Бессмысленная топология

В математике, бессмысленная топология (также называемый бесточечной или бесточечной топологией или теорией локали ) - это подход к топологии, который позволяет избежать точки ионизации.

• 1 Интуитивно
• 2 Формально
• 3 Отношение к топологии набора точек
• 4 Теория фреймов и локалей
• 5 См. Также
• 6 Библиография

Традиционно топологическое пространство состоит из набора из точек вместе с топологией, системы подмножеств, называемых открытыми множествами, который с помощью операций пересечения и объединения образует решетку с определенными свойствами. Бесточечная топология основана на концепции «реалистичного пятна», а не точки без протяженности. Пятна могут быть соединены (образуя полную решетку), и если пятно встречается с соединением других, оно должно встретиться с некоторыми из составляющих, что, грубо говоря, приводит к закону распределения

$b\; \wedge \; (\; \bigvee \; ai)\; знак\; равно\; \bigvee \; (b\; \wedge \; ai)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigvee\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; bigvee\; \backslash \; left\; (b\; \backslash \; wedge\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\}$.

Основная концепция - это фрейм, полная решетка, удовлетворяющая приведенному выше закону распределения; гомоморфизмы фрейма учитывают все соединения (в частности, наименьший элемент решетки), а конечный соответствует (в частности, наибольший элемент решетки).

Фреймы вместе с гомоморфизмами фреймов образуют категорию.

В классической топологии, представленной на множестве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \}$системой $\Omega \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (X)\}$открытых множеств, $\Omega \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (X)\}$(частично упорядочено включением) - это фрейм, и если $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$является непрерывной картой, $\Omega \; (е):\; \Omega \; (Y)\; \to \; \Omega \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (f)\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Omega\; (Y)\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\; (X)\}$определяется как $\Omega \; (е)\; (U)\; =\; f\; -\; 1\; [U]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (f)\; (U)\; =\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; [U]\}$- гомоморфизм фреймов. Для трезвых пространств такие $\Omega \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (f)\}$являются в точности гомоморфизмами фреймов $h:\; \Omega \; (Y)\; \to \; \Omega \; (X)\; \{\backslash \; Displaystyle\; ч\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Omega\; (Y)\; \backslash \; to\; \backslash \; Omega\; (X)\}$. Следовательно, $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- это полное вложение категории трезвых пространств в двойственную категорию фреймов (обычно называемую категорией локалей).. Это оправдывает представление о фреймах (локали) как о обобщенных топологических пространствах. Кадр является пространственным, если он изоморфен $\Omega \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (X)\}$. Непространственных много, и это помогло в нескольких задачах.

Теория фреймов и локалей в современном понимании была начата в конце 1950-х (Чарльз Эресманн, Жан Бенабу, Хью Даукер, Дона Паперт ) и развивался в последующие десятилетия (Джон Исбелл, Питер Джонстон, Гарольд Симмонс, Бернхард Банашевски, Алеш Пултр, Тиль Плеве, Джапи Вермёлен, Стив Викерс ) в живую ветвь топологии, с применением в различных областях, в частности, в теоретической информатике. Для получения дополнительной информации об истории теории локалей см.

Большинство концепций топологии точек можно перевести в контекст локалей и доказать аналогичные теоремы. Относительно преимуществ безточечного подхода отметим, например, тот факт, что некоторые важные факты классической топологии, зависящие от принципов выбора, становятся свободными от выбора (то есть конструктивными, что, в частности, привлекательно для информатики). Так, например, продукты компактных локалей конструктивно компактны, или пополнения однородных локалей конструктивны. Это может быть полезно, если кто-то работает с topos, не имеющим аксиомы выбора. Другие преимущества включают в себя гораздо лучшее поведение паракомпактности или тот факт, что подгруппы локальных групп всегда замкнуты.

Еще один момент, в котором теория локалей и топология сильно расходятся, - это концепции подпространств и подлокалей: согласно теореме плотности Исбелла, каждая локаль имеет наименьшую плотную подлокаль. Это не имеет абсолютно никакого эквивалента в области топологических пространств.

• алгебра Гейтинга. Фрейм - это полная алгебра Гейтинга.
• Полная булева алгебра. Любая полная булева алгебра является фреймом (это пространственный фрейм тогда и только тогда, когда он атомарен).
• Подробная информация о взаимосвязи между категорией топологических пространств и категорией локалей, включая явное построение двойственность между трезвыми пространствами и пространственными локалями, можно найти в статье Каменная двойственность.
• Бесточечная геометрия.

Общее введение в бессмысленную топологию

• Джонстон, Питер Т. (1983). «Дело бессмысленной топологии». Бюллетень (новая серия) Американского математического общества. 8 (1): 41–53. ISSN 0273-0979. Проверено 9 мая 2016 г. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Это, по его собственным словам, следует читать как трейлер к превосходной монографии Джонстона (которая появилась уже в 1982 году и может до сих пор используется в качестве основной ссылки):

• Johnstone, Peter T. (1982). Stone Spaces. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779 -3.

Недавно вышла монография

• Пикадо, Хорхе, Пултр, Алеш (2012). Фреймы и локали: Топология без точек. Границы в математике, том 28, Спрингер, Базель.

где также можно найти более обширную библиографию.

Относительно отношений с логикой:

• Vickers, Steven (1996). Topology via Logic. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press.

Для более краткого описания см. Соответствующие главы в:

• Педиккио, Мария Кристина, Толен, Вальтер (ред.). Категориальные основы - специальные темы в порядке, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений, Том 97, кулачок Bridge University Press, 2003, стр. 49–101.
• Hazewinkel, Michiel (Ed.). Справочник по алгебре. Vol. 3, Северная Голландия, Амстердам, 2003 г., стр. 791–857.
• Гретцер, Джордж, Верунг, Фридрих (ред.). Теория решеток: специальные темы и приложения. Vol. 1, Springer, Basel, 2014, стр. 55–88.