Аксиомы Эйленберга – Стинрода

редактировать

В математике ematics, в частности, в алгебраической топологии, аксиомы Эйленберга – Стинрода представляют собой общие свойства теорий гомологии топологических пространств. Типичным примером теории гомологии, удовлетворяющей аксиомам, является сингулярная гомология, разработанная Сэмюэлем Эйленбергом и Норманом Стинродом.

. Теорию гомологии можно определить как последовательность из функторов, удовлетворяющих аксиомам Эйленберга – Стинрода. Аксиоматический подход, разработанный в 1945 году, позволяет доказать результаты, такие как последовательность Майера – Виеториса, которые являются общими для всех теорий гомологии, удовлетворяющих аксиомам.

Если опустить аксиома размерности (описанная ниже), то оставшиеся аксиомы определяют то, что называется экстраординарной теорией гомологии. Необычные теории когомологий впервые возникли в K-теории и кобордизме.

Содержание

1 Формальное определение
2 Последствия
Аксиома трехмерного измерения
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки

Формальное определение

Аксиомы Эйленберга – Стинрода применяются к последовательности функторов $H n {\ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ из категория из пар $(X, A) {\ displaystyle (X, A)}$ $(X, A)$ топологических пространств к категории абелевых групп вместе с естественным преобразованием $∂: H i (X, A) → H i - 1 (A) {\ displaystyle \ partial \ двоеточие H_ {i} (X, A) \ to H_ {i-1} (A)}$ ${\ displaystyle \ partial \ двоеточие H_ {i} (X, A) \ to H_ {i-1} (A)}$ называется картой границ (здесь $H i - 1 (A) {\ displaystyle H_ {i-1} (A)}$ ${\ displaystyle H_ {i-1} (A)}$ - это сокращение от $H i - 1 (A, ∅) {\ displaystyle H_ {i-1} (A, \ emptyset)}$ ${\ displaystyle H_ {i-1} (A, \ emptyset)}$ . аксиомами являются:

Гомотопия : гомотопические отображения индуцируют одно и то же отображение в гомологии. То есть, если $g: (X, A) → (Y, B) {\ displaystyle g \ двоеточие (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$ равно гомотопно к $h: (X, A) → (Y, B) {\ displaystyle h \ двоеточие (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$ ${\ displaystyle h \ двоеточие (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$ , то их индуцированные гомоморфизмы одинаковы.
Excision : If $(X, A) {\ displaystyle (X, A)}$ $(X, A)$ - это пара, а U - такое подмножество A, что замыкание U содержится внутри A, тогда отображение включения $i: (X ∖ U, A ∖ U) → (X, A) {\ displaystyle i \ двоеточие (X \ setminus U, A \ setminus U) \ to (X, A)}$ ${\ displaystyle i \ двоеточие (X \ setminus U, A \ setminus U) \ to (X, A)}$ индуцирует изоморфизм в гомологии.
Размерность : Пусть P - одноточечное пространство; тогда $H n (P) = 0 {\ displaystyle H_ {n} (P) = 0}$ $H_n (P) = 0$ для всех $n ≠ 0 {\ displaystyle n \ neq 0}$ $n \ neq 0$ .
Аддитивность : если $X = ∐ α X α {\ displaystyle X = \ coprod _ {\ alpha} {X _ {\ alpha}}}$ $X = \ coprod _ {\ alpha} {X _ {\ alpha}}$ , несвязное объединение семейства топологических пространств $Икс α {\ displaystyle X _ {\ alpha}}$ $X _ {\ alpha}$ , затем $H n (X) ≅ ⨁ α H n (X α). {\ displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ bigoplus _ {\ alpha} H_ {n} (X _ {\ alpha}).}$ $H_n ( X) \ cong \ bigoplus _ {\ alpha} H_n (X _ {\ alpha}).$
Точность : каждая пара (X, A) индуцирует длинная точная последовательность в гомологии, через включения $i: A → X {\ displaystyle i \ двоеточие A \ to X}$ $я \ двоеточие A \ к X$ и $j: X → (X, A) {\ Displaystyle J \ двоеточие X \ к (X, A)}$ ${\ displaystyle j \ двоеточие X \ to (X, A)}$ :

⋯ → H n (A) → я * H n (X) → j * H n (X, A) → ∂ H n - 1 (А) → ⋯. {\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A) \, {\ xrightarrow {i _ {*}}} \, H_ {n} (X) \, {\ xrightarrow {j _ {*}}} \, H_ {n} (X, A) \, {\ xrightarrow {\ partial}} \, H_ {n-1} (A) \ to \ cdots.}

{\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A) \, {\ xrightarrow {i _ {*}}} \, H_ {n} (X) \, {\ xrightarrow {j _ {*}}} \, H_ {n} (X, A) \, {\ xrightarrow {\ partial}} \, H_ {n-1} ( A) \ to \ cdots.}

Если P - это одноточечное пространство, то $H 0 (P) {\ displaystyle H_ {0} (P)}$ ${\ displaystyle H_ {0} (P)}$ называется группой коэффициентов . Например, особые гомологии (взятые с целочисленными коэффициентами, как это часто бывает) имеют в качестве коэффициентов целые числа.

Последствия

Некоторые факты о группах гомологий могут быть получены непосредственно из аксиом, например, тот факт, что гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные группы гомологий.

Гомология некоторых относительно простых пространств, таких как n- сфер, может быть вычислена непосредственно из аксиом. Отсюда легко показать, что (n - 1) -сфера не является ретрактом n-диска. Это используется в доказательстве теоремы Брауэра о неподвижной точке.

Аксиома размерности

«гомологическая» теория, удовлетворяющая всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, кроме аксиомы размерности, называется теория экстраординарной гомологии (двойственно, теория экстраординарной когомологии ). Важные примеры из них были обнаружены в 1950-х годах, такие как топологическая K-теория и теория кобордизмов, которые являются экстраординарными теориями когомологий и сопровождаются теориями гомологии, двойственными им.

См. Также

Зигзагообразная лемма

Примечания

Ссылки

Эйленберг, Сэмюэл ; Стинрод, Норман Э. (1945). «Аксиоматический подход к теории гомологии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 31: 117–120. doi : 10.1073 / pnas.31.4.117. MR 0012228. PMC 1078770. PMID 16578143.
Эйленберг, Сэмюэл ; Стинрод, Норман Э. (1952). Основы алгебраической топологии. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. MR 0050886.
Bredon, Glen (1993). Топология и геометрия. Тексты для выпускников по математике. 139 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-6848-0. ISBN 0-387-97926-3. MR 1224675.