Гипотеза Калаби

Теорема о существовании некоторых римановых метрик на комплексные многообразия

В математике гипотеза Калаби была гипотезой о существовании некоторых «хороших» римановых метрик на некоторых комплексных многообразиях, составлено Эухенио Калаби (1954, 1957) и подтверждено Шинг-Тунг Яу (1977, 1978). Яу получил Медаль Филдса в 1982 году частично за это доказательство.

Гипотеза Калаби утверждает, что компактное кэлерово многообразие имеет единственную кэлерову метрику в том же классе, форма Риччи которой является любой заданной 2- форма, представляющая первый класс Черна. В частности, если первый класс Черна обращается в нуль, существует единственная кэлерова метрика в том же классе с исчезающей кривизной Риччи ; они называются многообразиями Калаби – Яу.

Более формально гипотеза Калаби гласит:

Если M является компактным кэлеровым многообразием с кэлеровой метрикой $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$и форма Кэлера $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, а R - любая (1,1) -форма, представляющая первого класса Черна многообразия, то существует единственная кэлерова метрика $g\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{g\}\}\}$на M с формой Кэлера $\omega \; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\}$такой, что $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$и $\omega \; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; \backslash \; omega\}\}\}$представляют тот же класс в когомологии $H\; 2\; (M,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{2\}\; (M,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$и форма Риччи из $\omega \; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; omega\}\}\}$- R.

Гипотеза Калаби - это тесно связан с вопросом о том, какие кэлеровы многообразия имеют метрики Кэлера – Эйнштейна.

• 1 Метрики Кэлера – Эйнштейна
• 2 Краткое содержание доказательство гипотезы Калаби
  • 2.1 Преобразование гипотезы Калаби к дифференциальному уравнению
  • 2.2 Единственность решения
  • 2.3 Множество F открыто
  • 2.4 Множество F замкнуто
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Гипотеза, тесно связанная с гипотезой Калаби, гласит, что если компактное кэлерово многообразие имеет отрицательный, нулевой или положительный первый класс Черна, то оно имеет метрика Кэлера – Эйнштейна в том же классе, что и ее метрика Кэлера, уникальная с точностью до изменения масштаба. Это было доказано для отрицательных первых классов Черна независимо Тьерри Обеном и Шинг-Тунг Яу в 1976 году. Когда класс Черна равен нулю, это было доказано Яу как простое следствие теории Калаби. предположение. Эти результаты никогда явно не предполагались Калаби, но следовали бы из результатов, которые он объявил в своем выступлении в 1954 году на Международном математическом конгрессе.

. Когда первый класс Черна положителен, приведенное выше предположение на самом деле неверно. следствие результата Йозо Мацусима, который показывает, что группа комплексных автоморфизмов многообразия Кэлера – Эйнштейна положительной скалярной кривизны обязательно редуктивна. Например, комплексная проективная плоскость, взорванная в 2 точках, не имеет метрики Кэлера – Эйнштейна и, следовательно, является контрпримером. Еще одна проблема, возникающая из-за сложных автоморфизмов, заключается в том, что они могут привести к отсутствию единственности для метрики Кэлера – Эйнштейна, даже если она существует. Однако сложные автоморфизмы - не единственная трудность, возникающая в положительном случае. В самом деле, Яу и др. Высказали предположение, что, когда первый класс Черна положителен, кэлерово многообразие допускает метрику Кэлера – Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно K-стабильно. Доказательство этой гипотезы было опубликовано Xiuxiong Chen, Simon Donaldson и Song Sun в январе 2015 года, а Тиан представил доказательство, опубликованное в электронном виде 16 сентября 2015 года..

С другой стороны, в частном случае комплексной размерности два, компактная комплексная поверхность с положительным первым классом Черна действительно допускает метрику Кэлера – Эйнштейна тогда и только тогда, когда ее группа автоморфизмов редуктивна. Этот важный результат часто приписывают Ган Тяню. После доказательства Тиана были задействованы некоторые упрощения и уточнения аргументов; ср. статья Odaka, Spotti и Sun, цитируемая ниже. Таким образом, комплексные поверхности, допускающие такие метрики Кэлера – Эйнштейна, являются в точности комплексной проективной плоскостью, произведением двух копий проективной прямой и раздутий проективной плоскости в 3–8 точках общего положения.

Калаби преобразовал гипотезу Калаби в нелинейное уравнение в частных производных комплексного типа Монжа – Ампера и показал, что это уравнение имеет не более одного решения, тем самым устанавливая единственность искомой кэлеровой метрики.

Яу доказал гипотезу Калаби, построив решение этого уравнения с помощью метода непрерывности. Это включает в себя сначала решение более простого уравнения, а затем демонстрацию того, что решение простого уравнения может быть непрерывно деформировано в решение жесткого уравнения. Самая сложная часть решения Яу - это доказательство некоторых априорных оценок для производных решений.

Преобразование гипотезы Калаби к дифференциальному уравнению

Предположим, что M - комплексное компактное многообразие с кэлеровой формой ω. Любая другая кэлерова форма в том же классе имеет вид

$\omega \; +\; d\; d\; \prime \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; +\; dd\; \text{'}\backslash \; phi\}$

для некоторой гладкой функции φ на M, единственной с точностью до добавления константы. Следовательно, гипотеза Калаби эквивалентна следующей задаче:

Пусть $F\; =\; ef\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; e\; ^\; \{f\}\}$- положительная гладкая функция на M со средним значением 1. Тогда существует гладкая вещественная функция φ с

$(\omega \; +\; dd\; \prime \; \varphi )\; m\; =\; ef\; \omega \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; omega\; +\; dd\; \text{'}\backslash \; phi)\; ^\; \{m\}\; =\; e\; ^\; \{f\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{\; m\}\}$

и φ уникален с точностью до константы.

Это уравнение комплексного типа Монжа – Ампера для единственной функции φ. Это особенно сложное для решения уравнение в частных производных, поскольку оно нелинейно в терминах высшего порядка. Его легко решить, когда f = 0, поскольку φ = 0 - решение. Идея метода непрерывности состоит в том, чтобы показать, что его можно решить для всех f, показав, что множество f, для которого оно может быть решено, является как открытым, так и замкнутым. Поскольку множество f, для которого оно может быть решено, непусто, а множество всех f связано, это показывает, что оно может быть решено для всех f.

Отображение гладких функций в гладкие функции, переводящие φ в F, определенное как

$F\; =\; (\omega \; +\; dd\; \prime \; \varphi )\; m\; /\; \omega \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; (\backslash \; omega\; +\; dd\; \text{'}\backslash \; phi)\; ^\; \{m\}\; /\; \backslash \; omega\; ^\; \{m\}\}$

не является ни инъективным, ни сюръективным. Это не инъективно, потому что добавление константы к φ не изменяет F, и не сюръективно, потому что F должно быть положительным и иметь среднее значение 1. Таким образом, мы рассматриваем отображение, ограниченное функциями φ, которые нормализованы до среднего значения 0, и спросите, является ли эта карта изоморфизмом на множество положительных $F\; =\; ef\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; e\; ^\; \{f\}\}$со средним значением 1. Калаби и Яу доказали, что это действительно изоморфизм. Это делается в несколько шагов, описанных ниже.

Единственность решения

Для доказательства уникальности решения необходимо показать, что если

$(\omega \; +\; dd\; \prime \; \phi \; 1)\; m\; =\; (\omega \; +\; dd\; \prime \; \phi \; 2)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; omega\; +\; dd\; \text{'}\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; ^\; \{m\}\; =\; (\backslash \; omega\; +\; dd\text{'}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\})\; ^\; \{m\}\}$

, затем φ 1 и φ 2 отличаются на константу (поэтому они должны быть одинаковыми, если они оба нормализованы для получения среднего значения 0). Калаби доказал это, показав, что среднее значение

$|\; d\; (\phi \; 1\; -\; \phi \; 2)\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; d\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\})\; |\; ^\; \{2\}\}$

задается выражением, которое не больше 0. Поскольку оно, очевидно, не меньше 0, оно должно быть 0, поэтому

$d\; (\phi \; 1\; -\; \phi \; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\})\; =\; 0\}$

, что, в свою очередь, вынуждает φ 1 и φ 2 отличаться на константу.

Множество F открыто

Доказательство того, что множество возможных F открыто (в множестве сглаженных функций со средним значением 1), включает демонстрацию того, что, если возможно решить уравнение для некоторого F, то его можно решить для всех достаточно близких F. Калаби доказал это, используя теорему о неявной функции для банаховых пространств : чтобы применить это, Шаг состоит в том, чтобы показать, что линеаризация описанного выше дифференциального оператора обратима.

Множество F замкнуто

Это самая сложная часть доказательства, которую выполнил Яу. Предположим, что F находится в замыкании образа возможных функций φ. Это означает, что существует последовательность функций φ 1, φ 2,... такая, что соответствующие функции F 1, F 2, ​​... сходятся к F, и задача состоит в том, чтобы показать, что некоторая подпоследовательность функций φs сходится к решению φ. Для этого Яу находит некоторые априорные границы для функций φ i и их старших производных в терминах старших производных от log (f i). Для нахождения этих границ требуется длинная последовательность жестких оценок, каждая из которых немного лучше предыдущей. Полученных Яу оценок достаточно, чтобы показать, что все функции φ i лежат в компактном подмножестве подходящего банахова пространства функций, так что можно найти сходящуюся подпоследовательность. Эта подпоследовательность сходится к функции φ с изображением F, что показывает, что множество возможных изображений F замкнуто.

• Тьерри Обен, Нелинейный анализ многообразий, уравнения Монжа – Ампера ISBN 0-387-90704-1 Это дает доказательство гипотеза Калаби и результаты Обена о метриках Кэлера – Эйнштейна.
• Бургиньон, Жан-Пьер (1979), «Premières formes de Chern des Varétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et ST Yau]», Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78), Lecture Notes in Math., 710, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 1–21, doi : 10.1007 / BFb0069970, ISBN 978-3-540-09243-8, MR 0554212 Это дает обзор работы Обена и Яу.
• Calabi, Eugenio (1954), «Пространство кэлеровских метрик», Proc. Междунар. Congress Math. Амстердам, 2, стр. 206–207, заархивировано из оригинала (PDF) 17.07.2011, извлечено 30.01.2011
• Эудженио Калаби, Пространство кэлеровых метрик, Труды Международного конгресса математиков 1954 г., том II, стр. 206-7, EP Noordhoff, Groningen, 1956.
• Calabi, Eugenio (1957), «О кэлеровых многообразиях с исчезающим каноническим классом», в Fox, Ralph H.; Spencer, D.C.; Такер А. В. (ред.), Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца, Princeton Mathematical Series, 12, Princeton University Press, стр. 78–89, MR 0085583
• Chen, Xiuxiong; Дональдсон, Саймон ; Солнце, Песня (2013). «Метрики Келера – Эйнштейна и устойчивость». Уведомления о международных исследованиях в области математики. 2014 (8): 2119–2125. arXiv : 1210.7494. doi : 10.1093 / imrn / rns279. MR 3194014.
• Компактные многообразия Доминика Д. Джойса со специальной голономией (Оксфордские математические монографии) ISBN 0-19-850601-5 Это упрощенное доказательство гипотезы Калаби.
• Matsushima, Yozô (1957). "Sur la structure du groupe d'homéomorphismes analytiques d'une suree Variété kählérienne". Нагойский математический журнал. 11 : 145–150. doi : 10.1017 / s0027763000002026. MR 0094478.
• Y. Одака, С. Спотти, С. Сан, Компактные пространства модулей поверхностей дель Пеццо и метрики Кэлера-Эйнштейна. J. Differential Geom. 102 (2016), вып. 1, 127–172.
• Тиан, Ган (1990). «О гипотезе Калаби для комплексных поверхностей с положительным первым классом Черна». Математические изобретения. 101 (1): 101–172. Bibcode : 1990InMat.101..101T. doi : 10.1007 / bf01231499. MR 1055713.
• Яу, Шинг Тунг (1977), «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии», Труды Национальная академия наук Соединенных Штатов Америки, 74(5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS... 74.1798Y, doi : 10.1073 / pnas.74.5.1798, ISSN 0027-8424, MR 0451180, PMC 431004, PMID 16592394
• Яу, Шинг Тунг (1978), «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа – Ампера. I», Сообщения по чистой и прикладной математике, 31(3): 339–411, doi : 10.1002 / cpa.3160310304, MR 0480350

• Яу, Шинг Тунг (2009), «Многообразие Калаби-Яу», Scholarpedia, 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ... 4.6524Y, doi : 10.4249 / scholarpedia.6524