Уравнение Монжа – Ампера

В математике (действительное) уравнение Монжа – Ампера - это нелинейное уравнение в частных производных второго порядка специального вида. Уравнение второго порядка для неизвестной функции у двух переменных х, у имеет тип Монжа-Ампера, если оно линейно в определителе из матрицы Гессе из U и в второго порядка в частных производных по ц. Независимые переменные ( х, у) изменяются в течение заданного домена D из R ². Этот термин также применяется к аналогичным уравнениям с n независимыми переменными. Наиболее полные результаты пока получены, когда уравнение является эллиптическим.

Уравнения Монжа – Ампера часто возникают в дифференциальной геометрии, например, в задачах Вейля и Минковского в дифференциальной геометрии поверхностей. Впервые они были изучены Гаспаром Монжем в 1784 году, а затем Андре-Мари Ампером в 1820 году. Важные результаты в теории уравнений Монжа – Ампера были получены Сергеем Бернштейном, Алексеем Погореловым, Шарлем Фефферманом и Луи Ниренбергом. Совсем недавно в 2018 году Алессио Фигалли получил медаль Филдса за работу, частично связанную с регулярностью уравнения Монжа – Ампера.

• 1 Описание
• 2 Теорема Реллиха
• 3 Результаты эллиптичности
• 4 Приложения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительные ссылки
• 8 Внешние ссылки

Для двух независимых переменных x и y и одной зависимой переменной u общее уравнение Монжа – Ампера имеет вид

${\ displaystyle L [u] = A \, {\ text {det}} (\ nabla ^ {2} u) + B \ Delta u + 2Cu_ {xy} + (DB) u_ {yy} + E = A ( u_ {xx} u_ {yy} -u_ {xy} ^ {2}) + Bu_ {xx} + 2Cu_ {xy} + Du_ {yy} + E = 0,}$

где A, B, C, D и E - функции, зависящие только от переменных первого порядка x, y, u, u x и u y.

Пусть Ω - ограниченная область в R ³, и предположим, что на Ω A, B, C, D и E являются непрерывными функциями только от x и y. Рассмотрим задачу Дирихле, чтобы найти u так, чтобы

${\ displaystyle L [u] = 0, \ quad {\ text {on}} \ \ Omega}$

${\ Displaystyle и | _ {\ partial \ Omega} = г.}$

Если

${\ displaystyle BD-C ^ {2} -AEgt; 0,}$

то проблема Дирихле имеет не более двух решений.

Предположим теперь, что x - переменная со значениями в области в R ⁿ, а f ( x, u, Du) - положительная функция. Тогда уравнение Монжа – Ампера

${\ displaystyle L [u] = \ det D ^ {2} uf (\ mathbf {x}, u, Du) = 0 \ qquad \ qquad (1)}$

является нелинейным эллиптическим уравнением в частных производных (в том смысле, что его линеаризация является эллиптической), если ограничить внимание выпуклыми решениями.

Соответственно, оператор L удовлетворяет вариантам принципа максимума, и, в частности, решения задачи Дирихле единственны, если они существуют.

Уравнения Монжа – Ампера естественным образом возникают в нескольких задачах римановой геометрии, конформной геометрии и CR-геометрии. Одно из самых простых приложений - проблема заданной гауссовой кривизны. Предположим, что действительная функция K задана в области Ω в R ⁿ, задача заданной кривизны Гаусса стремится идентифицировать гиперповерхность R ^{n +1} как граф z = u ( x) над x ∈ Ω, так что at кривизна Гаусса каждой точки поверхности задается K ( x). Получающееся уравнение в частных производных имеет вид

${\ displaystyle \ det D ^ {2} uK (\ mathbf {x}) (1+ | Du | ^ {2}) ^ {(n + 2) / 2} = 0.}$

Уравнения Монжа – Ампера связаны с задачей оптимального массового транспорта Монжа – Канторовича, когда «стоимостной функционал» в ней задается евклидовым расстоянием.

• Комплексное уравнение Монжа – Ампера.

1. ^ Монж, Гаспар (1784). "Mémoire sur le Calcul intégral des équations aux différences partielles". Mémoires de l'Académie des Sciences. Париж, Франция: Imprimerie Royale. С. 118–192.
2. ^ Ампер, Андре-Мари (1819). Mémoire contenant l'application de la theorie Expée dans le XVII. e Cahier du Journal de l'École polytechnique, à l'intégration des équations aux différentielles partielles du premier et du second ordre. Париж: Королевская империя. Проверено 29 июня 2017.
3. ^ Де Филиппис, Гвидо; Фигалли, Алессио (30.11.2011). "$ W ^ {2,1} $ регулярность решений уравнения Монжа-Ампера". Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
4. ^ Курант, R.; Гильберт, Д. (1962). Методы математической физики. 2. Издатели Interscience. п. 324.
5. ^ Бенаму, Жан Давид; Ян Бренье (2000). "Вычислительная механика жидкости решение проблемы массопереноса Монжа-Канторовича". Numerische Mathematik. 84 (3): 375–393. DOI : 10.1007 / s002110050002.

• Гилбарг, Д., Трудингер, Н.С. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Берлин: Springer-Verlag, 1983. ISBN   3-540-41160-7 ISBN   978-3540411604
• А.В. Погорелов (2001) [1994], "Уравнение Монжа – Ампера", Энциклопедия математики, EMS Press

• Вайсштейн, Эрик В. "Дифференциальное уравнение Монжа-Ампера". MathWorld.