2}, p_ {3} -p_ {4} \ rangle = \ # \ {p_ {1 }, p_ {2} \} \ cap \ {p_ {3}, p_ {4} \}$ . Многие теоретико-групповые инварианты группы $S p 4 (2) {\ displaystyle Sp_ {4} (2)}$ $Sp_4 (2)$ можно восстановить с помощью геометрии $16 6 { \ displaystyle 16_ {6}}$ $16_ {6 }$ конфигурация.

Теория групп, алгебра и геометрия

Ниже приводится список теоретико-групповых инвариантов и их геометрическое воплощение в конфигурации 16 6.

Ссылки

Barth, Wolf P.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М.; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Долгачев Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия. Современный взгляд, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-01765-8, MR 2964027
Hudson, RWHT (1990), поверхность Куммера четвертой степени, Кембриджская математическая библиотека, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39790-2, MR 1097176
Куммер, Эрнст Эдуард (1864), «Über die Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten», Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 246–260 Перепечатано в (1975>Kum Куммер, Эрнст Эдуард (1975), Сборник статей: Том 2: Теория функций, геометрия и разное, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0 -387-06836-7, MR 0465761
Войцеховский М.И. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press

В этой статье использованы материалы из Статья Citizendium "Kummer surface ", на которую распространяется лицензия Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, но не в соответствии с GFDL.