Модуль Дьедонне

редактировать

В математике: модуль Дьедонне, представленный Жаном Дьедонне (1954, 1957b), является модулем над некоммутативным кольцом Дьедонне, которое генерируется над кольцом векторов Витта двумя специальными эндоморфизмами F и V, называемыми операторами Frobenius и Verschiebung. Они используются для изучения конечных плоских коммутативных групповых схем.

Конечные плоские коммутативные групповые схемы над совершенным полем k положительной характеристики p можно изучать, перенеся их геометрическую структуру в (полу) линейно-алгебраический контекст. Базовым объектом является кольцо Дьедонне

D = W (k) {F, V} / (FV - p) {\ displaystyle D = W (k) \ {F, V \} / (FV-p)}{\ Displaystyle D = W (к) \ {F, V \} / (FV-p)} ,

, который является частным кольца некоммутативных многочленов с коэффициентами в векторах Витта числа k. Эндоморфизмы F и V являются операторами Фробениуса и Вершибунга, и они могут действовать нетривиально на векторах Витта. Дьедонне и Пьер Картье построили антиэквивалентность категорий между конечными коммутативными групповыми схемами над k порядка степени p и модулями над D с конечным W (k) {\ displaystyle W (k)}{\ displaystyle W (k)} -длина. Функтор модуля Дьедонне в одном направлении задается гомоморфизмами в абелев пучок CW ко-векторов Витта. Этот пучок более или менее двойственен пучку векторов Витта (который фактически может быть представлен групповой схемой), поскольку он строится путем взятия прямого предела векторов Витта конечной длины при последовательных отображениях Вершибунга V: W n → W n + 1 {\ displaystyle V \ двоеточие W_ {n} \ to W_ {n + 1}}{\ displaystyle V \ двоеточие W_ { n} \ к W_ {n + 1}} , а затем завершение. Многие свойства коммутативных групповых схем можно увидеть, исследуя соответствующие модули Дьедонне, например, связные p-групповые схемы соответствуют D-модулям, для которых F нильпотентен, а этальные групповые схемы соответствуют модулям, для которых F является изоморфизмом.

Теория Дьедонне существует в несколько более общем контексте, чем конечные плоские группы над полем. В диссертации Тадао Ода 1967 года была установлена ​​связь между модулями Дьедонне и первыми когомологиями де Рама абелевых многообразий, и примерно в то же время Александр Гротендик предположил что должна существовать кристаллическая версия теории, которую можно было бы использовать для анализа p-делимых групп. Действия Галуа на групповых схемах переносятся через эквивалентности категорий, и соответствующая теория деформации представлений Галуа была использована в работе Эндрю Уайлса над гипотезой Шимуры-Таниямы .

Содержание

  • 1 Кольца Дьедонне
  • 2 Модули и группы Дьедонне
  • 3 Примеры
  • 4 Классификационная теорема Дьедонне – Манина
  • 5 Модуль Дьедонне групповой схемы
  • 6 Кристалл Дьедонне
  • 7 Список литературы
  • 8 Внешние ссылки

Кольца Дьедонне

Если k - поле характеристики p, его кольцо векторов Витта состоит из последовательностей (w 1, w 2, w 3,...) элементов k, и имеет эндоморфизм σ, индуцированный эндоморфизмом Фробениуса k, поэтому (w 1, w 2, w 3,...) = (w. 1, w. 2, w. 3,...). Кольцо Дьедонне, часто обозначаемое E k или D k, представляет собой некоммутативное кольцо над W (k), порожденное двумя элементами F и V, подлежащими к отношениям

FV = VF = p
Fw = wF
wV = Vw.

Это Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} -градуированное кольцо, где кусок степени n ∈ Z {\ displaystyle {n \ in \ mathbb {Z}}}{\ displaystyle {n \ in \ mathbb {Z}}} представляет собой одномерный свободный модуль над W ( k), натянутый на V, если n ≤ 0, и на F, если n ≥ 0.

Некоторые авторы определяют кольцо Дьедонне как пополнение указанного выше кольца для идеала, порожденного F и V.

Модули и группы Дьедонне

Специальные типы модулей над кольцом Дьедонне соответствуют некоторым схемам алгебраических групп. Например, модули конечной длины над кольцом Дьедонне образуют абелеву категорию, эквивалентную противоположной категории конечных коммутативных p-групповых схем над k.

Примеры

  • Если X {\ displaystyle X}Икс - схема группы констант Z / p Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}{\ mathbb {Z}} / p {\ mathbb {Z}} над k {\ displaystyle k}k , затем соответствующий ему модуль Дьедонне D (X) {\ displaystyle \ mathbf {D} (X) }{\ displaystyle \ mathbf {D} (X)} равно k {\ displaystyle k}k с F = F robk {\ displaystyle F = \ mathrm {Frob} _ {k}}{\ displaystyle F = \ mathrm {Frob} _ {k}} и V = 0 {\ displaystyle V = 0}{\ displaystyle V = 0} .
  • Для схемы корней p-й степени из единицы X = μ p {\ displaystyle X = \ mu _ {p}}{\ displaystyle X = \ mu _ {p}} , то соответствующий ему модуль Дьедонне равен D (X) = k {\ displaystyle \ mathbf {D} (X) = k}{\ displaystyle \ mathbf {D} (X) = k} с F = 0 {\ displaystyle F = 0}{\ displaystyle F = 0} и V = F robk - 1 {\ displaystyle V = \ mathrm {Frob} _ {k} ^ {- 1}}{\ displaystyle V = \ mathrm {Frob} _ {k} ^ {- 1}} .
  • Для X = α p {\ displaystyle X = \ alpha _ {p}}{\ displaystyle X = \ alpha _ {p}} , определенное как ядро ​​Фробениуса G a → G a {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a} \ to \ mathbb {G} _ {a}}{\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a} \ to \ mathbb {G} _ {a}} , модуль Дьедонне имеет вид D (X) = k {\ displaystyle \ mathbf {D} (X) = k}{\ displaystyle \ mathbf {D} (X) = k} с F = V = 0 {\ displaystyle F = V = 0}{\ displaystyle F = V = 0} .
  • Если X = E [p] {\ displaystyle X = E [p]}{\ displaystyle X = E [p]} - это p-кручение эллиптической кривой над k (с p-кручением по k), то модуль Дьедонне зависит от того, является ли E суперсингулярным или нет.

Теорема классификации Дьедонне – Манина

Теорема Дьедонне– Классификационная теорема Манина была доказана Дьедонне (1955) и Юрием Маниным (1963). Он описывает структуру модулей Дьедонне над алгебраически замкнутым полем k с точностью до «изогении». Точнее, он классифицирует конечно сгенерированные модули по D k [1 / p] {\ displaystyle D_ {k} [1 / p]}{\ displaystyle D_ {k} [1 / p]} , где D k {\ displaystyle D_ {k}}D_k - кольцо Дьедонне. Категория таких модулей полупроста, поэтому каждый модуль представляет собой прямую сумму простых модулей. Простыми модулями являются модули E s / r, где r и s взаимно простые целые числа с r>0. Модуль E s / r имеет базис над W (k) [1 / p] вида v, ​​Fv, Fv,..., Fv для некоторого элемента v и Fv = pv. Рациональное число s / r называется наклоном модуля.

Модуль Дьедонне групповой схемы

Если G - коммутативная групповая схема, ее модуль Дьедонне D (G) определяется как Hom (G, W), определяемый как lim n Hom (G, W n), где W - формальная групповая схема Витта, а W n - усеченная групповая схема Витта векторов Витта длины n.

Модуль Дьедонне дает антиэквивалентности между различными видами коммутативных групповых схем и левыми модулями над кольцом Дьедонне D.

  • Конечные коммутативные групповые схемы p-степенного порядка соответствуют D-модулям, имеющим конечную длину над W.
  • Унипотентные аффинные коммутативные групповые схемы соответствуют D-модулям, которые являются V-кручением.
  • p-делимые группы соответствуют D-модулям, которые являются конечно порожденными свободными W-модулями, по крайней мере, над совершенными полями.

Кристалл Дьедонне

Кристалл Дьедонне - это кристалл D вместе с гомоморфизмами F: D → D и V: D → D, удовлетворяющими соотношениям VF = p (на D), FV = p (на D). Кристаллы Дьедонне были представлены Гротендиком (1966). Они играют ту же роль для классификации алгебраических групп над схемами, которую модули Дьедонне играют для классификации алгебраических групп над полями.

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 05:41:28
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте