Расслоение пространства путей

редактировать

В алгебраической топологии, расслоение пространства путей по основанному пространству (Икс, *) {\ Displaystyle (Х, *)}{\ displaystyle (X, *)} является расслоением формы

Ω X ↪ PX → χ ↦ χ (1) X {\ displaystyle \ Omega X \ hookrightarrow PX {\ overset {\ chi \ mapsto \ chi (1)} {\ to}} X}{\ displaystyle \ Omega X \ hookrightarrow PX {\ overset {\ chi \ mapsto \ chi (1)} {\ to}} X}

где

  • PX = Map ⁡ (I, X) = {f: I → Икс ∣ е непрерывный, е (0) = ∗} {\ displaystyle PX = \ operatorname {Map} (I, X) = \ {f \ двоеточие I \ к X \ mid f \ {\ text {continuous}}, f (0) = * \}}{\ displaystyle PX = \ operatorname {Map} (I, X) = \ {f \ двоеточие I \ to X \ mid f \ {\ text {continuous}}, f (0) = * \}} , снабженное компактно-открытой топологией, это пространство, называемое X,
  • Ω X {\ displaystyle \ Omega X}\ Omega X - это слой χ ↦ χ (1) {\ displaystyle \ chi \ mapsto \ chi (1)}{\ displaystyle \ chi \ mapsto \ chi (1)} над базовой точкой X; таким образом, это пространство цикла X.

Пространство XI {\ displaystyle X ^ {I}}{\ displaystyle Икс ^ {I}} состоит из всех отображений от I до X, которые не могут сохранить базовые точки; оно называется пространством свободного пути X и расслоением XI → X {\ displaystyle X ^ {I} \ to X}{\ displaystyle X ^ {I} \ to X} , заданным, скажем, χ ↦ χ (1) {\ displaystyle \ chi \ mapsto \ chi (1)}{\ displaystyle \ chi \ mapsto \ chi (1)} , называется расслоением пространства свободного пути .

Расслоение пространства путей может пониматься как двойственное конус отображения . Сокращенное расслоение называется отображающим волокном или, что то же самое, гомотопическим волокном.

Содержание
  • 1 Отображение пространства путей
  • 2 Пути Мура
  • 3 Примечания
  • 4 Ссылки
Отображение пространство пути

Если f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}f \ двоеточие X \ to Y - любая карта, то пространство пути сопоставления P f {\ displaystyle P_ {f}}P_ {f} из f {\ displaystyle f}f- это откат расслоения YI → Y, χ ↦ χ (1) {\ displaystyle Y ^ {I} \ to Y, \, \ chi \ mapsto \ chi (1)}{\ displaystyle Y ^ {I} \ к Y, \, \ chi \ mapsto \ chi (1)} вдоль f {\ displaystyle f}f. Так как расслоение возвращается к расслоению, если Y основано, то имеется расслоение

F f ↪ P f → p Y {\ displaystyle F_ {f} \ hookrightarrow P_ {f} {\ overset {p} {\ to }} Y}{\ displaystyle F_ {f} \ hookrightarrow P_ {f} {\ overset {p} {\ to} } Y}

где p (x, χ) = χ (0) {\ displaystyle p (x, \ chi) = \ chi (0)}{\ displaystyle p (x, \ chi) = \ chi (0)} и F f {\ displaystyle F_ {f}}F_f - это гомотопическое волокно, откат расслоения PY → χ ↦ χ (1) Y {\ displaystyle PY {\ overset {\ chi \ mapsto \ chi (1)} {\ to}} Y}{\ displaystyle PY {\ overset {\ chi \ mapsto \ chi (1)} {\ to}} Y} вдоль f {\ displaystyle f}f.

Обратите внимание также на f {\ displaystyle f}f- композиция

X → ϕ P f → p Y {\ displaystyle X {\ overset {\ phi} {\ to}} P_ {f} {\ overset {p} {\ to}} Y }{\ displaystyle X {\ overset {\ phi} {\ to}} P_ {f} {\ overset {p} {\ to}} Y}

где первая карта ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi отправляет x в (x, cf (x)) {\ displaystyle (x, c_ {f (x) })}{\ displaystyle (x, c_ {f (x)})} ; здесь cf (x) {\ displaystyle c_ {f (x)}}{\ displaystyle c_ {f (x)}} обозначает постоянный путь со значением f (x) {\ displaystyle f (x)}f (x) . Ясно, что ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi является гомотопической эквивалентностью; таким образом, приведенное выше разложение говорит, что любое отображение является расслоением с точностью до гомотопической эквивалентности.

Если f {\ displaystyle f}fизначально является расслоением, тогда карта ϕ: X → P f {\ displaystyle \ phi \ двоеточие X \ to P_ {f}}{\ displaystyle \ phi \ двоеточие X \ к P_ {f}} - это гомотопическая эквивалентность волокон и, следовательно, волокна f {\ displaystyle f}fна пути- компоненты базовой точки гомотопически эквивалентны гомотопическому волокну F f {\ displaystyle F_ {f}}F_f of f {\ displaystyle f}f.

пространство путей Мура

По определению, путь в пространстве X - это карта из единичного интервала I в X. Опять же, по определению, произведение двух путей α, β {\ displaystyle \ alpha, \ beta}\ alpha, \ beta такой, что α (1) = β (0) {\ displaystyle \ alpha (1) = \ beta (0)}{\ displaystyle \ alpha (1) = \ beta (0)} - это путь β ⋅ α: I → Икс {\ Displaystyle \ бета \ CDOT \ альфа \ двоеточие I \ к X}{\ displaystyle \ beta \ cdot \ alpha \ двоеточие I \ к X} определяется по формуле:

(β ⋅ α) (t) = {α (2 t), если 0 ≤ t ≤ 1 / 2 β (2 t - 1), если 1/2 ≤ t ≤ 1 {\ displaystyle (\ beta \ cdot \ alpha) (t) = {\ begin {cases} \ alpha (2t) {\ text {if} } 0 \ leq t \ leq 1/2 \\\ beta (2t-1) {\ text {if}} 1/2 \ leq t \ leq 1 \\\ end {cases}}}{\ displaystyle (\ beta \ cdot \ alpha) (t) = {\ begin {cases} \ alpha (2t) {\ text {if}} 0 \ leq t \ leq 1 / 2 \\\ бета (2t-1) {\ text {if}} 1/2 \ leq t \ leq 1 \\\ end {case}}} .

Этот продукт, как правило, не может быть ассоциативным на носу: (γ ⋅ β) ⋅ α ≠ γ ⋅ (β ⋅ α) {\ displaystyle (\ gamma \ cdot \ beta) \ cdot \ alpha \ neq \ gamma \ cdot (\ beta \ cdot \ alpha)}{\ displaystyle (\ gamma \ cdot \ beta) \ cdot \ alpha \ neq \ gamma \ cdot (\ beta \ cdot \ alpha)} , как видно непосредственно. Одно из решений этой неудачи - переход к гомотопическим классам: один имеет [(γ ⋅ β) ⋅ α] = [γ ⋅ (β ⋅ α)] {\ displaystyle [(\ gamma \ cdot \ beta) \ cdot \ alpha] = [\ gamma \ cdot (\ beta \ cdot \ alpha)]}{\ displaystyle [(\ gamma \ cdot \ beta) \ cdot \ alpha] = [\ gamma \ cdot (\ бета \ cdot \ alpha)]} . Другое решение - работать с путями произвольной длины, что приводит к описанным ниже понятиям пространства путей Мура и расслоения пространства путей Мура. (Более сложное решение - переосмыслить композицию: работать с произвольным семейством композиций; см. Введение в статью Лурье, ведущую к понятию операды.)

Учитывая базовое пространство (X, ∗) {\ displaystyle (X, *)}{\ displaystyle (X, *)} , мы позволяем

P ′ X = {f: [0, r] → X ∣ r ≥ 0, f ( 0) = ∗}. {\ displaystyle P'X = \ {f \ двоеточие [0, r] \ к X \ mid r \ geq 0, f (0) = * \}.}{\displaystyle P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}

Элемент f этого набора имеет уникальное расширение f ~ {\ displaystyle {\ widetilde {f}}}\ widetilde {f} до интервала [0, ∞) {\ displaystyle [0, \ infty)}[0, \ infty) такой что f ~ (t) = f (r), t ≥ r {\ displaystyle {\ widetilde {f}} (t) = f (r), \, t \ geq r}{\ displaystyle {\ widetilde {f}} (t) = f (r), \, t \ geq r} . Таким образом, набор можно идентифицировать как подпространство Map ⁡ ([0, ∞), X) {\ displaystyle \ operatorname {Map} ([0, \ infty), X)}{\ displaystyle \ operatorname {Map} ([0, \ infty), X)} . Полученное пространство называется пространством путей Мура X, в честь Джона Коулмана Мура, который представил эту концепцию. Затем, как и раньше, существует расслоение, расслоение пространства путей Мура :

Ω ′ X ↪ P ′ X → p X {\ displaystyle \ Omega 'X \ hookrightarrow P'X {\ overset {p} { \ to}} X}{\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X}

где p отправляет каждое f: [0, r] → X в f (r) и Ω ′ X = p - 1 (∗) {\ displaystyle \ Omega 'X = p ^ {- 1} (*)}{\displaystyle \Omega 'X=p^{-1}(*)}- волокно. Оказывается, Ω X {\ displaystyle \ Omega X}\ Omega X и Ω ′ X {\ displaystyle \ Omega 'X}{\displaystyle \Omega 'X}гомотопически эквивалентны.

Теперь мы определяем карту продукта:

μ: P ′ X × Ω ′ X → P ′ X {\ displaystyle \ mu: P'X \ times \ Omega 'X \ to P'X }{\displaystyle \mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X}

по: для f: [0, r] → X {\ displaystyle f \ двоеточие [0, r] \ to X}{\ displaystyle f \ двоеточие [0, r] \ to X} и g: [0, s ] → Икс {\ Displaystyle g \ двоеточие [0, s] \ к X}{\ Displaystyle г \ col на [0, s] \ к X} ,

μ (g, f) (t) = {f (t), если 0 ≤ t ≤ rg (t - r), если r ≤ t ≤ s + r {\ displaystyle \ mu (g, f) (t) = {\ begin {case} f (t) {\ text {if}} 0 \ leq t \ leq r \\ g (tr) {\ text {if}} r \ leq t \ leq s + r \\\ end {cases}}}{\ displaystyle \ mu (g, f) (t) = {\ begin {case} f (t) {\ text {if}} 0 \ leq t \ leq r \\ g (tr) {\ text {if}} r \ leq t \ leq s + r \\\ end {case}}} .

Этот продукт явно ассоциативен. В частности, с ограничением μ на Ω'X × Ω'X, мы получаем, что Ω'X является топологическим моноидом (в категории всех пространств). Более того, этот моноид Ω'X действует на P'X через исходный μ. Фактически, p: P ′ X → X {\ displaystyle p: P'X \ to X}{\displaystyle p:P'X\to X}является Ω'X-расслоением.

Примечания
Ссылки
Последняя правка сделана 2021-06-01 04:53:24
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте