Линеаризация

В математике, линеаризация находит линейное приближение к функции в заданная точка. Линейное приближение функции - это разложение Тейлора первого порядка вокруг интересующей точки. При исследовании динамических систем линеаризация - это метод оценки локальной устойчивости точки равновесия системы системы из нелинейные дифференциальные уравнения или дискретные динамические системы. Этот метод используется в таких областях, как инженерия, физика, экономика и экология.

Содержание

• 1 Линеаризация функции
• 2 Пример
• 3 Линеаризация функции многих переменных
• 4 Использование линеаризации
  • 4.1 Анализ устойчивости
  • 4.2 Микроэкономика
  • 4.3 Оптимизация
  • 4.4 Мультифизика
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки
  • 7.1 Учебные пособия по линеаризации

Линеаризация функции

Линеаризация функции - это строки - обычно строки, которые могут использоваться для расчетов. Линеаризация - эффективный метод аппроксимации вывода функции $y\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x)\}$при любом $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$на основе значения и наклона функции в $x\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; b\}$, учитывая, что $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$дифференцируемо на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$(или $[b,\; a]\; \{\backslash \; displaystyle\; [b,\; a]\}$) и что $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$близко к $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$. Короче говоря, линеаризация приближает результат функции около $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$.

Например, $4\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\}\}\; =\; 2\}$. Однако что было бы хорошим приближением $4.001\; =\; 4\; +.001\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{4.001\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; +.001\}\}\}$?

для любой данной функции $y\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x)\}$, $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$можно приблизить, если он находится рядом с известной дифференцируемой точкой. Самым основным требованием является то, что $L\; a\; (a)\; =\; f\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{a\}\; (a)\; =\; f\; (a)\}$, где $L\; a\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{a\}\; (x)\}$- это линеаризация $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$в $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$. Форма точка-наклон уравнения образует уравнение прямой с заданной точкой $(H,\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; (H,\; K)\}$и наклоном $М\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\}$. Общая форма этого уравнения: $y\; -\; K\; =\; M\; (x\; -\; H)\; \{\backslash \; displaystyle\; yK\; =\; M\; (xH)\}$.

Использование точки $(a,\; f\; (a))\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; f\; (a))\}$, $L\; a\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{a\}\; (x)\}$становится $y\; =\; f\; (a)\; +\; M\; (x\; -\; а)\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; =\; е\; (а)\; +\; М\; (ха)\}$. Поскольку дифференцируемые функции локально линейны, лучшим наклоном для замены будет наклон прямой касательной к $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$at $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$.

Хотя концепция локальной линейности наиболее применима к точкам , произвольно близким к $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$, относительно близкие значения относительно хорошо работают для линейных приближений. Наклон $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$должен быть наиболее точно наклоном касательной в точке $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$.

Визуально на прилагаемой диаграмме показана касательная к $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. В $f\; (x\; +\; h)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; h)\}$, где $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- любое небольшое положительное или отрицательное значение, $f\; (x\; +\; h)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; h)\}$очень близко к значению касательной в точке $(x\; +\; h,\; L\; (x\; +\; h))\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; h,\; L\; (x\; +\; h))\}$.

Окончательное уравнение для линеаризации функции при $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$равно:

$y\; =\; (f\; (a)\; +\; f\; \text{'}(a)\; (x\; -\; a))\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; (f\; (a)\; +\; f\text{'}\; (a)\; (xa))\}$

для $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$, $f\; (a)\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; =\; f\; (x)\}$. производная от $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$равна $f\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\}$, а наклон $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$равен $f\; \prime \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(a)\}$.

Пример

Чтобы найти $4.001\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{4.001\}\}\}$, мы можем используйте тот факт, что $4\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\}\}\; =\; 2\}$. Линеаризация $f\; (x)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\}$в $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$равно $y\; =\; a\; +\; 1\; 2\; a\; (x\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\}\}\; (xa)\}$, потому что функция $f\; \prime \; (x)\; =\; 1\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \}\}\}$определяет наклон функции $f\; (x)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\}$в $х\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Подставляя в $a\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 4\}$, линеаризация в 4 составляет $y\; =\; 2\; +\; x\; -\; 4\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x\; -4\}\; \{4\}\}\}$. В данном случае $x\; =\; 4.001\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 4.001\}$, поэтому $4.001\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{4.001\}\}\}$приблизительно равно $2\; +\; 4.001\; -\; 4\; 4\; =\; 2.00025\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4.001-4\}\; \{4\}\}\; =\; 2.00025\}$. Истинное значение близко к 2.00024998, поэтому приближение линеаризации имеет относительную ошибку менее 1 миллионной доли процента.

Линеаризация функции многих переменных

Уравнение для линеаризации функции $f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\}$в точке $p\; (a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (a,\; b)\}$равно:

$f\; (x,\; y)\; \approx \; f\; (a,\; b)\; +\; \partial \; f\; (\; x,\; y)\; \partial \; x\; |\; a,\; b\; (x\; -\; a)\; +\; \partial \; f\; (x,\; y)\; \partial \; y\; |\; a,\; б\; (Y\; -\; B)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (x,\; y)\; \backslash \; приблизительно\; f\; (a,\; b)\; +\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; (x,\; y)\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{a,\; b\}\; (xa)\; +\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; (x,\; y)\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{a,\; b\}\; (yb)\}$

общее уравнение для линеаризации функции многих переменных $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$в точке $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$:

$f\; (x)\; \approx \; f\; (p)\; +\; \nabla \; f\; |\; п\; \cdot \; (Икс\; -\; р)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\})\; \backslash \; приблизительно\; F\; (\{\backslash \; mathbf\; \{p\}\})\; +\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; nabla\; f\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\; \}\}\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\})\}$

где $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$- вектор переменных, а $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$- интересующая точка линеаризации.

Использование линеаризации

Линеаризация позволяет использовать инструменты для изучения линейных систем для анализа поведения нелинейной функции вблизи заданной точки. Линеаризация функции - это член первого порядка ее разложения Тейлора вокруг интересующей точки. Для системы, определяемой уравнением

$dxdt\; =\; F\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\}$,

линеаризованная система может быть записана как

$dxdt\; \approx \; F\; (x\; 0,\; t)\; +\; DF\; (x\; 0,\; t)\; \cdot \; (x\; -\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{\; x\}\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\},\; t)\; +\; D\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\},\; t)\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\}$

где $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\}\}$- достопримечательность, а $DF\; (x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\})\}$- якобиан из $F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$с оценкой $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\_\; \{0\}\}\}$.

Анализ стабильности

В анализе устойчивости автономных систем можно использовать собственные значения матрицы якобиана, вычисленные в точке гиперболического равновесия, чтобы определить природу этого равновесия. Это содержание теоремы о линеаризации. Для изменяющихся во времени систем линеаризация требует дополнительного обоснования.

Микроэкономика

В микроэкономике, правила принятия решений могут быть аппроксимированы пространством состояний подход к линеаризации. При таком подходе уравнения Эйлера задачи максимизации полезности линеаризуются вокруг стационарного устойчивого состояния. Затем находится уникальное решение результирующей системы динамических уравнений.

Оптимизация

В математической оптимизации функции затрат и нелинейные компоненты внутри могут быть линеаризованы по порядку применить метод линейного решения, такой как симплексный алгоритм. Оптимизированный результат достигается гораздо более эффективно и детерминирован как глобальный оптимум.

Мультифизика

В мультифизических системах - системах, включающих несколько физических полей, которые взаимодействуют друг с другом - линеаризация по отношению к каждому из физических полей. Эта линеаризация системы по отношению к каждому из полей приводит к линеаризованной монолитной системе уравнений, которую можно решить с использованием процедур монолитного итерационного решения, таких как метод Ньютона-Рафсона. Примеры этого включают сканеры МРТ, которые создают систему электромагнитных, механических и акустических полей.

См. Также

• Линейная стабильность
• Матрица касательной жесткости
• Производные по устойчивости
• Теорема линеаризации
• приближение Тейлора
• Функциональное уравнение (L-функция)

Ссылки

Внешние ссылки

Учебные пособия по линеаризации

• Линеаризация для анализа моделей и проектирования элементов управления