Войти
Алексей Васильевич Погорелов (Русский : Алексе́й Васи́льевич Погоре́лов, украинец : Олексі́й Васильович Погорєлов; 2 марта 1919 - 17 декабря 2002), был советским и украинским математиком. Специалист в области выпуклой и дифференциальной геометрии, геометрической ДЧП и теории упругих оболочек, автор нового школьного учебника геометрии и университетских учебников по аналитической геометрии., по дифференциальной геометрии и по основам геометрии.
Теорема единственности Погорелова и теорема Александрова – Погорелова названы его именем.
Родился 3 марта 1919 года в Короча, Курской губернии (ныне Белгородская область ) в крестьянской семье. В 1931 году из-за коллективизации родители А.В. Погорелов сбежал из села в Харьков, где его отец стал рабочим на строительстве Харьковского тракторного завода. В 1935 году А.В. Погорелов занял первое место на математической олимпиаде в Харьковском государственном университете. После окончания средней школы в 1937 году он поступил на математический факультет Харьковского государственного университета. Он был лучшим студентом кафедры.
В 1941 году, после вовлечения Советского Союза во Вторую мировую войну, Алексей Васильевич был направлен на 11 месяцев учебы в Военно-воздушную инженерную академию имени Н.Я. Жуковского. Во время учебы студентов периодически на несколько месяцев отправляли на фронт в качестве техников по обслуживанию самолетов. После Победы Красной Армии над фашистами под Москвой обучение продолжалось в течение полного срока. После окончания академии работал в Центральном аэрогидродинамическом институте им. Н.Ю. Жуковского (ЦАГИ) инженером-конструктором. Желание получить высшее образование и професионально заняться геометрией привело А.В. Погорелова в МГУ. По рекомендации I.G. Петровский (декан механико-математического факультета) и известный геометр В.Ф. Каган Алексей Васильевич познакомился с г. Александров - основоположник теории негладких выпуклых поверхностей. По этой теории возникло много новых вопросов. На один из них Александр Данилович предложил дать ответ А.В. Погорелов. Через год проблема была решена и А.В. Погорелов был зачислен в аспирантуру механико-математического факультета МГУ. Николай Ефимов стал его научным руководителем по вопросам теории Александрова. После защиты доктора философии Защитив диссертацию в 1947 году, он был демобилизован и переехал в Харьков, где начал работать в Институте математики Харьковского государственного университета и на геометрическом факультете университета. В 1948 г. защитил докторскую диссертацию. В 1951 г. он стал членом-корреспондентом АН Украины, в 1960 г. стал членом-корреспондентом АН СССР (Отделение физико-математических наук). В 1961 г. стал академиком АН Украины. В 1976 году он стал академиком АН СССР по отделению математики. С 1950 по 1960 год он был заведующим кафедрой геометрии Харьковского государственного университета. С 1960 по 2000 гг. - заведующий отделом геометрии Физико-технического института низких температур им. В.И. Веркина НАН Украины.
С 2000 года жил в Москве, работал в Математическом институте им. В.А. Стеклова.
Умер 17 декабря 2002 г., похоронен в Москве на Николо-Архангельском кладбище.
В 2015 году одной из улиц Харькова присвоено имя академика А.В. Погорелов.
В 2007 году Национальная академия наук Украины учредила Премию Погорелова за достижения в области геометрии и топологии.
Один из астероидов назван в честь А.В. Погорелов: [фр ].
К началу ХХ века были разработаны методы решения локальных задач, связанных с регулярными поверхностями. К 30-м годам были разработаны методы решения задач по геометрии «в целом». Эти методы были связаны в основном с теорией уравнений в частных производных. Математики были беспомощны, когда поверхности были негладкими (например, с коническими точками, ребристыми точками и т. Д.) И когда внутренняя геометрия задавалась не гладкой положительно определенной квадратичной формой, а просто метрическим пространством довольно общего вида.. Прорыв в изучении негладких метрик и негладких поверхностей сделал выдающийся геометр А.Д.Александров. Он разработал теорию метрических пространств неотрицательной кривизны, так называемых метрических пространств Александрова. Как частный случай, теория охватывала внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей, то есть границ выпуклых тел. Александров изучал связи между внутренней и внешней геометриями общих выпуклых поверхностей. Он доказал, что каждая метрика неотрицательной кривизны, заданная на двумерной сфере (включая негладкие метрики, так называемые внутренние метрики), может быть изометрически погружена в трехмерное евклидово пространство в виде замкнутой выпуклой поверхности, но ответы на следующие фундаментальные вопросы были неизвестны:
После решения этих задач теория, созданная Александровым, получила бы «полное гражданство» в математике и могла бы применяться также в классической обычный случай. На каждый из этих трех вопросов А.В. Погорелов. Используя синтетические геометрические методы, он разработал геометрические методы для получения априорных оценок решений уравнений Монжа-Ампера. С одной стороны, он использовал эти уравнения для решения геометрических задач; с другой стороны, исходя из геометрических соображений, он построил обобщенное решение уравнения Монжа-Ампера, а затем доказал его регулярность для регулярной правой части уравнения. По сути, в этих новаторских работах А.В. Погорелов заложил основы области геометрического анализа. Он доказал следующие фундаментальные результаты:
Для областей на выпуклых поверхностях утверждения 1) и 2) неверны. Локальные и глобальные свойства поверхностей существенно различаются. Доказывая утверждение 1) А.В. Погорелов завершил решение проблемы, открытой более века. Первый результат в этом направлении был получен Коши для замкнутых выпуклых многогранников в 1813 году.
Доказанные Погореловым теоремы легли в основу его нелинейной теории тонких оболочек. Эта теория касается тех упругих состояний оболочки, которые существенно отличаются от первоначальной формы. При таких деформациях средняя поверхность тонкой оболочки изгибается с сохранением метрики. Это позволяет с помощью теорем, доказанных Погореловым для выпуклых поверхностей, исследовать потерю устойчивости и сверхкритическое упругое состояние выпуклых оболочек при заданной деформации. Такие ракушки - самые распространенные элементы современного дизайна.
Результаты 1) и 2) были обобщены для регулярных поверхностей в римановом пространстве. Кроме того, была решена проблема Вейля для риманова пространства: было доказано, что регулярная метрика гауссовой кривизны, превышающая некоторую константу c на двумерной сфере, может быть изометрически погружена в полное трехмерное риманово пространство кривизны
Замкнутая выпуклая гиперповерхность однозначно определяется не только метрикой, но и гауссовой кривизной как функция единичных нормалей. Более того, гиперповерхность определяется однозначно с точностью до параллельного переноса. Это доказал Г. Минковский. Но является ли гиперповерхность регулярной при условии, что гауссова кривизна K (n) является регулярной функцией единичной нормали? Погорелов доказал, что если положительная функция K (n) принадлежит классу С, k≥3, то опорная функция будет иметь класс регулярности С, 0 Самой сложной частью доказательства теоремы было получение априорных оценок для производных функции поддержки гиперповерхности до третьего порядка включительно. Методом априорных оценок Погорелова пользовался С.-Т. Яу для получения априорных оценок решений комплексных уравнений Монжа-Ампера. Это был главный шаг в доказательстве существования многообразий Калаби-Яо, играющих важную роль в теоретической физике. Уравнение Монжа-Ампера имеет вид Априорные оценки в задаче Минковского являются априорными для решения уравнения Монжа-Ампера с функцией В то время не было подхода к изучению этого полностью нелинейного уравнения. А. В. Погорелов создал теорию уравнения Монжа-Ампера геометрическими методами. Сначала, переходя от многогранников, он доказал существование обобщенных решений при естественных условиях в правой части. После этого он нашел априорные оценки производных до третьего порядка включительно для регулярных решений. Используя априорные оценки, он доказал регулярность строго выпуклых решений, существование решений задачи Дирихле и их регулярность. Уравнение Монжа-Ампера является важным компонентом транспортной задачи Монжа-Канторовича; он используется в конформной, аффинной, кэлеровской геометриях, в метеорологии и финансовой математике. СРЕДНИЙ. Погорелов однажды сказал об уравнении Монжа-Ампера: это великое уравнение, с которым я имел честь работать. Одна из наиболее концептуальных работ А.В. Погорелова относится к циклу работ о гладких поверхностях ограниченных внешняя кривизна. А.Д. Александров создал теорию общих метрических многообразий, естественным образом обобщающих римановы многообразия. В частности, он ввел класс двумерных многообразий ограниченной кривизны. Они исчерпывают класс всех метризованных двумерных многообразий, допускающих в окрестности каждой точки равномерную аппроксимацию римановыми метриками с абсолютной интегральной кривизной (т.е. интегралом модуля гауссовой кривизны), ограниченными в совокупности. Естественно, возник вопрос о классе поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, несущих такую метрику, с сохранением связей между метрикой и внешней геометрией поверхности. Частично отвечая на этот вопрос, А.В. Погорелов ввел класс С-гладких поверхностей с требованием ограниченности площади сферического изображения с учетом кратности покрытия в некоторой окрестности каждой точки поверхности. Такие поверхности называются поверхностями ограниченной внешней кривизны. Для таких поверхностей существует также очень тесная связь между внутренней геометрией поверхности и ее внешней формой: полная поверхность с ограниченной внешней кривизной и неотрицательной внутренней кривизной (не равной нулю) является либо замкнутая выпуклая поверхность или неограниченная выпуклая поверхность; полная поверхность с нулевой внутренней кривизной и ограниченной внешней кривизной является цилиндром. Первая работа А.В. Погорелова о поверхностях ограниченной внешней кривизны была опубликована в 1953 году. В 1954 году Дж. Нэш опубликовал статью о С-изометрических погружениях, которая была усовершенствована Н. Койпером в 1955 году. из этих исследований видно, что риманова метрика, определенная на двумерном многообразии, при очень общих предположениях допускает реализацию на С-гладкой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Причем эта реализация осуществляется так же свободно, как топологическое погружение в пространство многообразия, на котором задана метрика. Отсюда ясно, что для С-поверхностей даже при хорошей внутренней метрике невозможно сохранить связь между внутренней и внешней кривизнами. Даже в том случае, если С-поверхность имеет регулярную метрику положительной гауссовой кривизны, то это не означает локальной выпуклости поверхности. Это подчеркивает естественность класса поверхностей ограниченной внешней кривизны, введенного А. В. Погореловым. А. В. Погорелов решил четвертую проблему Гильберта, поставленную Д. Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Он нашел все, с точностью до изоморфизма, реализации систем аксиом классической геометрии (Евклид, Лобачевского и эллиптического), если опустить аксиомы сравнения, содержащие понятие угла, и дополнить эти системы аксиомой «неравенства треугольника». А. В. Погорелов одним из первых предложил (в 1970 г.) новую идею построения криотурбогенератора со сверхпроводящей обмоткой возбуждения и принял активное участие в технических расчетах и создании соответствующих промышленных образцов.Избранные публикацииСм. ТакжеСсылкиВнешние ссылки
