Соединение (математика)

В геометрии понятие соединения уточняет идею передача данных по кривой или семейству кривых параллельным и согласованным образом. В современной геометрии существуют различные виды связей, в зависимости от того, какие данные нужно транспортировать. Например, аффинное соединение, наиболее элементарный тип соединения, дает средства для параллельной транспортировки касательных векторов на многообразии из одной точки в другую вдоль кривая. Аффинная связь обычно задается в форме ковариантной производной, которая дает возможность брать производные по направлениям векторных полей, измеряя отклонение векторного поля от параллельности в заданном направлении.

Связи имеют центральное значение в современной геометрии в значительной степени потому, что они позволяют сравнивать локальную геометрию в одной точке и локальную геометрию в другой точке. Дифференциальная геометрия включает в себя несколько вариаций на тему связи, которые делятся на две основные группы: бесконечно малые и локальные теории. Локальная теория занимается в первую очередь понятиями параллельного переноса и голономии. Теория бесконечно малых занимается дифференциацией геометрических данных. Таким образом, ковариантная производная - это способ задания производной векторного поля вдоль другого векторного поля на многообразии. Связь Картана - это способ формулирования некоторых аспектов теории связности с использованием дифференциальных форм и групп Ли. Соединение Эресмана - это соединение в пучке волокон или в основном пучке с указанием разрешенных направлений движения поля. Связь Кошуля - это связь, которая определяет производную по направлению для секций векторного расслоения, более общего, чем касательное расслоение.

Связи также приводят к удобной формулировке геометрических инвариантов, таких как кривизна (см. Также тензор кривизны и форма кривизны ) и тензор кручения.

• 1 Мотивация: непригодность координат
  • 1.1 Разрешение
• 2 Исторический обзор связей
• 3 Возможные подходы
• 4 См. Также
• 5 Список литературы
• 6 Внешние ссылки

Параллельный транспорт (черной стрелки) по сфере. Синие и красные стрелки обозначают параллельные перевозки в разных направлениях, но заканчивающиеся в одной и той же нижней правой точке. Тот факт, что они в конечном итоге направлены в разные стороны, является результатом кривизны сферы.

Рассмотрим следующую проблему. Предположим, что касательный вектор к сфере S задан на северном полюсе, и мы должны определить способ последовательного перемещения этого вектора к другим точкам сферы: средство для параллельного перемещения. Наивно, что это можно было сделать, используя определенную систему координат . Однако без должной осторожности параллельный перенос, определенный в одной системе координат, не будет согласован с переносом другой системы координат. Более подходящая система параллельной транспортировки использует симметрию вращающейся сферы. Учитывая вектор на северном полюсе, можно переносить этот вектор по кривой, вращая сферу таким образом, чтобы северный полюс двигался по кривой без осевого качения. Этим последним средством параллельной транспортировки является соединение Леви-Чивиты на сфере. Если даны две разные кривые с одной и той же начальной и конечной точкой, и вектор v жестко перемещается вдоль первой кривой путем поворота, результирующий вектор в конечной точке будет отличаться от вектора, полученного в результате жесткого перемещения v вдоль второй кривой. кривая. Это явление отражает кривизну сферы. Простое механическое устройство, которое можно использовать для визуализации параллельного перемещения, - это указывающая на юг колесница.

. Например, предположим, что координаты S задаются с помощью стереографической проекции . Считайте S состоящим из единичных векторов в R . Затем S несет пару координатных пятен: одна покрывает окрестности северного полюса, а другая - южного полюса. Отображения

$\phi \; 0\; (x,\; y)\; =\; (2\; x\; 1\; +\; x\; 2\; +\; y\; 2,\; 2\; y\; 1\; +\; x\; 2\; +\; y\; 2,\; 1\; -\; x\; 2\; -\; y\; 2\; 1\; +\; x\; 2\; +\; y\; 2)\; \phi \; 1\; (Икс,\; Y)\; =\; (2\; Икс\; 1\; +\; Икс\; 2\; +\; Y\; 2,\; 2\; Y\; 1\; +\; Икс\; 2\; +\; Y\; 2,\; Икс\; 2\; +\; Y\; 2-1\; 1\; +\; Икс\; 2\; +\; Y\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2x\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2y\}\; \{1+\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1-x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [8pt]\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2x\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2y\; \}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

покрывают окрестность U 0 северного полюса и U 1 южного полюса, соответственно. Пусть X, Y, Z - координаты окружающей среды в R . Тогда φ 0 и φ 1 имеют обратные

$\phi \; 0\; -\; 1\; (X,\; Y,\; Z)\; =\; (XZ\; +\; 1,\; YZ\; +\; 1),\; \phi \; 1\; -\; 1\; (\; X,\; Y,\; Z)\; знак\; равно\; (-\; XZ\; -\; 1,\; -\; YZ\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (X,\; Y,\; Z)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\}\; \{Z\; +\; 1\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{Y\}\; \{Z\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \backslash \; [8pt]\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (X,\; Y,\; Z)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-X\}\; \{Z-1\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{-Y\}\; \{Z-1\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

поэтому что функция перехода координат - это инверсия в круге :

$\phi \; 01\; (x,\; y)\; =\; \phi \; 0\; -\; 1\; \circ \; \phi \; 1\; (x,\; y)\; =\; (xx\; 2\; +\; y\; 2,\; yx\; 2\; +\; y\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{01\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Теперь представим вектор field $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$на S (назначение касательного вектора к каждой точке в S) в локальных координатах. Если P является точкой U 0 ⊂ S, то векторное поле может быть представлено прямой передачей векторного поля v0на R посредством $\phi \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\}$:

$v\; (P)\; =\; J\; \phi \; 0\; (\phi \; 0\; -\; 1\; (P))\; \cdot \; v\; 0\; (\phi \; 0\; -\; 1\; (P))\; (1)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; v\; (P)\; =\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P))\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \_\; \{0\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{\; 0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P))\; \backslash \; qquad\; (1)\}$

где $J\; \phi \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\}\}$обозначает Матрица Якоби из φ 0($d\; \phi \; 0\; x\; (u)\; =\; J\; \phi \; 0\; (x)\; \cdot \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\}\; \_\; \{x\}\; (\{\backslash \; mathbf\; \{u\}\; \})\; =\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\}$), а v0= v0(x, y) - векторное поле на R однозначно определяется посредством v (поскольку прямое распространение локального диффеоморфизма в любой точке обратимо). Кроме того, на перекрытии между картами координат U 0 ∩ U 1 можно представить одно и то же векторное поле относительно координат φ 1 :

$v\; (P)\; =\; J\; \phi \; 1\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (P))\; \cdot \; v\; 1\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (P)).\; (2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; v\; (P)\; =\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P))\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \_\; \{1\}\; (\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P)).\; \backslash \; qquad\; (2)\}$

Чтобы связать компоненты v0и v1, примените правило цепочки к идентичности φ 1 = φ 0 o φ 01:

$J\; \phi \; 1\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (P))\; =\; J\; \phi \; 0\; (\phi \; 0\; -\; 1\; (P))\; \cdot \; J\; \phi \; 01\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (P)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P))\; =\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P))\; \backslash \; cdot\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{01\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P)).\; \backslash ,\}$

Применение обеих частей этого матричного уравнения к компонентному вектору v1(φ1(P)) и применение (1) и (2) дает

$v\; 0\; (\phi \; 0\; -\; 1\; (P))\; =\; J\; \phi \; 01\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (P))\; \cdot \; v\; 1\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (П)).\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \_\; \{0\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P))\; =\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{01\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P))\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P)).\; \backslash \; Qquad\; (3)\}$

Мы пришли Теперь к основному вопросу о том, как перемещать векторное поле параллельно вдоль кривой. Предположим, что P (t) - кривая в S. Наивно, можно рассматривать векторное поле параллельно, если компоненты координат векторного поля постоянны вдоль кривой. Однако сразу возникает двусмысленность: в какой системе координат эти компоненты должны быть постоянными?

Например, предположим, что v (P (t)) имеет постоянные компоненты в системе координат U 1. То есть функции v1(φ1(P (t))) постоянны. Однако применение правила произведения к (3) и использование того факта, что d v1/ dt = 0 дает

$ddtv\; 0\; (\phi \; 0\; -\; 1\; (P\; (t)))\; =\; (ddt\; J\; \phi \; 01\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (P\; (t))))\; \cdot \; v\; 1\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (P\; (t))).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \_\; \{0\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P\; (t)))\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{01\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P\; (t)))\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \_\; \{1\; \}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P\; (t))).\}$

Но $(ddt\; J\; \phi \; 01\; (\phi \; 1\; -\; 1\; (P\; (t))))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; J\; \_\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{01\}\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (P\; (t)))\; \backslash \; right)\}$всегда является невырожденной матрицей (при условии, что кривая P (t) не является стационарной), поэтому v1и v0не могут быть одновременно постоянными вдоль кривой.

Разрешение

Проблема, отмеченная выше, заключается в том, что обычная производная по направлению от векторного исчисления плохо себя ведет при изменениях в системе координат при применении компонентам векторных полей. Из-за этого довольно сложно описать, как переводить векторные поля параллельно, если такое понятие вообще имеет смысл. Есть два принципиально разных пути решения этой проблемы.

Первый подход состоит в том, чтобы исследовать, что требуется для обобщения производной по направлению, чтобы «вести себя хорошо» при координатных переходах. Это тактика, используемая в подходе ковариантной производной к связям: хорошее поведение приравнивается к ковариации. Здесь рассматривается модификация производной по направлению с помощью некоторого линейного оператора , компоненты которого называются символами Кристоффеля, который не включает производных от самого векторного поля. Производная по направлению D uvкомпонентов вектора v в системе координат φ в направлении u заменяется ковариантной производной:

$\nabla \; uv\; =\; D\; uv\; +\; \Gamma \; (\phi )\; \{u,\; v\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; =\; D\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; +\; \backslash \; Gamma\; (\; \backslash \; varphi)\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathbf\; \{u\}\},\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \backslash \}\}$

где Γ зависит от системы координат φ и является билинейной в u и v . В частности, Γ не содержит производных от u или v . В этом подходе Γ должна преобразовываться заданным образом, когда система координат φ изменяется на другую систему координат. Это преобразование не является тензорным, поскольку оно включает не только первую производную координатного перехода, но также и его вторую производную. Задания закона преобразования Γ недостаточно для однозначного определения Γ. Некоторые другие условия нормализации должны быть наложены, обычно в зависимости от типа рассматриваемой геометрии. В римановой геометрии связь Леви-Чивита требует совместимости символов Кристоффеля с метрикой (а также определенного условия симметрии). С этими нормализацией соединение определяется однозначно.

Второй подход состоит в использовании групп Ли, чтобы попытаться уловить какой-то остаток симметрии в пространстве. Это подход соединений Картана. Приведенный выше пример с использованием вращений для указания параллельного переноса векторов на сфере очень похож на это.

Исторически связи изучались с бесконечно малой перспективы в римановой геометрии. Изучение бесконечно малых связей началось до некоторой степени с Элвина Кристоффеля. Позднее этот вопрос был более подробно рассмотрен Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита (Леви-Чивита и Риччи 1900), которые частично заметили, что связь в бесконечно малом смысле Кристоффель также допускал понятие параллельного переноса.

Работа Леви-Чивита была сосредоточена исключительно на рассмотрении связей как своего рода дифференциального оператора, чьи параллельные перемещения были тогда решениями дифференциальных уравнений. По мере развития двадцатого века Эли Картан разработал новое понятие связи. Он стремился применить методы систем Пфаффа к геометрии Феликса Клейна программы Эрлангена. В ходе этих исследований он обнаружил, что определенное бесконечно малое понятие связи (связь Картана ) может быть применено к этим геометриям и многим другим: его концепция связи допускала наличие кривизны, которая могла бы в противном случае отсутствовать в классической геометрии Клейна. (См., Например, (Картан 1926) и (Картан 1983).) Кроме того, используя динамику Гастона Дарбу, Картан смог обобщить понятие параллельного транспорта для его класса бесконечно малых связей. Это установило еще одну важную нить в теории связей: связь представляет собой определенный вид дифференциальной формы.

. Две нити в теории связи сохраняются до сих пор: связь как дифференциальный оператор и связь. как дифференциальная форма. В 1950 году Жан-Луи Кошул (Koszul 1950) дал алгебраическую основу для рассмотрения связи как дифференциального оператора с помощью связи Кошуля. Связь Кошуля была более общей, чем связь Леви-Чивита, и с ней было легче работать, потому что она, наконец, смогла устранить (или, по крайней мере, скрыть) неудобные символы Кристоффеля из формализма связи. Сопутствующие операции параллельного смещения также имели естественную алгебраическую интерпретацию в терминах связи. Определение Кошуля впоследствии было принято большей частью сообщества дифференциальной геометрии, поскольку оно эффективно преобразовало аналитическое соответствие между ковариантным дифференцированием и параллельным переводом в алгебраическое.

В том же году Чарльз Эресманн (Ehresmann 1950), ученик Картана, представил вариант связи как представление дифференциальной формы в контексте основные пучки и, в более общем смысле, пучки волокон. Связи Эресмана, строго говоря, не были обобщением связей Картана. Связи Картана были довольно жестко привязаны к основной дифференциальной топологии многообразия из-за их связи с методом эквивалентности Картана. Связи Эресмана были довольно прочной основой для просмотра фундаментальных работ других геометров того времени, таких как Шиинг-Шен Черн, который уже начал отходить от связей Картана, чтобы изучить то, что можно было бы назвать подключения манометра. С точки зрения Эресмана, соединение в основном расслоении состоит из спецификации горизонтальных и вертикальных векторных полей на всем пространстве связки. Параллельный перенос - это подъем кривой от основания к кривой в основном горизонтальном пучке. Эта точка зрения оказалась особенно ценной при изучении голономии.

• Достаточно прямой подход состоит в том, чтобы указать, как ковариантная производная действует на элементы модуля векторных полей как дифференциальный оператор . В более общем смысле аналогичный подход применяется для соединений в любом векторном пакете.
• Традиционная индексная нотация определяет соединение по компонентам; см. символы Кристоффеля. (Примечание: это имеет три индекса, но не тензор ).
• В псевдоримановой и римановой геометрии Леви- Связь Civita - это специальная связь, связанная с метрическим тензором .
• . Это примеры аффинных связей. Существует также концепция проективной связи, из которых производная Шварца в комплексном анализе является примером. В более общем смысле, как аффинные, так и проективные связи являются типами картановских связей.
• Использование основных связок, связь может быть реализована как алгебра Ли -значная дифференциальная форма. См. соединение (главное расслоение).
• Подход к связям, в котором напрямую используется понятие транспорта «данных» (что бы это ни было) является соединением Эресмана.
• Наиболее абстрактный подход может быть предложен Александром Гротендиком, где соединение Гротендика рассматривается как спуск data fr через бесконечно малые окрестности диагонали ; см. (Osserman 2004).

• Аффинное соединение
• Соединение Картана
• Соединение Эресмана
• Соединение Леви-Чивита
• Форма соединения
• Соединение (расслоенный коллектор)
• Соединение (главный пакет)
• Соединение (векторный пакет)
• Соединение (аффинное соединение)
• Соединение (составное соединение)
• Соединение (алгебраическая структура)
• Теория калибровки (математика)

• Леви-Чивита, Т.; Риччи, Г. (1900), «Méthodes de Calcul différentiel Absolu et leurs Applications», Mathematische Annalen, 54 (1-2): 125–201, doi : 10.1007 / BF01454201
• Картан, Эли (1924), «Sur les varétés à connected projective», Bulletin de la Société Mathématique de France, 52 : 205–241, doi : 10.24033 / bsmf.1053
• Картан, Эли (1926), «Les groupes d'holonomie des espaces généralisés», Acta Mathematica, 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007 / BF02629755
• Картан, Эли (1983), Геометрия риманова пробелы, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7
• Ehresmann, C. (1950), Les Connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, pp. 29–55
• Koszul, JL (1950), «Homologie et cohomologie des algèbres de Lie», Bulletin de la Société Mathématique de France, 78 : 65–127, doi : 10.24033 / bsmf.1410
• Lumiste, Ü. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Osserman, B. (2004), Connections, curvature, and p-curvature (PDF), заархивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2006 г., извлечено 04 февраля 2007 г.
• Mangiarotti, L.; Сарданашвили, Г. (2000), Связи в классической и квантовой теории поля, World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.
• Морита, Шигеюки (2001)), Геометрия дифференциальных форм, AMS, ISBN 0-8218-1045-6

• СМИ, связанные с Связью (математика) в Wikimedia Commons
• Connections в Manifold Atlas