Луи Ниренберг | |
---|---|
Луи Ниренберг в 1975 году | |
Родился | ( 1925-02-28)28 февраля 1925 г. Гамильтон, Онтарио, Канада |
Умер | 26 января 2020 г. (2020-01-26)(94 года) Манхэттен, Нью-Йорк, США |
Гражданство | Канадский и американский |
Альма-матер | Университет Макгилла (бакалавр, 1945) Нью-Йоркский университет (доктор философии, 1950) |
Известен | Уравнения с частными производными Интерполяционное неравенство Гальярдо – Ниренберга Неравенство Гальярдо – Ниренберга – Соболева Ограниченное среднее колебание (пространство Джона – Ниренберга) Гипотеза Ниренберга |
Награды | Мемориальная премия Бохера (1959) Премия Крафорда (1982) Премия Стила (1994, 2014) Национальная медаль науки (1995) Медаль Черна (2010) Премия Абеля по математике (2015) |
Научная карьера | |
Поля | Математика |
Учреждения | Нью-Йоркский университет |
Тезис | Определение замкнутой выпуклой поверхности с заданными линейными элементами (1949 г.) |
Докторант | Джеймс Стокер |
Докторанты | |
Примечания | |
Курантский институт математических наук |
Луи Ниренберг (28 февраля 1925 - 26 января 2020) был канадско-американским математиком, считавшимся одним из самых выдающихся математиков 20-го века.
Почти вся его работа была в области дифференциальных уравнений в частных производных. Многие из его работ теперь считаются фундаментальными для данной области, например, его доказательство сильного принципа максимума для параболических уравнений в частных производных второго порядка. Он считается одной из основополагающих фигур в области геометрического анализа, многие из его работ тесно связаны с изучением комплексного анализа и дифференциальной геометрии.
Он особенно известен своим сотрудничеством со Шмуэлем Агмоном и Авроном Дуглисом, в котором они расширили теорию Шаудера, как ранее понималось для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, на общую постановку эллиптических систем. Вместе с Базилисом Гидасом и Вей-Мином Ни он новаторски применил принцип максимума для доказательства симметрии многих решений дифференциальных уравнений. Изучение функционального пространства BMO было начато Ниренбергом и Фрицем Джоном в 1961 году; Хотя первоначально он был введен Джоном при изучении эластичных материалов, он также применялся в азартных играх, известных как мартингалы. Его 1982 работы с Луисом Каффарелл и Роберт Кон была описана Фефферманом в 2002 году как «о самом лучшем, что было сделано» по проблеме премии тысячелетия от Навьего-Стокса существования и гладкости в области математической механики жидкости.
Другие достижения включают разрешение проблемы Минковского в двух измерениях, то неравенство интерполяции Гальярдо-Ниренберга, то теорему Ньюлендера-Ниренберга в сложной геометрии, а также развитие псевдо-дифференциальных операторов с Joseph Кона.
Ниренберг родился в Гамильтоне, Онтарио для украинских еврейских иммигрантов. Он присутствовал барон Бинг средней школы и университета Макгилла, завершая его BS в обоих математике и физике в 1945. Через летнюю работу в Национальный исследовательский совет Канады, он узнал, Эрнест Куранта «s жена Сара Пол. Она поговорила с отцом Куранта, выдающимся математиком Ричардом Курантом, за советом о том, куда Ниренбергу следует обратиться для изучения теоретической физики. После их обсуждения Ниренберга пригласили поступить в аспирантуру Института математических наук Куранта при Нью-Йоркском университете. В 1949 году он получил докторскую степень по математике под руководством Джеймса Стокера. В своей докторской работе он решил «проблему Вейля» в дифференциальной геометрии, которая была широко известной открытой проблемой с 1916 года.
Получив докторскую степень, он стал профессором Института Куранта, где оставался до конца своей карьеры. Он был консультантом 45 кандидатов наук. студентов, и опубликовал более 150 статей с рядом соавторов, в том числе заметное сотрудничество с Анри Берестицким, Хаймом Брезисом, Луисом Каффарелли и Яньяном Ли, среди многих других. Он продолжал заниматься математическими исследованиями до 87 лет. 26 января 2020 года Ниренберг скончался в возрасте 94 лет.
Доктор философии Ниренберга. тезис предоставил разрешение проблемы Вейля и задачи Минковского в дифференциальной геометрии. Первый требует существования изометрических вложений положительно искривленной римановой метрики на двумерной сфере в трехмерное евклидово пространство, а второй требует замкнутых поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве заданной гауссовой кривизны. Стандартный в настоящее время подход к этим проблемам основан на теории уравнения Монжа-Ампера, которое является полностью нелинейным эллиптическим уравнением в частных производных. Ниренберг внес новый вклад в теорию таких уравнений в контексте двумерных областей, опираясь на более раннюю работу Чарльза Морри 1938 года. Работа Ниренберга по проблеме Минковского была значительно расширена Алексеем Погореловым, Шиу-Юэн Ченгом, Шинг-Тунг Яу и другими авторами. В отдельном вкладе в дифференциальную геометрию Ниренберг и Филип Хартман охарактеризовали цилиндры в евклидовом пространстве как единственные полные гиперповерхности, которые по своей сути плоские.
В том же году, когда он решил проблемы Вейля и Минковского, Ниренберг внес важный вклад в понимание принципа максимума, доказав сильный принцип максимума для параболических уравнений в частных производных второго порядка. Сейчас это считается одним из самых фундаментальных результатов в данной ситуации.
Самая известная работа Ниренберга 1950-х годов посвящена «эллиптической регулярности». Вместе с Авроном Дуглисом Ниренберг распространил оценки Шаудера, открытые в 1930-х годах в контексте эллиптических уравнений второго порядка, на общие эллиптические системы произвольного порядка. В сотрудничестве с Дуглисом и Шмуэлем Агмоном Ниренберг расширил эти оценки до границы. Вместе с Морри Ниренберг доказал, что решения эллиптических систем с аналитическими коэффициентами сами по себе аналитичны, распространяясь на границы ранее известной работы. Эти вклады в эллиптическую регулярность теперь рассматриваются как часть «стандартного пакета» информации и рассматриваются во многих учебниках. В частности, оценки Дуглиса-Ниренберга и Агмона-Дуглиса-Ниренберга являются одними из наиболее широко используемых инструментов в эллиптических уравнениях с частными производными.
В 1957 году, отвечая на вопрос, заданный Ниренбергу Шиинг-Шеном Черном и Андре Вейлем, Ниренберг и его докторант Август Ньюландер доказали то, что теперь известно как теорема Ньюлендера-Ниренберга, которая обеспечивает точное условие, при котором почти сложная структура возникает из голоморфный координатный атлас. Теорема Ньюлендера-Ниренберга теперь рассматривается как основополагающий результат в сложной геометрии, хотя сам результат гораздо лучше известен, чем доказательство, которое обычно не рассматривается во вводных текстах, поскольку оно опирается на продвинутые методы в уравнениях в частных производных.
В своем обзоре эллиптических дифференциальных уравнений 1959 года Ниренберг доказал (независимо от Эмилио Гальярдо) то, что теперь известно как интерполяционные неравенства Гальярдо-Ниренберга для пространств Соболева. Более поздняя работа Ниренберга в 1966 г. прояснила возможные показатели, которые могут появляться в этих неравенствах. В более поздних работах других авторов неравенства Гальярдо-Ниренберга были распространены на дробные пространства Соболева.
Сразу после того, как Фриц Джон ввел функциональное пространство BMO в теорию упругости, Джон и Ниренберг провели дальнейшее исследование этого пространства с конкретным функциональным неравенством, теперь известным как неравенство Джона-Ниренберга, которое стало основным в теории упругости. область гармонического анализа. Он характеризует, насколько быстро функция BMO отклоняется от среднего значения; доказательство представляет собой классическое приложение разложения Кальдерона-Зигмунда.
Ниренберг и Франсуа Трев исследовали знаменитый пример Леви для неразрешимого линейного уравнения в частных производных второго порядка и обнаружили условия, при которых он разрешим, в контексте как операторов в частных производных, так и псевдодифференциальных операторов. Введение ими условий локальной разрешимости с аналитическими коэффициентами стало предметом внимания таких исследователей, как Р. Билс, К. Фефферман, Р. Д. Мойер, Ларс Хёрмандер и Нильс Денкер, которые решили псевдодифференциальное условие для уравнения Леви. Это открыло новые возможности для локальной разрешимости линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Ниренберг и Дж. Дж. Кон, следуя более ранней работе Кона, изучили ∂- задачу Неймана на псевдовыпуклых областях и продемонстрировали связь теории регулярности с существованием субэллиптических оценок для оператора ∂.
Агмон и Ниренберг провели обширное исследование обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, связав асимптотические представления и поведение решений на бесконечности с ними.
для спектральных свойств оператора А. Приложения включают изучение довольно общих параболических и эллиптико-параболических задач.
В 1960-х годах А.Д. Александров представил изящный метод отражения «скользящей плоскости», который он использовал для применения принципа максимума при доказательстве того, что единственная замкнутая гиперповерхность евклидова пространства, имеющая постоянную среднюю кривизну, - это круглая сфера. В сотрудничестве с Базилисом Гидасом и Вей-Мином Ни Ниренберг провел обширное исследование того, как этот метод применяется для доказательства симметрии решений некоторых симметричных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка. Примерный результат: если u - положительная функция на шаре с нулевыми граничными данными и с Δ u + f ( u) = 0 внутри шара, то u является вращательно-симметричным. В более поздней статье 1981 года они распространили эту работу на симметричные эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка на всех ℝ n. Эти две статьи являются одними из наиболее цитируемых Ниренберга благодаря гибкости их методик и соответствующей общности их результатов. Благодаря результатам Гидаса, Ни и Ниренберга во многих случаях, представляющих геометрический или физический интерес, достаточно изучать обыкновенные дифференциальные уравнения, а не уравнения в частных производных. Возникшие проблемы были подняты в ряде влиятельных работ Ни, Анри Берестыцкого, Пьера-Луи Лионса и других.
Ниренберг и Чарльз Лёвнер изучали способы естественного сопоставления полной римановой метрики ограниченным открытым подмножествам евклидова пространства, смоделированного на классическом сопоставлении гиперболического пространства единичному шару, с помощью модели единичного шара. Они показали, что если Ω является ограниченным открытым подмножеством ℝ 2 с гладким и строго выпуклой границей, то уравнение Монжа-Ампер
имеет единственное гладкое отрицательное решение, непрерывно продолжающееся до нуля на границе ∂ Ω. Геометрический смысл этого результата состоит в том, что 1/- тыТогда D 2u определяет полную риманову метику на Ω. В частном случае, когда Ω - шар, это восстанавливает гиперболическую метрику. Лёвнер и Ниренберг также изучали метод конформной деформации с помощью уравнения Ямабе
для постоянной c. Они показали, что для некоторого Ω это уравнение Ямабе имеет единственное решение, расходящееся до бесконечности на границе. Геометрический смысл такого решения состоит в том, что u 2 / ( n - 2)g Euc тогда является полной римановой метрикой на Ω, имеющей постоянную скалярную кривизну.
В другой работе Хаим Брезис, Гвидо Стампаккья и Ниренберг расширили топологический принцип минимакса Кая Фана на некомпактные настройки. Брезис и Ниренберг изучали теорию возмущений нелинейных возмущений необратимых преобразований между гильбертовыми пространствами; К приложениям относятся результаты о существовании периодических решений некоторых полулинейных волновых уравнений.
Луис Каффарелли, Роберт Кон и Ниренберг изучили трехмерные несжимаемые уравнения Навье-Стокса, показав, что набор точек пространства-времени, в которых слабые решения не дифференцируются, должен, грубо говоря, занимать меньше места, чем кривая. Это известно как результат «частичной регулярности». В своем описании предположительной регулярности уравнений Навьего-Стокс в качестве задачи на премии тысячелетия, Фефферман относится к результату Caffarelli-Кон-Ниренберг в качестве «наилучшей теоремы частичной регулярности известной до сих пор» по этой проблеме. В качестве побочного продукта своей работы над уравнениями Навье-Стокса Каффарелли, Кон и Ниренберг (в отдельной статье) расширили более раннюю работу Ниренберга по интерполяционному неравенству Гальярдо-Ниренберга до определенных весовых норм.
В 1977 году Шиу-Юэн Ченг и Шинг-Тунг Яу разрешили внутреннюю регулярность уравнения Монжа-Ампера, показав, в частности, что если правая часть гладкая, то и решение должно быть гладким. В 1984 году Каффарелли, Джоэл Спрук и Ниренберг использовали различные методы для распространения результатов Ченга и Яу на случай граничной регулярности. Они смогли расширить свое исследование до более общего класса полностью нелинейных эллиптических уравнений в частных производных, в которых решения определяются алгебраическими соотношениями на собственные значения матрицы вторых производных. Вместе с Дж. Дж. Коном они также нашли аналогичные результаты при постановке комплексного уравнения Монжа-Ампера.
В одной из наиболее цитируемых работ Ниренберга он и Брезис изучали проблему Дирихле для уравнений типа Ямабе на евклидовых пространствах, следуя части работ Тьерри Обена по проблеме Ямабе.
Метод подвижной плоскости Александрова, расширенный в 1979 г. Гидасом, Ни и Ниренбергом, далее изучается в совместных работах Берестыцкого, Каффарелли и Ниренберга. Основная тема - понять, когда решение Δ u + f ( u) = 0 с данными Дирихле на цилиндре обязательно наследует цилиндрическую симметрию.
В 1991 году Брезис и Ниренберг применили вариационный принцип Экланда, чтобы расширить лемму о горном перевале. В 1993 году они внесли фундаментальный вклад в теорию критических точек, показав (с некоторыми контекстными предположениями), что локальный минимизатор
в топологии C 1 также является локальным минимизатором в топологии W 1,2. В 1995 году они использовали теоремы плотности, чтобы расширить понятие топологической степени от непрерывных отображений до класса отображений VMO.
Вместе с Берестицким и Итало Капуццо-Дольчетта Ниренберг изучал сверхлинейные уравнения типа Ямабе, давая различные результаты о существовании и несуществовании. Их можно рассматривать как развитие фундаментальной статьи Брезиса и Ниренберга 1983 года.
В важном результате с Берестицким и Шринивасой Варадханом Ниренберг распространил классически известные результаты о первом собственном значении эллиптических операторов второго порядка на ситуации, когда граница области не дифференцируема.
В 1992 г. Берестыцкий и Ниренберг провели полное исследование существования решений в виде бегущей волны уравнений реакции-диффузии, в которых пространственная область является цилиндрической, т.е. имеет форму × Ω '.
Вместе с Яньян Ли, вдохновленный композитными материалами в теории упругости, Ниренберг изучал эллиптические системы, в которых коэффициенты непрерывны по Гёльдеру внутри, но, возможно, разрывны на границе. Их результат состоит в том, что градиент решения является непрерывным по Гёльдеру с оценкой L ∞ для градиента, которая не зависит от расстояния от границы.