Когомологии алгебры Ли

редактировать

В математика, когомологии алгебр Ли - это теория когомологий для алгебр Ли. Впервые он был введен в 1929 г. Эли Картаном для изучения топологии групп Ли и однородных пространств путем установления связи когомологических методов Жоржа де Рама к свойствам алгебры Ли. Позже Клод Шевалле и Сэмюэл Эйленберг (1948) расширили его до коэффициентов в произвольном порядке.

Содержание

1 Мотивация
2 Определение
3 Комплекс Шевалле – Эйленберга
4 Когомологии в малых измерениях
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Мотивация

Если $G { \ displaystyle G}$ $G$ - компактная односвязная группа Ли, тогда она определяется своей алгеброй Ли, поэтому должно быть возможно вычислить ее когомологии из алгебры Ли. Это можно сделать следующим образом. Его когомологии - это когомологии де Рама комплекса дифференциальных форм на $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Используя процесс усреднения, этот комплекс можно заменить комплексом левоинвариантных дифференциальных форм. Левоинвариантные формы, тем временем, определяются их значениями в единице, так что пространство левоинвариантных дифференциальных форм может быть отождествлено с внешней алгеброй алгебры Ли с помощью подходящего дифференциала.

Построение этого дифференциала на внешней алгебре имеет смысл для любой алгебры Ли, поэтому оно используется для определения когомологий алгебры Ли для всех алгебр Ли. В более общем смысле можно использовать аналогичную конструкцию для определения когомологий алгебры Ли с коэффициентами в модуле.

Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ является односвязной некомпактной группой Ли, когомологии алгебры Ли ассоциированной алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak { g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ не обязательно воспроизводит когомологию де Рама $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Причина этого в том, что переход от комплекса всех дифференциальных форм к комплексу левоинвариантных дифференциальных форм использует процесс усреднения, который имеет смысл только для компактных групп.

Определение

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ будет алгеброй Ли над коммутативным кольцом R с универсальной обертывающей алгеброй $U g {\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$ $U {\ mathfrak g}$ , и пусть M будет представлением из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ (эквивалентно, a $U g {\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$ $U {\ mathfrak g}$ -module). Рассматривая R как тривиальное представление $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , можно определить группы когомологий

H n (g; M): = E xt U gn (R, M) {\ displaystyle \ mathrm {H} ^ {n} ({\ mathfrak {g}}; M): = \ mathrm {Ext} _ {U {\ mathfrak {g}}} ^ {n} (R, M)}

{\ mathrm {H}} ^ {n} ({\ mathfrak {g}}; M): = {\ mathrm {Ext}} _ {{U {\ mathfrak {g}}}} ^ {n} (R, M)

(определение Ext см. В Ext functor ). Эквивалентно, это правые производные функторы левого точного инвариантного функтора подмодуля

M ↦ M g: = {m ∈ M ∣ x m = 0 для всех x ∈ g}. {\ Displaystyle M \ mapsto M ^ {\ mathfrak {g}}: = \ {m \ in M ​​\ mid xm = 0 \ {\ text {для всех}} x \ in {\ mathfrak {g}} \}. }

M \ mapsto M ^ {{{\ mathfrak {g}}}} : = \ {m \ in M ​​\ mid xm = 0 \ {\ text {для всех}} x \ in {\ mathfrak {g}} \}.

Аналогично, можно определить гомологии алгебры Ли как

H n (g; M): = T orn U g (R, M) {\ displaystyle \ mathrm {H} _ {n} ({\ mathfrak {g}}; M): = \ mathrm {Tor} _ {n} ^ {U {\ mathfrak {g}}} (R, M)}

{\ mathrm {H}} _ {n} ({\ mathfrak {g}}; M): = { \ mathrm {Tor}} _ {n} ^ {{U {\ mathfrak {g}}}} (R, M)

(см. Функтор Tor для определение Tor), что эквивалентно левым производным функторам правых точных коинвариантов функтора

M ↦ M g: = M / g M. {\ displaystyle M \ mapsto M _ {\ mathfrak {g}}: = M / {\ mathfrak {g}} M.}

M \ mapsto M _ {{{\ mathfrak {g}}}}: = M / {\ mathfrak {g}} M.

Некоторые важные основные результаты о когомологиях алгебр Ли включают леммы Уайтхеда, теорема Вейля и теорема о разложении Леви.

Комплекс Шевалле – Эйленберга

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ - алгебра Ли над полем $k { \ displaystyle k}$ $k$ , с левым действием на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -module $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Элементы комплекса Шевалле – Эйленберга

H omk (Λ ∙ g, M) {\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {k} (\ Lambda ^ {\ bullet} {\ mathfrak {g}}, M) }

{\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {k} (\ Lambda ^ {\ bullet} {\ mathfrak {g}}, M)}

называются коцепями от $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ до $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Однородная $n {\ displaystyle n}$ $n$ -cochain от $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ до $M {\ displaystyle M }$ $M$ , таким образом, является чередующейся $k {\ displaystyle k}$ $k$ -моллинейной функцией $f: Λ ng → M {\ displaystyle f \ двоеточие \ Lambda ^ {n} {\ mathfrak {g}} \ на M}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие \ Lambda ^ {n} {\ mathfrak {g}} \ to M}$ . Комплекс Шевалле – Эйленберга канонически изоморфен тензорному произведению $M ⊗ Λ ∙ g ∗ {\ displaystyle M \ otimes \ Lambda ^ {\ bullet} {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle M \ otimes \ Lambda ^ {\ bullet} {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ , где $g ∗ {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ $\ mathfrak {g} ^ *$ обозначает двойное векторное пространство $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}. }$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Скобка Ли $[⋅, ⋅]: Λ 2 g → g {\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ двоеточие \ Lambda ^ {2} {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ двоеточие \ Lambda ^ {2} {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}$ на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ вызывает транспонирование приложения $dg (1): g ∗ → Λ 2 g ∗ {\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {(1)} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ rightarrow \ Lambda ^ {2} {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {(1)} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ rightarrow \ Lambda ^ {2} {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ по двойственности. Последнего достаточно для определения производного $dg {\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}}}$ комплекса коцепей из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} }$ ${\ mathfrak {g}}$ до $k {\ displaystyle k}$ $k$ путем расширения $dg (1) {\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {(1)}}$ согласно дифференцированному правилу Лейбница. Из тождества Якоби следует, что $dg {\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}}}$ удовлетворяет $dg 2 = 0 {\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ { 2} = 0}$ ${\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {2} = 0}$ и фактически является дифференциалом. В этой настройке $k {\ displaystyle k}$ $k$ рассматривается как тривиальный $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -module while $К ∼ Λ 0 g * ⊆ К er (dg) {\ displaystyle k \ sim \ Lambda ^ {0} {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ substeq \ mathrm {Ker} (d _ {\ mathfrak {g }})}$ ${\ displaystyle k \ sim \ Lambda ^ {0} {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ substeq \ mathrm {Ker} (d _ {\ mathfrak {g}})}$ можно рассматривать как константы.

В общем, пусть $γ ∈ H om (g, E nd (M)) {\ displaystyle \ gamma \ in \ mathrm {Hom} ({\ mathfrak {g}}, \ mathrm { End} (M))}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in \ mathrm {Hom} ({\ mathfrak {g}}, \ mathrm {End} (M))}$ обозначает левое действие $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ на $M {\ displaystyle M}$ $M$ и рассматривать его как приложение $d γ (0): M → M ⊗ g ∗ {\ displaystyle d _ {\ gamma} ^ {(0)} \ двоеточие M \ rightarrow M \ otimes {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle d _ {\ gamma} ^ {(0)} \ двоеточие M \ rightarrow M \ otimes {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ . Дифференциал Шевалле – Эйленберга $d {\ displaystyle d}$ $d$ тогда является уникальным производным, расширяющим $d γ (0) {\ displaystyle d _ {\ gamma} ^ {(0)}}$ ${\ displaystyle d _ {\ gamma} ^ {(0)}}$ и $dg (1) {\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {(1)}}$ ${\ displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {(1)}}$ согласно градуированному правилу Лейбница, условие нильпотентности $d 2 = 0 {\ displaystyle d ^ {2} = 0}$ $d ^ 2 = 0$ , следующее из гомоморфизма алгебры Ли из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ - $E nd (M) {\ displaystyle \ mathrm {End} (M)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {End} (M)}$ и идентичность Якоби в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Явно разность $n {\ displaystyle n}$ $n$ -cochain $f {\ displaystyle f}$ $f$ равна $(n + 1) {\ displaystyle (n + 1)}$ $(n +1)$ -cochain $df {\ displaystyle df}$ $df$ , задаваемый:

$(df) (x 1,…, xn + 1) = ∑ i (- 1) i + 1 xif (x 1,…, x ^ i,…, xn + 1) + ∑ i < j ( − 1) i + j f ( [ x i, x j ], x 1, …, x ^ i, …, x ^ j, …, x n + 1), {\displaystyle {\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots,x_{n+1}\right)=\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots,{\hat {x}}_{i},\ldots,x_{n+1}\right)+\\\sum _{i$ ${\ displaystyle {\ begin {align} (df) \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1} \ right) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i + 1} x_ { i} \, f \ left (x_ {1}, \ ldots, {\ hat {x}} _ {i}, \ ldots, x_ {n + 1} \ right) + \\ \ sum _ {i <j} (- 1) ^ {i + j} f \ left (\ left [x_ {i}, x_ {j} \ right], x_ {1}, \ ldots, {\ hat {x}} _ {i}, \ ldots, {\ hat {x}} _ {j}, \ ldots, x_ {n + 1} \ right) \,, \ end {выровнено}}}$

где курсор означает пропуск этого аргумента.

Когда $G {\ displaystyle G}$ $G$ является реальной группой Ли с алгеброй Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ комплекс Шевалле – Эйленберга также можно канонически отождествить с пространством левоинвариантных форм со значениями в $M {\ displaystyle M}$ $M$ , обозначаемых $Ω ∙ (G, M) G {\ displaystyle \ Omega ^ {\ bullet} (G, M) ^ {G}}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {\ bullet} (G, M) ^ {G}}$ . Тогда дифференциал Шевалле – Эйленберга можно рассматривать как ограничение ковариантной производной на тривиальном расслоении волокон $G × M → G {\ displaystyle G \ times M \ rightarrow G}$ ${\ displaystyle G \ times M \ rightarrow G}$ , снабженный эквивариантным соединением $γ ~ ∈ Ω 1 (G, E nd (M)) {\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} \ in \ Omega ^ {1 } (G, \ mathrm {End} (M))}$ ${\ displaystyl e {\ tilde {\ gamma}} \ in \ Omega ^ {1} (G, \ mathrm {End} (M))}$ связанный с левым действием $γ ∈ H om (g, E nd (M)) {\ displaystyle \ gamma \ in \ mathrm {Hom} ({\ mathfrak {g}}, \ mathrm {End} (M))}$ ${\ displaystyle \ gamma \ in \ mathrm {Hom} ({\ mathfrak {g}}, \ mathrm {End} (M))}$ из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ на $M {\ displaystyle M}$ $M$ . В частном случае, когда $M = k = R {\ displaystyle M = k = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle M = k = \ mathbb {R}}$ снабжен тривиальным действием $g {\ displaystyle {\ mathfrak { g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , дифференциал Шевалле – Эйленберга совпадает с ограничением дифференциала де Рама на $Ω ∙ (G) {\ displaystyle \ Omega ^ {\ bullet} (G)}$ ${ \ displaystyle \ Omega ^ {\ bullet} (G)}$ в подпространство левоинвариантных дифференциальных форм.

Когомологии малых размерностей

Группа нулевых когомологий - это (по определению) инварианты алгебры Ли, действующей на модуле:

H 0 (g; M) = M g = {m ∈ M ∣ xm = 0 для всех x ∈ g}. {\ displaystyle H ^ {0} ({\ mathfrak {g}}; M) = M ^ {\ mathfrak {g}} = \ {m \ in M ​​\ mid xm = 0 \ {\ text {для всех}} x \ in {\ mathfrak {g}} \}.}

H ^ {0} ({\ mathfrak {g}}; M) = M ^ {{{\ mathfrak {g}}}} = \ {m \ in M ​​\ mid xm = 0 \ {\ text {для всех}} x \ in {\ mathfrak {g}} \}.

Первая группа когомологий - это пространство Der производных по модулю пространства Ider внутренних производных

H 1 (g; M) = D er (g, M) / I der (г, M) {\ displaystyle H ^ {1} ({\ mathfrak {g}}; M) = \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}}, M) / \ mathrm { Ider} ({\ mathfrak {g}}, M) \,}

{\ displaystyle H ^ {1} ({\ mathfrak {g}}; M) = \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}}, M) / \ mathrm {Ider} ({\ mathfrak {g}}, M) \,}

где производным является отображение $d {\ displaystyle d}$ $d$ из алгебры Ли в $M { \ displaystyle M}$ $M$ такой, что

d [x, y] = xdy - ydx {\ displaystyle d [x, y] = xdy-ydx ~}

d [x, y] = xdy-ydx ~

и называется внутренним, если это задается

dx = xa {\ displaystyle dx = xa ~}

dx = xa ~

для некоторого $a {\ displaystyle a}$ $a$ в $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

вторая группа когомологий

H 2 (g; M) {\ displaystyle H ^ {2} ({\ mathfrak {g}}; M)}

H ^ {2} ({\ mathfrak {g}}; M)

- пространство классов эквивалентности расширений алгебры Ли

0 → М → час → г → 0 {\ Displaystyle 0 \ rightarrow M \ rightarrow {\ mathfrak {h}} \ вправо arrow {\ mathfrak {g}} \ rightarrow 0}

0 \ rightarrow M \ rightarrow {\ mathfrak {h}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} \ rightarrow 0

алгебры Ли модулем $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

Аналогично, любой элемент группы когомологий $H n + 1 ( грамм ; M) {\ displaystyle H ^ {n + 1} ({\ mathfrak {g}}; M)}$ ${\ displaystyle H ^ {n + 1} ({\ mathfrak {g}}; M)}$ дает класс эквивалентности способов расширения алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ в "Ложь $n {\ displaystyle n}$ $n$ -алгебру" с $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ в нулевом классе и $M {\ displaystyle M}$ $M$ в классе $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Лжи $n {\ displaystyle n}$ $n$ -алгебра - это гомотопическая алгебра Ли с ненулевыми членами только в степенях от 0 до $n {\ displaystyle n}$ $n$ .

См. Также

BRST-формализм в теоретической физике.
Когомологии Гельфанда – Фукса

Ссылки

Chevalley, Claude ; Эйленберг, Сэмюэл (1948), «Теория когомологий групп Ли и алгебр Ли», Труды Американского математического общества, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 63(1): 85–124, doi : 10.2307 / 1990637, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR 0024908
Хилтон, Питер Дж. ; Stammbach, Urs (1997), Курс гомологической алгебры, Graduate Texts in Mathematics, 4 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546
Кнапп, Энтони У. (1988), группы Ли, алгебры Ли и когомологии, Mathematical Notes, 34, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08498-5, MR 0938524

Внешние ссылки

«Введение в когомологии алгебры Ли». Школарпедия.