Кристаллические когомологии

редактировать

В математике кристаллические когомологии - это теория когомологий Вейля для схем X над базовым полем k. Его значения H (X / W) являются модулями над кольцом W из векторов Витта над k. Он был введен Александром Гротендиком (1966, 1968) и разработан Пьером Бертело (1974).

Кристаллическая когомология частично вдохновлена p-адическим доказательством в Dwork (1960) части гипотез Вейля и тесно связана к алгебраической версии когомологии де Рама, введенной Гротендиком (1963). Грубо говоря, кристаллические когомологии многообразия X в характеристике p - это когомологии де Рама плавного подъема X до характеристики 0, а когомологии де Рама X - это кристаллические когомологии, приведенные по модулю p (после учета счет выше Торс ).

Идея кристаллических когомологий, грубо говоря, состоит в замене открытых множеств Зарисского схемы бесконечно малыми утолщениями открытых множеств Зарисского с разделенными структурами власти. Причина в том, что это можно вычислить, взяв локальное поднятие схемы с характеристики p на характеристику 0 и используя соответствующую версию алгебраических когомологий де Рама.

Кристаллическая когомология хорошо работает только для гладких правильных схем. Жесткая когомология расширяет ее на более общие схемы.

Содержание

1 Приложения
2 Коэффициенты
3 Мотивация
4 Кристаллическая когомология
5 Кристаллы
6 См. Также
7 Ссылки

Приложения

Для схем в характеристике p теория кристаллических когомологий может решать вопросы о p-кручении в группах когомологий лучше, чем p-адические этальные когомологии. Это делает его естественным фоном для большей части работ по p-адическим L-функциям.

Кристаллические когомологии, с точки зрения теории чисел, заполняют пробел в l-адических когомологиях информация, которая появляется именно там, где есть «равные характеристические простые числа». Кристаллические когомологии, традиционно являющиеся прерогативой теории ветвления, преобразуют эту ситуацию в теорию модуля Дьедонне, давая важную информацию об арифметических проблемах. Жан-Марк Фонтен высказал весьма широкие предположения о том, чтобы превратить это в формальные утверждения, решение которых называется p-адической теорией Ходжа.

Коэффициенты

Если X является многообразием над алгебраически замкнутым полем характеристики p >0, то $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ -adic cohomology группы для $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ любое простое число, кроме p, дает удовлетворительные группы когомологий X с коэффициентами в кольце $Z ℓ {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {\ ell }}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {\ ell}}$ из $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ -адических целых чисел. В общем случае невозможно найти похожие группы когомологий с коэффициентами в p-адических числах (или рациональных числах, или целых числах).

Классическая причина (из-за Серра) заключается в том, что если X является суперсингулярной эллиптической кривой, то ее кольцо эндоморфизмов порождает алгебру кватернионов над Q, который не разделен на p и бесконечность. Если X имеет группу когомологий над целыми p-адическими числами с ожидаемой размерностью 2, кольцо эндоморфизмов имело бы двумерное представление; и это невозможно, так как он не разделен на стр. (Весьма тонкий момент заключается в том, что если X - суперсингулярная эллиптическая кривая над простым полем с p элементами, то ее кристаллические когомологии являются свободным модулем ранга 2 над целыми p-адическими числами. Приведенные аргументы неприменимы в этом случае, потому что некоторые из эндоморфизмов суперсингулярных эллиптических кривых определены только над квадратичным расширением поля порядка p.)

Теория кристаллических когомологий Гротендика обходит это препятствие, поскольку принимает значения в кольце из векторов Витта над основным полем. Таким образом, если основное поле является алгебраическим замыканием поля порядка p, его значения являются модулями над p-адическим пополнением p-адических целых чисел, гораздо большего кольца, содержащего корни n-й степени. единицы для всех n, не делимых на p, а не над целыми p-адическими числами.

Мотивация

Одна из идей для определения теории когомологий Вейля многообразия X над полем k характеристики p состоит в том, чтобы «поднять» ее до многообразия X * над кольцом векторов Витта k (который возвращает X на модуле редукции p ), затем возьмем когомологии де Рама этого подъема. Проблема в том, что вовсе не очевидно, что эта когомология не зависит от выбора подъема.

Идея кристаллических когомологий в характеристике 0 состоит в том, чтобы найти прямое определение теории когомологий как когомологий постоянных пучков на подходящем сайте

Inf (X)

над X, называется бесконечно малым узлом, а затем показать, что это то же самое, что и когомологии де Рама любого лифта.

Сайт Inf (X) - это категория, объекты которой можно рассматривать как своего рода обобщение обычных открытых множеств X. В характеристике 0 его объекты являются бесконечно малыми утолщениями U → T элемента Зарисского. открытые подмножества U в X. Это означает, что U - замкнутая подсхема схемы T, определяемая нильпотентным пучком идеалов на T; например, Spec (k) → Spec (k [x] / (x)).

Гротендик показал, что для гладких схем X над C когомологии пучка O X на Inf (X) такие же, как и обычные (гладкие или алгебраические) когомологии де Рама.

Кристаллическая когомология

В характеристике p наиболее очевидный аналог кристаллического центра, определенный выше в характеристике 0, не работает. Причина примерно в том, что для доказательства точности комплекса де Рама нужна некая лемма Пуанкаре, доказательство которой, в свою очередь, использует интегрирование, а интегрирование требует различных разделенных степеней, которые существуют в характеристике 0, но не всегда в характеристике р. Гротендик решил эту проблему, определив объекты кристаллического узла X как примерно бесконечно малые утолщения открытых по Зариски подмножеств X вместе с структурой разделенных степеней, дающей необходимые разделенные степени.

Мы будем работать над кольцом W n = W / pW из векторов Витта длины n над совершенным полем k характеристики p>0. Например, k может быть конечным полем порядка p, а W n тогда является кольцом Z/pZ. (В более общем смысле можно работать над базовой схемой S, которая имеет фиксированный пучок идеалов I с разделенной структурой мощности.) Если X - схема над k, то кристаллический узел X относительного to Wn, обозначаемый Cris (X / W n), имеет в качестве своих объектов пары U → T, состоящие из замкнутого погружения открытого по Зарисскому подмножества U из X в некоторое W n -схема T, заданная пучком идеалов J, вместе со структурой разделенных степеней на J, совместимой со структурой на W n.

Кристаллические когомологии схемы X над k определяются как обратный предел

H i ( X / W) = lim ← ⁡ H i (X / W n) {\ displaystyle H ^ {i} (X / W) = \ varprojlim H ^ {i} (X / W_ {n})}

{\ displaystyle H ^ {i} (X / W) = \ varprojlim H ^ {i} (X / W_ {n})}

где

ЧАС я (Икс / W N) = ЧАС я (Крис ⁡ (X / W n), О) {\ displaystyle H ^ {i} (X / W_ {n}) = H ^ {i} (\ operatorname {Cris} (X / W_ {n}), O)}

{\ displaystyle H ^ {i} (X / W_ {n}) = H ^ {i} (\ operatorname {Cris } (X / W_ {n}), O)}

- когомология кристаллического узла X / W n со значениями в связке колец O: = O Wn.

Ключевым моментом теории является то, что кристаллические когомологии гладкой схемы X над k часто можно вычислить. в терминах алгебраических когомологий де Рама собственного и гладкого подъема X до схемы Z над W. Имеется канонический изоморфизм

H i (X / W) = HDR i (Z / W) (= H я (Z, Ω Z / W ∗) = lim ← ⁡ H i (Z, Ω Z / W n ∗)) {\ displaystyle H ^ {i} (X / W) = H_ {DR} ^ {i} ( Z / W) \ quad (= H ^ {i} (Z, \ Omega _ {Z / W} ^ {*}) = \ varprojlim H ^ {i} (Z, \ Omega _ {Z / W_ {n} } ^ {*}))}

{\ displaystyle H ^ {i} (X / W) = H_ {DR} ^ {i} (Z / W) \ quad (= H ^ {i} (Z, \ Omega _ {Z / W} ^ {*}) = \ varprojlim H ^ {i} (Z, \ Omega _ {Z / W_ {n}} ^ {*}))}

кристаллических когомологий X с когомологиями де Рама Z над формальной схемой W (обратный предел гиперкогомологий комплексов дифференциальных форм). Наоборот, когомологии де Рама X могут быть восстановлены как редукция по модулю p его кристаллических когомологий (после учета высших Торсов).

Кристаллы

Если X - схема над S, то пучок O X / S определяется как O X / S (T) = координатное кольцо T, где мы пишем T как аббревиатуру для объекта U → T из Cris (X / S).

A кристалл на сайте Cris (X / S) - это связка F из модулей O X / S, которая является жесткой в следующем смысле:

для любое отображение f между объектами T, T ′ в Cris (X / S), естественное отображение из fF (T) в F (T ′) является изоморфизмом.

Это аналогично определению квазикогерентного пучок модулей в топологии Зарисского.

Примером кристалла является пучок O X / S.

Термин кристалл, связанный с теорией, объясненный в письме Гротендика Тейту (1966), был метафора, навеянная некоторыми свойствами алгебраических дифференциальных уравнений. Они сыграли роль в теориях p-адических когомологий (предшественниках кристаллической теории, представленной в различных формах Дворком, Монским, Вашницером, Любкиным и Кацем ) особенно в работе Дворка. Такие дифференциальные уравнения достаточно легко сформулировать с помощью алгебраических связностей Кошуля, но в p-адической теории аналог аналитического продолжения более загадочен (поскольку p-адические диски стремятся быть не пересекающимися, а не перекрывающимися). Согласно постановлению, кристалл будет иметь «жесткость» и «распространение», характерные для аналитического продолжения комплексных аналитических функций. (См. Также жесткие аналитические пространства, введенные Джоном Тейтом в 1960-х годах, когда эти вопросы активно обсуждались.)

См. Также

Ссылки

Бертело, Пьер (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, 407, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0068636, ISBN 978-3-540-06852-5, MR 0384804
Бертло, Пьер ; Огус, Артур (1978), Заметки о кристаллической когомологии, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08218-9, MR 0491705
Chambert- Луар, Антуан (1998), «Cohomologie cristalline: un Survol», Expositiones Mathematicae, 16(4): 333–382, ISSN 0723-0869, MR 1654786, заархивировано из оригинала 21.07.2011.
Бернард Дворк (1960), «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия», Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 82 (3): 631–648, doi : 10.2307 / 2372974, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372974, MR 0140494
Гротендик, Александр (1966), «На де Когомологии Рама алгебраических многообразий », Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques, 29 (29): 95–103, doi : 10.1007 / BF02684807, ISSN 0073-8301, MR 0199194 (письмо Атии, 14 октября 1963 г.)
Гротендик, А. (1966), Письмо Дж. Тейту (PDF).
Гротендик, Александр (1968), "Кристаллы и когомологии схем де Рама", у Жиро, Жан; Гротендик, Александр ; Клейман, Стивен Л. ; и другие. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas (PDF), Продвинутые исследования в области чистой математики, 3, Амстердам: Северная Голландия, стр. 306–358, MR 0269663
Illusie, Luc (1975), "Отчет о кристаллических когомологиях", Алгебраическая геометрия, Proc. Симпози. Pure Math., 29, Providence, R.I.: Amer. Математика. Soc., Pp. 459–478, MR 0393034
Illusie, Luc (1976), «Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)», Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453). -470), Опыт. No. 456, Lecture Notes in Math., 514, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 53–60, MR 0444668, архивировано из оригинала 10 февраля 2012 г., извлечено 20 сентября 2007 г.
Иллюзи, Люк (1994), "Crystalline cohomology", Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991), Proc. Симпози. Pure Math., 55, Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 43–70, MR 1265522
Кедлая, Киран С. (2009), «p-адические когомологии», в Abramovich, Dan; Бертрам, А.; Кацарков, Л.; Пандхарипанде, Рахул; Таддеус, М. (ред.), Алгебраическая геометрия --- Сиэтл 2005. Часть 2, Proc. Симпози. Pure Math., 80, Providence, R.I.: Amer. Математика. Soc., Стр. 667–684, arXiv : math / 0601507, Bibcode : 2006math...... 1507K, ISBN 978-0-8218-4703-9, MR 2483951