Правильная карта

редактировать

В математике функция между топологическими пространствами называется правильным, если обратные изображения компактных подмножеств являются компактными. В алгебраической геометрии аналогичное понятие называется собственным морфизмом.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Обобщение
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

A function $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f \ двоеточие X \ в Y$ между двумя топологическими пространствами равно правильный, если прообраз каждого компактного набора в Y является компактным в X.

Есть несколько конкурирующих описаний. Например, непрерывное отображение f является правильным, если оно замкнуто компактными слоями, т.е. если это замкнутое отображение и прообраз каждой точки в Y компактен. Два определения эквивалентны, если Y локально компактно и Хаусдорф.

Частичное доказательство эквивалентности
Пусть $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y }$ $f \ двоеточие X \ в Y$ быть замкнутой картой, такой что $f - 1 (y) {\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ $f ^ {- 1} (y)$ является компактным (в X) для всех $y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ in Y$ . Пусть $K {\ displaystyle K}$ $K$ будет компактным подмножеством $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Мы покажем, что $f - 1 (K) {\ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$ $f^{-1}(K)$ компактно. Пусть ${U λ \| λ ∈ Λ} {\ displaystyle \ {U _ {\ lambda} \ vert \ lambda \ \ in \ \ Lambda \}}$ $\ {U _ {\ lambda} \ vert \ lambda \ \ in \ \ Lambda \ }$ быть открытой крышкой $f - 1 (K) {\ displaystyle f ^ {- 1} (К)}$ $f^{-1}(K)$ . Тогда для всех $k ∈ K {\ displaystyle k \ \ in K}$ $k \ \ in K$ это также открытая обложка $f - 1 (k) {\ displaystyle f ^ {- 1} ( k)}$ $f^{-1}(k)$ . Поскольку последнее предполагается компактным, оно имеет конечное подпокрытие. Другими словами, для всех $k ∈ K {\ displaystyle k \ \ in K}$ $k \ \ in K$ существует конечное множество $γ k ⊂ Λ {\ displaystyle \ gamma _ {k} \ subset \ Lambda}$ $\ gamma_k \ subset \ Lambda$ такая, что $f - 1 (k) ⊂ ∪ λ ∈ γ k U λ {\ displaystyle f ^ {- 1} (k) \ subset \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma _ {k}} U _ {\ lambda}}$ $f ^ {- 1} (k) \ subset \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma_k} U _ {\ лямбда}$ . Множество $Икс ∖ ∪ λ ∈ γ К U λ {\ displaystyle X \ setminus \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma _ {k}} U _ {\ lambda}}$ $X \ Setminu s \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma_k} U _ {\ lambda}$ закрыто. Его образ замкнут в Y, потому что f - замкнутое отображение. Следовательно, множество $В К знак равно Y ∖ е (Икс ∖ ∪ λ ∈ γ К U λ) {\ Displaystyle V_ {k} = Y \ setminus f (X \ setminus \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma _ {k}} U _ {\ lambda})}$ $V_k = Y \ setminus f (X \ setminus \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma_k} U _ {\ lambda})$ открыт в Y. Легко проверить, что $V k {\ displaystyle V_ {k}}$ $V_ {k}$ содержит точку $к {\ displaystyle k}$ $k$ . Теперь $K ⊂ ∪ k ∈ KV k {\ displaystyle K \ subset \ cup _ {k \ in K} V_ {k}}$ $K \ subset \ cup_ {k \ in K} V_k$ , и поскольку K предполагается компактным, существует конечное число точки $k 1,…, ks {\ displaystyle k_ {1}, \ dots, k_ {s}}$ $k_1, \ dots, k_s$ такие, что $K ⊂ ∪ i = 1 s V ki {\ displaystyle K \ subset \ cup _ {i = 1} ^ {s} V_ {k_ {i}}}$ $K \ subset \ cup_ {i = 1} ^ s V_ {k_i}$ . Кроме того, набор $Γ = ∪ i = 1 s γ ki {\ displaystyle \ Gamma = \ cup _ {i = 1} ^ {s} \ gamma _ {k_ {i}}}$ $\ Gamma = \ cup_ { i = 1} ^ s \ gamma_ {k_i}$ конечное объединение конечных множеств, поэтому $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ конечно. Отсюда следует, что $f - 1 (K) ⊂ f - 1 (∪ i = 1 s V ki) ⊂ ∪ λ ∈ Γ U λ {\ displaystyle f ^ {- 1} (K) \ subset f ^ {- 1} (\ cup _ {i = 1} ^ {s} V_ {k_ {i}}) \ subset \ cup _ {\ lambda \ in \ Gamma} U _ {\ lambda}}$ $f ^ {- 1} (K) \ subset f ^ {- 1} (\ cup_ {i = 1} ^ s V_ { k_i}) \ subset \ cup _ {\ lambda \ in \ Gamma} U _ {\ lambda}$ и мы нашли конечное подпокрытие $f - 1 (K) {\ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$ $f^{-1}(K)$ , что завершает доказательство.

Частичное доказательство эквивалентности

Пусть $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y }$ $f \ двоеточие X \ в Y$ быть замкнутой картой, такой что $f - 1 (y) {\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ $f ^ {- 1} (y)$ является компактным (в X) для всех $y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ in Y$ . Пусть $K {\ displaystyle K}$ $K$ будет компактным подмножеством $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Мы покажем, что $f - 1 (K) {\ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$ $f^{-1}(K)$ компактно.

Пусть ${U λ | λ ∈ Λ} {\ displaystyle \ {U _ {\ lambda} \ vert \ lambda \ \ in \ \ Lambda \}}$ $\ {U _ {\ lambda} \ vert \ lambda \ \ in \ \ Lambda \ }$ быть открытой крышкой $f - 1 (K) {\ displaystyle f ^ {- 1} (К)}$ $f^{-1}(K)$ . Тогда для всех $k ∈ K {\ displaystyle k \ \ in K}$ $k \ \ in K$ это также открытая обложка $f - 1 (k) {\ displaystyle f ^ {- 1} ( k)}$ $f^{-1}(k)$ . Поскольку последнее предполагается компактным, оно имеет конечное подпокрытие. Другими словами, для всех $k ∈ K {\ displaystyle k \ \ in K}$ $k \ \ in K$ существует конечное множество $γ k ⊂ Λ {\ displaystyle \ gamma _ {k} \ subset \ Lambda}$ $\ gamma_k \ subset \ Lambda$ такая, что $f - 1 (k) ⊂ ∪ λ ∈ γ k U λ {\ displaystyle f ^ {- 1} (k) \ subset \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma _ {k}} U _ {\ lambda}}$ $f ^ {- 1} (k) \ subset \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma_k} U _ {\ лямбда}$ . Множество $Икс ∖ ∪ λ ∈ γ К U λ {\ displaystyle X \ setminus \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma _ {k}} U _ {\ lambda}}$ $X \ Setminu s \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma_k} U _ {\ lambda}$ закрыто. Его образ замкнут в Y, потому что f - замкнутое отображение. Следовательно, множество

$В К знак равно Y ∖ е (Икс ∖ ∪ λ ∈ γ К U λ) {\ Displaystyle V_ {k} = Y \ setminus f (X \ setminus \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma _ {k}} U _ {\ lambda})}$ $V_k = Y \ setminus f (X \ setminus \ cup _ {\ lambda \ in \ gamma_k} U _ {\ lambda})$ открыт в Y. Легко проверить, что $V k {\ displaystyle V_ {k}}$ $V_ {k}$ содержит точку $к {\ displaystyle k}$ $k$ . Теперь $K ⊂ ∪ k ∈ KV k {\ displaystyle K \ subset \ cup _ {k \ in K} V_ {k}}$ $K \ subset \ cup_ {k \ in K} V_k$ , и поскольку K предполагается компактным, существует конечное число точки $k 1,…, ks {\ displaystyle k_ {1}, \ dots, k_ {s}}$ $k_1, \ dots, k_s$ такие, что $K ⊂ ∪ i = 1 s V ki {\ displaystyle K \ subset \ cup _ {i = 1} ^ {s} V_ {k_ {i}}}$ $K \ subset \ cup_ {i = 1} ^ s V_ {k_i}$ . Кроме того, набор $Γ = ∪ i = 1 s γ ki {\ displaystyle \ Gamma = \ cup _ {i = 1} ^ {s} \ gamma _ {k_ {i}}}$ $\ Gamma = \ cup_ { i = 1} ^ s \ gamma_ {k_i}$ конечное объединение конечных множеств, поэтому $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ конечно.

Отсюда следует, что $f - 1 (K) ⊂ f - 1 (∪ i = 1 s V ki) ⊂ ∪ λ ∈ Γ U λ {\ displaystyle f ^ {- 1} (K) \ subset f ^ {- 1} (\ cup _ {i = 1} ^ {s} V_ {k_ {i}}) \ subset \ cup _ {\ lambda \ in \ Gamma} U _ {\ lambda}}$ $f ^ {- 1} (K) \ subset f ^ {- 1} (\ cup_ {i = 1} ^ s V_ { k_i}) \ subset \ cup _ {\ lambda \ in \ Gamma} U _ {\ lambda}$ и мы нашли конечное подпокрытие $f - 1 (K) {\ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$ $f^{-1}(K)$ , что завершает доказательство.

Если X хаусдорфово, а Y локально компактно хаусдорфово, то собственное эквивалентно универсально замкнутому . Карта универсально замкнута, если для любого топологического пространства Z отображение $f × id Z: X × Z → Y × Z {\ displaystyle f \ times \ operatorname {id} _ {Z} \ двоеточие X \ times Z \ до Y \ times Z}$ ${\ displaystyle f \ times \ operatorname {id} _ {Z} \ двоеточие X \ раз Z \ к Y \ times Z}$ закрыто. В случае, если $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ является Хаусдорфом, это эквивалентно требованию для любой карты $Z → Y {\ displaystyle Z \ to Y}$ ${\ displaystyle Z \ to Y}$ откат $X × YZ → Z {\ displaystyle X \ times _ {Y} Z \ to Z}$ ${\ displaystyle X \ times _ {Y} Z \ to Z}$ быть закрытым, как следует из того факта, что $X × YZ {\ displaystyle X \ times _ {Y} Z}$ ${\ displaystyle X \ times _ {Y} Z}$ - замкнутое подпространство $X × Z {\ displaystyle X \ times Z}$ ${\ displaystyle X \ times Z}$ .

Эквивалентное, возможно, более интуитивное определение, когда X и Y метрическое пространство выглядит следующим образом: мы говорим бесконечную последовательность точек ${pi} {\ displaystyle \ {p_ {i} \}}$ $\ {p_i \}$ в топологическом пространстве X уходит в бесконечность, если для каждого компакта $S ⊆ X {\ displaystyle S \ substeq X}$ $S \ substeq X$ только конечное число точек $pi {\ displaystyle p_ {i}}$ $p_{i}$ находятся в S. Тогда непрерывное отображение $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f \ двоеточие X \ в Y$ является правильным тогда и только тогда, когда для каждой последовательности точек ${pi} {\ displaystyle \ {p_ {i} \}}$ $\ {p_i \}$ , уходящий на бесконечность в X, последовательность ${f (pi)} {\ displaystyle \ {f (p_ {i}) \}}$ ${\ displaystyle \ {f (p_ {i}) \}}$ уходит в бесконечность в Y.

Свойства

топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда отображение из этого пространства в единственную точку является правильным.
Любое непрерывное отображение из компактного пространства в пространство Хаусдорфа одновременно и собственно, и замкнуто.
Если $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f \ двоеточие X \ в Y$ - правильное непрерывное отображение, а Y - компактно сгенерированное хаусдорфово пространство (включая Хаусдорфовы пространства, которые либо счётны первым, либо локально компактны ), то f замкнуто.

Обобщение

Можно обобщить понятие собственных отображений топологических пространств в locales и topoi, см. (Johnstone 2002).

См. Также

Ссылки

Бурбаки, Николас (1998). Общая топология. Главы 5–10. Элементы математики. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64563-4. MR 1726872.
Джонстон, Питер (2002). Эскизы слона: сборник теории топосов. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-851598-7., особенно. раздел C3.2 «Собственные карты»
Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды. Северная Каролина: Буксурдж. ISBN 1-4196-2722-8., особенно. п. 90 «Правильные карты» и упражнения к разделу 3.6.
Браун, Рональд (1973). «Последовательно правильные карты и последовательная компактификация». Журнал Лондонского математического общества. 2. 7 : 515–522.